工程力学--第八章_圆轴的扭转
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1 A B
2 C
3 n D
T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN⋅ m
10
③绘制扭矩图 Draw the torque diagram
T max = 9.56 kN ⋅ m
BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面 Section BC is dangerous section .
目 的
①确定扭矩变化规律 To determine the rule of change of the torque |T| max 截面 的确定
purposes
To determine the location of dangerous section
8
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW， 例 已知 一传动轴， 已知： ， ， ， P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 ， ，试绘制扭矩图。 Example 1 The transmission shaft is shown as Fig.the input power of driver wheel C is 500KW The export powers of driven wheel A,Band D are 150KW,150KW,200KW.To draw the torque diagram of the transmission shaft .
3
8–1 扭转的概念及外力偶矩的计算
Concepts of torsion and how to calculate the external couple moment 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、钻杆等。 工程中以扭转为主要变形的构件。 机器中的传动轴、钻杆等。 Shaft :the members create torsion deformation due to subjected to the external moments.such as the transmission shafts and drill pipes of the machines . 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶， 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直。 垂直。 external forces:Two couples that have the same magnitude moment, the opposite direction and the plane of couples perpendicular to the axial line 变形特点： 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动 The deformation is that the external loads tend to twist one segment of the body with respect to the other
空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
一、概述在工程力学中，剪应力分布是一项重要的研究课题。
当圆轴扭转时，横截面上的剪应力分布对于工程设计和材料性能具有重要意义。
本文将重点讨论空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律。
二、空心圆轴扭转的基本原理1. 空心圆轴扭转的定义空心圆轴扭转是指圆柱形结构内部空心，以一定角速度扭转产生剪切变形的现象。
这种扭转形式是一种常见的结构形式，例如车辆的轴承和工业机械的传动轴都会出现这种扭转情况。
2. 剪应力的定义剪应力是指材料在受到剪切作用时产生的内部应力。
在圆轴扭转的过程中，剪应力是影响材料性能的重要因素，也是设计工程结构时需要考虑的重要参数之一。
三、空心圆轴扭转时剪应力分布的特点1. 圆轴外层和内层的剪应力分布规律在空心圆轴扭转过程中，外层和内层材料的剪应力分布存在一定的规律性。
一般来说，外层材料承担的剪应力较大，而内层材料承担的剪应力较小。
这是由于外层材料距离轴心较远，承受的弯曲应力较大，而内层材料距离轴心较近，承受的弯曲应力较小的原因所致。
2. 剪应力随距离的变化规律剪应力随着距离轴心的距离变化呈现一定的规律性。
一般来说，剪应力随着距离轴心的增加而逐渐减小，这与材料的受力情况有关。
随着距离轴心的增加，材料受到的弯曲应力逐渐减小，因此剪应力也会呈现逐渐减小的趋势。
四、空心圆轴扭转时剪应力分布的计算方法1. 剪应力分布的计算公式空心圆轴扭转时，剪应力分布可以通过一定的计算公式进行推导。
一般来说，可以利用剪应力的定义以及材料的力学性质，推导出剪应力随着距离轴心的分布规律。
在实际工程中，可以通过这些计算公式来确定空心圆轴扭转时横截面上的剪应力分布情况。
2. 数值模拟方法除了传统的计算方法外，还可以利用数值模拟方法来进行空心圆轴扭转时剪应力分布的计算。
通过有限元分析等方法，可以得到更加精确的剪应力分布情况，这对于一些复杂结构的扭转问题具有重要意义。
五、空心圆轴扭转时剪应力分布的影响因素1. 材料性质材料的硬度、强度和抗剪性能等都会对剪应力分布产生影响。
圆轴的扭转
2.计算扭矩 将轴分为 AB, BC 两段计算 扭矩。
圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 AB 段（图6.6b）
由平衡条件 M x 0 T1 M A 0
可得 T1 M A 274 N m
对于 BC段（图6.6c）
由平衡条件
Mx 0
T2 M A M B 0
可得 T2 M A M B 270 199 75N m
《工程力学》——永城职业学院机电系
二、 圆轴扭转时的刚度计算 １、 刚度条件
其中：[θ]---许用单位扭转角 （rad/m或°/m)
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三、刚度计算举例
例2：如图所示的实心传动轴，Nk1=50KW， Nk2=150KW，Nk3=100KW， n=300r/min，许用应 力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa，试设计此 轴的直径D。
P M e 9549 n
（6.1）
其中： P---功率（kW)
Me---外力偶矩(N.m)
n---轴的转速r/min)
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２、 扭矩：
（１）、截面法分析扭转的内力——扭矩(T) 当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形时其
横截面上的内力偶矩。 （用T表示；单位：N.m或kN.m)
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正方向， 如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0
即：T=Me
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3、 扭矩图：
用一个图形来表示截面上的扭矩随其截面位 置变化关系。
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例 MA1=：15图91示.5圆N轴.m的，外M力C=偶95矩4.M9NB=.m63。6试.6N作.m出，其扭矩图。 解：1、用一截面从1-1处将轴切开，取左部分为研
圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 AB 段（图6.6b）
由平衡条件 M x 0 T1 M A 0
可得 T1 M A 274 N m
对于 BC段（图6.6c）
由平衡条件
Mx 0
T2 M A M B 0
可得 T2 M A M B 270 199 75N m
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二、 圆轴扭转时的刚度计算 １、 刚度条件
其中：[θ]---许用单位扭转角 （rad/m或°/m)
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三、刚度计算举例
例2：如图所示的实心传动轴，Nk1=50KW， Nk2=150KW，Nk3=100KW， n=300r/min，许用应 力[τ]=100MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa，试设计此 轴的直径D。
P M e 9549 n
（6.1）
其中： P---功率（kW)
Me---外力偶矩(N.m)
n---轴的转速r/min)
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２、 扭矩：
（１）、截面法分析扭转的内力——扭矩(T) 当杆件受到外力偶矩作用发生扭转变形时其
横截面上的内力偶矩。 （用T表示；单位：N.m或kN.m)
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正方向， 如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0
