南京理工大学紫金学院离散数学考试卷
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
南京理工大学紫金学院离散数学(朱保平教授)期末复习试卷
1、（8分）已知{,{1}}A a =，{{}}B b =试求（1）2A（2）2A B ⨯2、（8分）已知Y X ,是2个任意的集合，试证明Y X Y X ⋂=⋂222。
3、（6分）,*)(G 是一个群，R 是G 上的一个二元关系，且对于G y x ∈∀,，R y x ∈),( 当且仅当G ∈∃θ，使得1**-=θθx y ，试证明R 是G 上的等价关系。
4、（8分）已知集合)}3,3(),2,2(),1,1(),,(),,(),,{(c c b b a a A =，分别写出满足如下性质的二元关系：（1）该关系具有反自反性、传递性。
（2）该关系具有自反性、反对称性和对称性。
5、（8分）若在一个边长为4的正方形内任取129个点，则至少存在3个点，由它们构成的三角形（可能是退化的三角形，即一条直线）其面积小于81。
试用抽屉原理证明之。
6、（8分）已知(G ，·)是一个群，∀G g ∈，作G 到G 的一个映射g f 如下，对于G x ∈∀，x g x f g ⋅=)(。
求证g f 是双射。
7、(6分)图),(E V G =，有n 个顶点，n 4条边，存在一个7度顶点，试证明其它顶点的度数均大于7。
7、(6分)若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。
8、（8分）有24个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。
已知这24个人中，每个人至少与其余12个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打过球？试用图论的语言证明之。
9、（8分）按要求画图：（1）画一个14个顶点的哈密尔顿图但非欧拉图，有偶数条边；（2）（1）画一个14个顶点的欧拉图但非哈密尔顿图，有奇数条边；10、（6分）),(E V G =是一个无向图。
若10||>V ，则G 或者G 的补图G 是非平面图。
11、（6分）),(E V G =是一个连通图，V v ∈，deg(v)=1，E e ∈是关联顶点v 的一条边。
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于等于（≤）B. 大于等于（≥）C. 整除（|）D. 模2同余（≡）答案：D2. 下列哪个图是完全图？（）A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案：D3. 设A和B为集合，若A∪B=A，则下列哪个结论成立？（）A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案：B4. 下列哪个命题是永真命题？（）A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案：B5. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的最小生成树的边数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=_________。
答案：{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d}，边集E={e1,e2,e3,e4,e5}，其中e1=(a,b)，e2=(a,c)，e3=(b,d)，e4=(c,d)，e5=(d,a)，则G的邻接矩阵为_________。
答案：[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题，q为假命题，则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案：真9. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的度数序列为（3,3,3,3,3,3），则G的边数是_________。
答案：1510. 下列命题中，与“若p，则q”互为逆否命题的是_________。
《离散数学》考试试卷(试卷库20卷)及答案
第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分 考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ） ))()((x Mortal x M x →∀（D ） ))()((x Mortal x M x ∧∃2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集） （D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ） 乘法（B ）减法（C ） 加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则 N b a ∈∀,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=<V , E>，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（ ）（A ）无回路的连通图 （B ）有n 个结点n-1条边的连通图 （C ）每对结点间都有通路的图 （D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（ ）（A ） P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ⌝∨⌝ 9. 下列代数系统<G,*>中,其中*是加法运算,（ ）不是群。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(3,4)属于（）。
A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,2,3}×{3,4,5}答案：D2. 命题“若x>2，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤2，则x≤1B. 若x≤1，则x≤2C. 若x≤1，则x≤2D. 若x≤2，则x≤1答案：C3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B的（）。
