南京理工大学紫金学院《离散数学》考试卷,参考练习使用1
南京理工大学紫金学院离散数学(朱保平教授)期末复习试卷
1、（8分）已知{,{1}}A a =，{{}}B b =试求（1）2A（2）2A B ⨯2、（8分）已知Y X ,是2个任意的集合，试证明Y X Y X ⋂=⋂222。
3、（6分）,*)(G 是一个群，R 是G 上的一个二元关系，且对于G y x ∈∀,，R y x ∈),( 当且仅当G ∈∃θ，使得1**-=θθx y ，试证明R 是G 上的等价关系。
4、（8分）已知集合)}3,3(),2,2(),1,1(),,(),,(),,{(c c b b a a A =，分别写出满足如下性质的二元关系：（1）该关系具有反自反性、传递性。
（2）该关系具有自反性、反对称性和对称性。
5、（8分）若在一个边长为4的正方形内任取129个点，则至少存在3个点，由它们构成的三角形（可能是退化的三角形，即一条直线）其面积小于81。
试用抽屉原理证明之。
6、（8分）已知(G ，·)是一个群，∀G g ∈，作G 到G 的一个映射g f 如下，对于G x ∈∀，x g x f g ⋅=)(。
求证g f 是双射。
7、(6分)图),(E V G =，有n 个顶点，n 4条边，存在一个7度顶点，试证明其它顶点的度数均大于7。
7、(6分)若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。
8、（8分）有24个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。
已知这24个人中，每个人至少与其余12个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打过球？试用图论的语言证明之。
9、（8分）按要求画图：（1）画一个14个顶点的哈密尔顿图但非欧拉图，有偶数条边；（2）（1）画一个14个顶点的欧拉图但非哈密尔顿图，有奇数条边；10、（6分）),(E V G =是一个无向图。
若10||>V ，则G 或者G 的补图G 是非平面图。
11、（6分）),(E V G =是一个连通图，V v ∈，deg(v)=1，E e ∈是关联顶点v 的一条边。
《离散数学》考试题库及答案
《离散数学》考试题库及答案、填空 20% （每小题2分）1.设 A = {xl（xeN）且（*5）},B = {xlx£E+且xv7}（N;自然数集，曰正偶数）则 。
2.A, B, C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为3.设P, Q的真值为0, R, S的真值为1,则「（P v （Q r （R A「P））） T （R v「S）的真值=4.公式成逐）3人&）八户的主合取范式为5.若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为6.设A={1, 2, 3. 4}, A上关系图为则R2 =7.设A=（a, b, c, d},其上偏序关系R的哈斯图为9.设A={a, b, c, d} , A上二元运算如下:那么代数系统VA, *＞的幺元是 ,有逆元的元素为 ,它们的 逆元分别为 C10.下图所示的偏序集中，是格的为 ，二、选择20% （每小题2分）I.下列是頁命题的有（中£｛｛中｝,中｝ D. ｛①隹｛｛中｝｝2、 下列集合中相等的有（ ）A.｛4, 3｝^中；B. ｛①，3, 4｝；C. ｛4,中，3, 3｝；D. ｛3, 4｝。
3、 设A=｛1, 2, 3｝,则A上的二元关系有（）个。
A. 23；B. 32 ；C. 23x3.D. 32气4、 设R, S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ ）A.若R. S是自反的，则R°S是自反的；B.若R, S是反自反的，则R°S是反自反的；C.若R, S是对称的，则RoS是对称的；D.若R, S是传递的，则R°S是传递的。
5、设A=｛1, 2, 3. 4｝, P （A） （A的蓦集）上规定二元系如下R = {< s,t >1 s,t e p(A) A (I 51=1 /1)则 p(A)/ R=( )A. A ：B. P(A) :C. ({{!}}, {{1, 2}}, {{1, 2, 3}}, {{1, 2, 3. 4}}}；D. ({①}, {2}, {2, 3}, {{2, 3, 4}}, {A}}06、设A={小，{lb (1, 3}, (1, 2, 3}}则A上包含关系“W”的哈斯图为(7、下列函数是双射的为（A. f:I^E, f(x) = 2x ；B. JN — NxN, f (n) = <n , n+l> :C. f:R_I, f(x) = [xl ；D. f:LN,f(x)（注：I—整数集，E一偶数集，N—自然数集, R—实数集））条。
《离散数学》试卷及答案
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0,也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
14、论断：“命题变元不是命题”（A）命题。
A．是；B.不是；C.不可判定
15、设S={a,b,c}，T={p,q}，作f:S T,则这样的f一共有（C）个。
A.9B.10C.8D.7
得
分
二、填空题(每空2分,共20分)
1、设P:2+5=3,Q:日本在亚洲;于是， 的真值为1。
2、数理逻辑中，进行推理的常用规则有前提引入规则，结论引入规则和
A. B.
C. D.
8、设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},则从A到B的函数
f={<a,2 >,<b,1 >,<c,3 >,<d,2 >}是（D）
A. f是双射函数B. f是入射函数
C. f是满射函数D. f即不是满射又不是入射函数
9、下列蕴含式为真的是（B）
A. B.
C． D.