即：T=Me
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3、 扭矩图：
用一个图形来表示截面上的扭矩随其截面位 置变化关系。
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例 MA1=：15图91示.5圆N轴.m的，外M力C=偶95矩4.M9NB=.m63。6试.6N作.m出，其扭矩图。 解：1、用一截面从1-1处将轴切开，取左部分为研
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
扭转变形
圆轴扭转变形计算及其工程意义姓名：王晓东指导老师：刘科元作者单位:中国矿业大学银川学院机电系摘要:圆轴本身的特点是容易绕自己的轴线旋转或在一个平面上滚动，因此轴的特点在机械传动上发挥了很大的优势。
根据工作中的需要，对轴的设计要求要有标准的尺度把握。
而轴是用来旋转的，其旋转时定会有一定的变形，这变形就是扭转变形。
关键词:扭转；扭矩和扭矩图；应力和变形；强度和刚度引言：圆轴运用在机床，运用在汽车上等不同的机械上，它的用途都依靠于一对力偶工作。
这对力偶大小相同方向相反作用在轴的两端。
它们所产生的扭转变形，并不是简简单单的，受力情况是复杂的。
本篇小论是对扭转变形一小部分的分析。
（一）扭转圆轴在工作时以转动的方式带动另一段的旋转，另一端阻挠带动给其反作用力，瞬间两端产生一对大小相等方向相反且垂直于轴线的力偶。
在这对力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动，产生扭转变形。
（二）扭转时的内力——扭矩、扭矩图1、扭矩作用在轴上的外力偶矩称为扭矩。
常用T表示。
轴受到力偶矩作用时，轴受到力作用，形状发生改变即扭转变形，如下图所示在工程中，作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出工作中轴所传递的功率P和转速n。
因此需要运用功率和转速来计算外力偶矩。
即nP T 9550= P 的单位是千瓦()Kw 、n 的单位是转／分()m in r 、T 的单位是牛顿•米()m N • 2．扭矩图在实际生产中，同一根轴上安装多个相同或不同的齿轮来传递动力。
这些齿轮之间的力偶矩旋转方向可能不同，因此会对轴产生不同形式的扭转。
此时，需要对这根轴所受到的扭矩进行分析，方可做出适用于生产的轴。
在分析一根轴上分扭矩时利用扭矩图能够方便有效地解决轴上扭矩随横截面位置变。
例 一传动轴的计算简图如下，作用于其上的外力偶之矩的大小分别是：m kN Ma•=2，m kN M b •=5.3，m kN M c •=1，m kN M d •=5.0转向如图。
圆轴扭转的计算(工程力学课件)
9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
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（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
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结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
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8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
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8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
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例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
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8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
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8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
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横向：圆周线仍相互平行，
且形状和大小不变，间距不
变，但相邻圆周发生相对转
动
纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与 圆周线所组成的矩形变成了平行四边形
平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形 状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持 为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）
推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df
，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。
MT
r
A C
df
B
C O
D df r
D
dx
是微元的直角改变量，即半径r 各处的剪应变。因为
CC= dx=rdf , 故有：
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
研究对象： 圆截面直杆
受力特点：
作用在垂直于轴线的不同平 面内的外力偶，且满足平衡 方程:
TBC=mA-mB=-74Nm
mB B TBC
4）扭矩图 T
74
+
Cx
A
B
–
74
[例8-3] 一传动轴如图，转速 n 300 r min ；主动轮输 入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=
150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m
o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m 向 按右手法确定
MT / kN m 20
10
MT图
MT
/
kN
20
m
MT图
A
B
C
D
20
A
B
C
D
10
20
8.3 圆轴扭转时的应力与变形
8.3.1. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(问题的物理方面)
圆轴扭转实验现象：
T
+
x
–
[例8-1]、作图示圆轴的扭矩图
A
1 3mx
2mx
B
1 TAB
2mx
1
解：由于AB、BC两段 mx 的扭矩不同，所以要分
段计算 C
（1）计算AB段的扭矩
用假想的1截面将轴切开，取 左段为隔离体 根据平衡条件求得：
TAB=2mx
A
3mx 2
mx （2）计算BC段的扭矩
2mx
B
A
3mx
2mx
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
6.37 103
Nm
6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
SMx=0
y
M0
z
变形前
变形特征：相对扭转角 fAB
fAB x
M0
变形后
从动轮 n
Me 主轴
主动轮
叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
8.2 扭矩与扭矩图
扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
取左边部分
MT
M0 假想切面
外力偶
内力偶
平衡
由平衡方程： MT M0
M0
M0
取左边部分
MT
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
MT M0 MT 取右边部分 MT
MT 和MTT是同一截面上的内力，应
当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
扭矩的符号规定：
M0
MT
正
M0
MT
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
n T （+）
n
m
m
n
T（+） n
上述截面的内力（扭矩）为正值
扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩 ，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基 线，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规 律，称为扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
解：1）计算外力矩
A
C
B
mA
mC
齿轮B输入的功率分别传递
到轮A、C上，每个轮所消耗
的功率为：PK/2
mB
9550 PK n
148N m
mA
mC
mB 2
74N
m
2）计算AB段内力
mA
mC
根据平衡条件，可求
mA A
mA A
mB
得：
TAB=mA=74Nm
3）计算BC段内力
TAB 根据平衡条件，求得：
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？