2019-2020学年江西省赣州市石城县石城中学高一上学期期中考试数学试卷
江西省赣州市石城第一中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析
江西省赣州市石城第一中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于( ) A．4 B．5 C．6 D． 7参考答案：B略2. 下列各式错误的是（）.A.B.C.D.参考答案：C3. 已知函数，则的图像大致为参考答案：A4. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）参考答案：【知识点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．L4【答案解析】D 解析：双曲线的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为．故选D．【思路点拨】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．，则下列不等式成立的是（．CC略6. 已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R上为减函数，则在命题和中，真命题是（）A. B. C.D.参考答案：C7. 在中，若，且，则的周长为（）A． B． C． D．参考答案：B8. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36参考答案：D【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。
故答案为：D9. 若集合 ,则A. B. C.D.参考答案：B10. （理）曲线在点处的切线为，则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．A. 1B.C.D.参考答案：B：曲线在点处的切线为，与x轴的交点为，所以由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .参考答案：12. 在面积为9的正方形内部随机取一点，则能使的面积大于的概率是_________．参考答案：13. 已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．参考答案：分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.14. 若是偶函数,则有序实数对()可以是 . (写出你认为正确的一组数即可).参考答案：（1，-1）(a+b=0)皆可15. 平面向量与的夹角为，，，则。
2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A={x|﹣x 2+4x≥0}，1{327}81x B =<<，C={x|x=2n ，n ∈N}，则（A ∪B ）∩C=（ ） A ．{2，4} B ．{0，2}C ．{0，2，4}D ．{x|x=2n ，n ∈N}【答案】C【解析】分析：由二次不等式的解法和指数不等式的解法，化简集合A ，B ，再由并集和交集的定义，即可得到所求集合． 详解：A={x|﹣x 2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，1{327}81x B =<<={x|3﹣4＜3x ＜33}={x|﹣4＜x ＜3}， 则A ∪B={x|﹣4＜x≤4}， C={x|x=2n ，n ∈N}，可得（A ∪B ）∩C={0，2，4}， 故选C ．点睛：本题考查集合的混合运算，注意运用二次不等式和指数不等式的解法，以及定义法解题，考查运算能力，属于中档题．2．设,a b v v 是非零向量，则2a b =v v 是a b a b=v v v v 成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用||aa rr 的意义，即a r 方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】由2a b =r r 可知,a b r r 方向相同，||aa rr ，||b b r r 表示,a b r r 方向上的单位向量，所以||||a b a b =r r r r 成立；反之不成立.本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向.3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点(1,3)P -，则cos2α的值为( ) A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】A【解析】利用任意角的三角函数的定义，求得cos α的值，再利用二倍角公式即可求得cos2α的值．【详解】角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点()1,3P -.由三角函数的定义有：cosx OP α===214cos 22cos 121105αα=-=⨯-=- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题． 4．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2【答案】B【解析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解． 【详解】sin133cos197cos 47cos73sin 47(cos17)cos 47sin17+=-+o o o oo o o o()sin 47cos17cos 47sin17=--o o o o sin(4717)=--o o1sin 302=-=-o本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题． 5．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.6．已知定义在R 上的函数2()f x x =，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f =则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据函数的单调性和奇偶性进行判断． 【详解】函数2()f x x =为偶函数且在()0+∞，上为增函数. 0.52log 3log 3=-，所以()()()0.522log 3log 3log 3==-=a f f f22log 5log 42>=，220log 3log 42<<=所以22log 52log 30>>>，则()()()22log 52log 30f f f >>> 即b c a >> 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数，对数函数的单调性，函数奇偶性的性质，属于中档题．7．已知21,(1)()242,(1)xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩，若关x 于的方程()a f x =恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（） A ．1,[1,2)2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U B ．10,[1,2)2⎛⎫ ⎪⎝⎭U C ．(1,2) D ．[1,2)【答案】B【解析】关x 于的方程()a f x =恰有两个不同实根，等价于()y a y f x ==、的图象有两个不同的交点,画出()y y a f x ==、的图象，数形结合可得结果. 【详解】关x 于的方程()a f x =恰有两个不同实根，等价于()y y a f x ==、的图象有两个不同的交点， 画出()y y a f x ==、的图象，如图， 由图可知，当[)10,1,22a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭时， ()y y a f x ==、的图象有两个不同的交点，此时，关x 于的方程()a f x =恰有两个不同实根， 所以实数a 的取值范围是[)10,1,22⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=( )A ．