10、设 是A到B的映射， 是B到C的映射， 是双射，则（B）
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学试题1-5
参考试题02_0001一、单项选择题（共 10 道试题，共 100 分。
）1. 设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A. 8、2、8、2B. 8、1、6、1C. 6、2、6、2D. 无、2、无、22.设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}，则h =（）．A. f◦gB. g◦fC. f◦fD. g◦g4. 集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y A}，则R的性质为（）．A. 自反的B. 对称的C. 传递且对称的D. 反自反且传递的5. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}6. 设集合A={a}，则A的幂集为( )．A. {{a}}B. {a，{a}}C. {，{a}}D. {，a}7. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A. 1024B. 10C. 100D. 18. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y A}，则R的性质为（）．A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反9. 设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．A. 2B. 3C. 6D. 810. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. A B，且A BB. B A，且A BC. A B，且A BD. A B，且A B参考试题02_00021. 设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A. 8、2、8、2B. 8、1、6、1C. 6、2、6、2D. 无、2、无、22. 集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y A}，则R的性质为（）．A. 自反的B. 对称的C. 传递且对称的D. 反自反且传递的3. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A4. 设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A. R1B. R2C. R3D. R1和R35. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y A}，则R的性质为（）．A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反6. 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A. 0B. 2C. 1D. 37. 设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．A. 2B. 3C. 6D. 88.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3,4, 5}，则元素3为B的（）．A. 下界B. 最小上界C. 最大下界D. 最小元9. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A. 1024B. 10C. 100D. 110. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}参考试题02_0003一、单项选择题（共 10 道试题，共 100 分。
南京理工大学离散数学期末试卷
试证明(G, /J.)是一个群。
15. (6 分）设(A,·) 和 (B,*)是两个群， e1和 e2分别是A和B 的么元，cp是A到B的群同态
映射，C = {x EA仰(x) = e2} 。试证明C是A的正规子群。
ir `
树T上。
I
四、函数与群（共20分）
13. (6分）已知 (G, ·)是一个艺堡琶f是G到G的映射，且\:/x EG, f(x) = X 一1 。试
证明： f是G到G的自同构映射。
14. (8分） (G, o)是一个群，取定u·e G, 对于任意的a, b EG, a!J.b = a o u一i ob 。
(I)所有入均皂欢微信或微博。 (2) 有些人喜欢机器学习课程；但并非所有人均喜欢机器学习课程。 2. 已知知识：
(1) 3x(P(x) A Vy(D(y)➔ L(x, y))) (2)Vx(P(x) ➔ Vy(Q(y) ➔ -,L(x, y))) 结论： Vx(D(x)➔ 勹Q(x)) 试用HORN子句逻辑程序证明之。
3. 把函数h(xi, x2, x3,x5心） = f(g1(X3, 环），2,gz(X1五），g3(X5,3))化为(4,5)迭置。
二、集合与关系（共30分）
4. (8分） 已知集合A = {{a},{{0}}}, B = {人工智能｝。试求：
Cl) zA
(2) zA x B
5. (8分）已知3个任意的集合X,Y,Z, 若X <I, (Yu Z), 则(X - Y) n(X - Z) -=I= 0。
— 南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）
课程名称：
A
学分：＿生L 大纲编号
试卷编号： --考试方式： 且违� 满分分值： 」毁＿考试时间： ..J1Q_分钟
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
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（1）该关系具有反自反性、对称性、反对称性和传递性。 （2）该关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性 5．（6 分） A ， B ， C ， D 是四个任意非空集合。 f 是 A 到 B 的满射， g 是 C 到 D 的
满射，且 A C B D
，定义映射 h( x)
f (x) 当x A ，试证明 h 为 A C 到
9．（6 分） G (V , E) 是一个简单连通平面图，且 |V | 7,| E | 15 。试证明它的每个面
都是由 3 条边组成。
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10．（8 分） T (V , E) 是一棵树。试证明
（1） T 为二部图；
（2）若该棵树仅有 3 片树叶，则至少有一个顶点度数大于等于 3。
11．（6 分） T (V , E) 是一棵树， {V1,V2} 是 T 作为偶图顶点集的二分类， |V1 | V2 |，
课程名称： 离散数学
学 分： 3
考试方式： 闭卷
考试时间： 120 分钟
组卷年月： 2011 年 11 月 26 日 组卷教师：
学生姓名：
学 号：
（学生考试试卷）
试卷编号： A 满分分值： 100
审定教师：
1．（8 分）已知集合 A {{ 1}, { }}, B {{ a}} ，试求（ 1） 2 A （2） B 2 A
2．（ 6 分）已知 X , Y, Z 为三个任意的集合，试证明若 ( X Y ) ( X Z ) ，则
X YZ 3．（6 分）已知 R 是 A 上自反和对称的二元关系，试证明： t( R) 是 A 上的等价关系。
4．（8 分）已知集合 A {1,2,3,4,5} ，分别写出满足如下性质的二元关系：
则 V2 中至少有一片树叶。 12．（8 分） Q 是有理数集， Q*
Q { 0} ， x, y Q* , x y 4 xy 。证明 (Q* , ) 是群。
13．（6 分）有限群 G 的每个元素都有有限阶 , 且其阶数不超过群 G 的阶数 |G | 。
14．（6 分） ( H ,*) ， (K ,*) 是群 (G,*) 的正规子群，证明 ( H K ,*) 也是 (G ,*) 的正规子
群。
15．（6 分）设图 G (V , E) 有 n 个顶点， 2n 条边，且存在一个度数为 3 的结点，证明：
G 中至少有一个结点的度数 5。
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g (x) 当x C
B D 满射。
6．（6 分）已知 A { x R |0 x 1} ， B { x R | 0 x 1} ，试证明 | A | | B | 。
7．（6 分） （1）画一个 11 个顶点欧拉图但非哈密尔顿图，它是简单无向图，有偶数条边；
（2）画一个 11 个顶点哈密尔顿图但非欧拉图，它是简单无向图，有奇数条边。 8．（8 分）有 60 个人围坐一圆桌，边开会边交流网球技术。已知这 60 个人中，每个 人至少与其余 30 个人打过球，试问是否有一种坐法，使每个人左、右两人都和他打 过球？试用图论的语言证明之。