A. 子集B. 真子集C. 任意子集D. 非空子集答案：D4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 以下哪个命题是真命题（）。
A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 集合{1,2,3}的子集个数为______。
答案：87. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是：若x>1，则______。
答案：x>08. 函数f: A→B中，若A={1,2}，B={3,4}，则f的值域可以是{3}或{4}或{3,4}，但不能是______。
答案：{1,2}9. 在有向图中，若存在从顶点A到顶点B的有向路径，则称A到B是______的。
答案：可达10. 命题逻辑中，合取（AND）的符号是______。
答案：∧三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明：若p∧q为真，则p和q都为真。
证明：根据合取（AND）的定义，p∧q为真当且仅当p和q都为真。
因此，若p∧q为真，则p和q都为真。
12. 给定函数f: A→B，其中A={1,2,3}，B={4,5,6}，且f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
请找出f的值域。
答案：根据函数的定义，f的值域是其所有输出值的集合。
因此，f的值域为{4,5,6}。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，空集的表示符号是（）。
A. {0}B. ∅C. {}D. Ø答案：B2. 如果A和B是两个集合，那么A∩B表示（）。
A. A和B的并集B. A和B的交集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 命题逻辑中，p ∧ q的真值表中，当p和q都为假时，p ∧ q的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：B4. 在图论中，如果一个图中的任意两个顶点都由一条边相连，则称这个图为（）。
A. 连通图B. 无向图C. 完全图D. 有向图答案：C5. 布尔代数中，逻辑或运算符表示为（）。
A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：B6. 一个关系R是从集合A到集合B的二元关系，如果对于A中的每个元素x，B中都存在唯一的元素y与之对应，则称R为（）。
A. 单射B. 满射C. 双射D. 单满射答案：C7. 在命题逻辑中，如果p是假命题，那么¬p的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：A8. 一个有向图是无环的，那么它一定是（）。
A. 有向无环图B. 无向无环图C. 有向有环图D. 无向有环图答案：A9. 在集合论中，如果集合A是集合B的子集，那么A⊆B表示（）。
A. A包含于BB. A是B的真子集C. A是B的超集D. A与B相等答案：A10. 命题逻辑中，p → q的真值表中，当p为真，q为假时，p → q 的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，以下哪些符号表示的是集合的并集（）。
A. ∪B. ∩C. ⊆D. ⊂答案：A2. 在图论中，以下哪些说法是正确的（）。
A. 有向图可以是无环的B. 无向图可以是无环的C. 有向图一定是连通的D. 无向图一定是连通的答案：A B3. 在命题逻辑中，以下哪些符号表示的是逻辑与（）。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
《离散数学》考试试卷(试卷库14卷)及答案
第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）试题总分： 100 分 考试时限：120 分钟一、选择题（每题2分，共20分）1. 下述命题公式中，是重言式的为( )（A ）)()(q p q p ∨→∧ （B ）q p ∨))()((p q q p →∨→⇔（C ）q q p ∧→⌝)(（D ）q q p →⌝∧)(2. 对任意集合A,B,C,下列结论正确的是（ ）（A ）若A ⊆B,B ∈C,则A ⊆C ； （B ）若A ∈B,B⊆C,则A ⊆C ； （C ）若A ⊆B,B ∈C,则A ∈C ； （D ）若A ∈B,B ⊆C,则A ∈C ； 3. 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上的等价关系,,则由R 产生的S S ⨯上一个划分共有( )个分块。
（A ）4（B ）5（C ）6（D ）94. 下列偏序集( )能构成格5. 连通图G 是一棵树当且仅当G 中( )（A ）有些边是割边 （B ）每条边都是割边（C ）所有边都不是割边 （D ）图中存在一条欧拉路径6. 有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平面图的必要条件( )（A ） 63-≤n m（B ）63-≤m n （C ）63-≥n m （D ） 63-≥m n7. 设P,Q 的真值为0,R,S 的真值为1,则下面命题公式中真值为1的是（ ）（A ）R →P （B ）Q ∧S （C ）P S （D ）Q ∨R 8. 在图G=<V,E>中,结点总度数与边数的关系是（ ）（A ）deg()2||i v E =（B ）deg()||i v E =（C ）deg()2||iv Vv E ∈=∑（D ）deg()||iv Vv E ∈=∑9. 设有33盏灯,拟公用一个电源,则至少需有五插头的接线板数（ ）（A ）７ （B ）８ （C ）９ （D ）１４ 10. 设集合A 上有四个元素,则A 上的不同的等价关系的个数为（ ）（A ）11 （B ）14 （C ）17（D ）15二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则R= 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
明：如果 f 为满同态映射，则 ( A ,*) 是阿贝尔群。 16． 分） ( H ,*) ， ( K ,*) 是群 (G ,*) 的正规子群，证明 ( H K ,*) 也是 (G ,*) 的正规子 （6 群。 .