1－B ．1C ．5D ．5－【答案】D【解析】设1()1x x e h x e -=+，可判断()h x 为奇函数，由()()330f f +-=可求出(3)g -的值. 【详解】设1()1x x e h x e -=+,()11()11x xx x e e h x h x e e -----===-++,所以()h x 为奇函数. ()()2()f x g x h x =++由()h x ，()f x 是奇函数. 则()()330f f +-=，()()330h h +-= 即()()()()()()33=g 323g 3230f f h h +-+++-++-= 所以()1+2+g 320-+=，则(3)=5g -- 故选：D 【点睛】本题考查应用奇函数求值，属于中档题.A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +【答案】C【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin xxf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ 【答案】C【解析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，由于点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.11．在ABC ∆中,4,3A b c E F π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF u u u r u u u r⋅的最小值为（）A ．B ．83C ．269D ．3【答案】C【解析】()22122125···333399AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯= （b c = 时等号成立），即AB AC u u u r u u u r g 的最小值为269, 故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.12．已知函数f(x)＝alnx －bx 2，a ，b ∈R.若不等式f(x)≥x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，＋∞) B ．[，＋∞) C ．[，e 2) D ．[e 2，＋∞)【答案】B【解析】将问题逐步进行转化．由题意得到2ln a x xb x-≤对所有的x ∈(e ，e 2]恒成立，由于b≤0，故只需2ln 0a x xx-≥对任意的x ∈(e ，e 2]恒成立，再进一步转化为alnx≥x ，即ln x a x ≥对任意的x ∈(e ，e 2]恒成立，只需求出函数2(),(,]ln xh x x e e x=∈的最大值即可． 【详解】由题意可得bx 2≤alnx －x 对所有的b ∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]恒成立， 所以2ln a x xb x-≤对所有的x ∈(e ，e 2]恒成立． 由于b ∈(－∞，0]，所以对任意的x ∈(e ，e 2]，都有2ln 0a x xx -≥恒成立， 即alnx≥x 对所有的x ∈(e ，e 2]恒成立，所以ln xa x ≥对所有的x ∈(e ，e 2]恒成立． 令2(),(,]ln xh x x e e x=∈，则h′(x)＝>0，所以h(x)在区间(e ，e 2]上单调递增， 故h(x)max ＝h(e 2)=． 所以a≥.所以实数a 的取值范围是[，＋∞)． 故选B. 【点睛】（1）分离参数法解决恒成立问题是常用的方法，通过分离参数可将恒成立问题转化为（2）对于含有多个变量的恒成立问题，可通过逐步消去参数的方法求解，但求解的原则仍为转化成求最值的问题．二、填空题13．曲线ln x y e x x =-在点()1,(1)f 处的切线方程为_________. 【答案】(1)1y e x =-+【解析】利用导数的几何意义得到切线的斜率1k e =-，再利用点斜式方程得到切线方程. 【详解】由题意知'(1)xy e lnx =-+，所以曲线在点()1,(1)f 处的切线的斜率1k e =-.又因为(1)f e =，所以切线方程为(1)1)y e e x -=-(-，化简得(1)1y e x =-+.故填：(1)1y e x =-+. 【点睛】本题考查导数的几何意义，注意曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线是不一样的两个问题.14．幂函数222(22)m y m m x -=--在(0,)+∞上增函数，则m =________.【答案】3【解析】根据幂函数的定义和单调性，求得m 的值. 【详解】由于函数为幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，当1m =-时，函数为1y x=，不满足在(0,)+∞上递增，故舍去.当3m =时，7y x =符合题意.综上所述，m 的值为3. 【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.15．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为______．【答案】34【解析】试题分析：由正弦定理得,即,则,当时,.【考点】正弦定理及运用．16．已知A ，B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值为0，则函数()f x 的最大值为__________． 【答案】1e-【解析】先推出f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称，然后得出直线P A ，PB 分别与函数图象相切时，PA u u u r •PB u u u r的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a ＝1，结合图象可得x ＝1时，f （x ）的最大值为1e-． 【详解】解：A ，B 是函数f （x ）()22x ae x af a x x a -⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，，＜（其中a ＞0）图象上的两个动点，当x ＜a 时，f （x ）＝f （2a ﹣x ）＝﹣e （2a ﹣x ）﹣2a ＝﹣e ﹣x ， ∴函数f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称． 当点A ，B 分别位于分段函数的两支上，且直线P A ，PB 分别与函数图象相切时，PA u u u r •PB u u u r的最小值为0， 设P A 与f （x ）＝﹣e ﹣x 相切于点A （x 0，y 0）， ∴f ′（x ）＝e ﹣x，∴k AP ＝f ′（x 0）＝e0x x e x a---=-，解得x 0＝a ﹣1， ∵PA u u u r •PB u u u r 的最小值为0，∴PA u u u r ⊥PB u u u r， ∴k P A ＝tan45°＝1，∴e 0x -=1，∴x 0＝0， ∴a ＝1，∴f （x ）max 1e=-． 故答案为1e-【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知命题:p 方程22sin sin 10x x m -+-=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在存在唯一实数根；:q x R ∀∈，2210x mx -+≥.（1）若命题q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞U ；（2）[)0,1.【解析】（1）由q ⌝为真命题得出>0∆，可解出实数m 的取值范围；（2）令[]sin 0,1t x =∈，并作出函数221y t t =--在区间[]0,1上的图象，得出当直线y m =-与函数221y t t =--在[]0,1t ∈上只有一个交点时实数m -的取值范围，可得出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由命题q 为真命题得出0∆≤，解出对应的实数m 的取值范围，再将m 的两个取值范围取交集可得出命题p q ∧为真命题时m 的取值范围. 