第 2 页
共 3 页
第 3 页
共 3 页
南京理工大学紫金学院课程考试试卷（学生考试试卷）
课程教学 大纲编号： 990611711 课程名称： 离散数学 考试方式： 闭卷 (计算机科学与技术、网络工程) 学 分： 4 试卷编号： 满分分值： 审定教师： A 100
考Байду номын сангаас时间： 120 分钟 组卷教师： 学 号：
组卷年月： 2010 年 12 月 10 日 学生姓名：
Q 11． 8 分） 是有理数集， * Q { 0} ， （ m,n Q*, m , n Q * , n m 4 mn 。 证明 ( Q * , ) Q
是群。 12． （6 分）设 f 和 g 都是群 ( A , ) 到群 ( B ,*) 的同态映射，证明 ( C , ) 是 ( A , ) 的一个子 群，其中 C { x | x A 且 f ( x ) g ( x )} 。 13． 分） G (V , E ) 是一个无向图，若 V 11 ，则 G 或者 G 是非平面图。 （6
第 1 页 共 3 页
若 g f 是 A 到 C 的满射，则 g 是 B 到 C 满射。 9． 分） （6 （1）画一个 9 个顶点欧拉图但非哈密尔顿图，它是简单无向图，有偶数条边 （2）画一个 9 个顶点哈密尔顿图但不是欧拉图，它是简单无向图，有偶数条边。 10． 分）有 60 个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。已知这 60 个人中，每个 （6 人至少与其余 30 个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打 过球？试用图论的语言证明之。
a ~b b
1
a H
。试证明
（1）~为 G 上的等价关系； （2）对于 a G ，有 [ a ] ~ a H 。 7． 分）已知集合 A {1, 2 ,3 , 4} ，分别写出满足如下性质的二元关系： （6 （1）该关系具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。 （2）该关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性 8． 分） A ， B ， C 是三个任意非空集合。 f 是 A 到 B 的映射， g 是 B 到 C 的映射。 （6
1． 分）把下列语句翻译为谓词演算公式 （6 （1）有些人喜欢所有的明星； （2）并非“所有人均喜欢电脑游戏； 2． 分）试把函数 h ( x 1 , x 2 , x 4 , x 5 ) f ( g 1 ( a , x 2 ), 4 , g 2 ( x 1 , x 5 ), x 4 ) 化为 ( m , n ) 标准迭置。 （6 3． 分）把下列数论语句化为特征函数 （6 （1） x 为平方数且 x 为偶数； （2） x 是 y 的倍数或 x 小于等于 y ； 4． 分）试用归结原理证明下列公式 （6
* * 14．14． （8 分） Q 是有理数集， Q Q { 0} ，m,n Q*, m , n Q , n m 4 mn 。
* 证明 ( Q , ) 是群. 1 15． 分）已知 ( A ,*) 是一个群， f 是 A 到 A 的映射，且对于 a A , f ( a ) a 。试证 （6
( ( P Q ) (( P R ) ( Q S ))) ( S R )
5． 分）已知集合 A {{ b }, { }}, B {b } ，试求（1） 2 A （8
（2） B 2 A
6． 分）( G ,) 是群，( H ,) 是 ( G ,) 的子群，~是 G 上的二元关系， （6 对于任意的 a , b G ，