【详解】（1）0:q x R ⌝∃∈Q ，200210x mx -+<.则命题q ⌝为真命题时，有2440m ∆=->，则1m <-或1m >. 因此，实数m 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ； （2）若命题p q ∧为真命题，则p 真且q 真.命题p 为真命题时，即方程22sin sin 10x x m -+-=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在唯一实数根， 令[]sin 0,1t x =∈，则函数sin t x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 问题转化为221m t t -=--，在[]0,1t ∈上存在唯一实数根，令221y t t =--，则219248y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[]0,1t ∈.作出函数219248y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,1t ∈上的图象如下图所示：由图象可知，当10m -<-≤或98m -=-时，即当01m ≤<或98m =时，直线y m =-与函数221y t t =--在[]0,1t ∈上有唯一交点.当命题q 为真命题时，有2440m ∆=-≤，则11m -≤≤. 因此，当p q ∧为真命题时，m 的取值范围是[)0,1. 【点睛】本题考查三角函数方程根的个数问题以及二次不等式问题，同时也考查复合命题与参数范围的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积. 【答案】(1) 2a = (2) 757ABM S ∆=【解析】（1）先求sin 4A =，sin sin 28B A ==结合正弦定理求解a 即可；（2）先求1cos 8B =，再利用余弦定理得c，进而得1sin 2ABC S bc A ∆==，再利用||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====求解ABM ∆的面积即可【详解】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =，所以3sin sin 22sin cos 2448B A A A ===⨯⨯=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b Aa B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=， 解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 216ABC S bc A ∆==， 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以551111ABM ABC S S ∆∆===【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题19．已知F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，恰好又是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，双曲线C过点． （1）求抛物线E 和双曲线C 的标准方程；（2）已知直线l 过点F ，且与抛物线E 交于A ，B 两点，以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的最大值．【答案】（1）抛物线E 的标准方程为24y x =，双曲线C 的标准方程为22221x y -=（2）23π【解析】（1）由双曲线C 过点，．可得221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：a ，b ，c 即可得出双曲线C 的标准方程．可得2pc =，解得p ．可得抛物线的标准方程．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M e 的方程为：22(1)4x y -+=．可得PMQ ∠．②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．利用根与系数的关系可得12||2AB x x =++．设M e 的半径为r ，||2AB r =．过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，||cos ||Mx MN PMN MP r∠==，可得PMN ∠范围，及其PMQ ∠范围，即可得出结论． 【详解】（1）由双曲线C 过点．∴221112a b -=，c a=222c a b =+，联立解得：2212a b ==，1c =． ∴双曲线C 的标准方程为：22221x y -=．由1c =，可得12p=，解得2p =． ∴抛物线的标准方程为：24y x =．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为：1x =．此时(1,2)A ，(1,2)B -．M e 的方程为：22(1)4x y -+=．可得P ，(0,Q ．23PMQ π∠=． ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，由题意可得：0k ≠．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2222(24)0k x k x k -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则212224k x x k ++=，121=x x ． 212222M x x k x k ++==， 212244||2k AB x x k +∴=++=．设M e 的半径为r ，则22||222AB k r k+==． 过点M 作MN PQ ⊥，垂足为N ．在Rt PMN ∆中，222||2111cos (,1)||2222(1)2M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++． (0,)3PMN π∴∠∈，则2(0,)3PMQ π∠∈．综上可得：PMQ ∠的最大值为23π．【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知()22cos f x x ax b x =-+在点(,())22f ππ处的切线方程为34y x =. （1）求,a b 的值及()f x 在[0,]π上的单调区间；（2）若12,[0,]x x π∈，且()()1212,x x f x f x ≠=，求证12()02x x f '+<. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由函数在某点坐标，和导数值等于切线的斜率可得两个关于,a b 的方程组，解得,a b 值，再利用导数与函数单调性的关系，解不等式可得单调区间；（2）构造函数()()(),(0)2F x f x f x x ππ=--<<，求导，判断函数()F x 的单调性，利用函数的单调性可证结果．试题解析：（1）3324144{{1,220022f a b a a b f ππππππππ⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⇔⇒==⎛⎫-⋅-='= ⎪⎝⎭，所以()()2122cos ,2sin f x x x x f x x x ππ=-+=--'，①当02x π≤≤时，()210,1sin 00x f x π-≥-≥⇒>'，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数；②当2x ππ<≤时，()()()222sin sin 22sin 0x x x x f x x x πππππ=->-=-⇒=--<'，所以()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数； （2）由（1）得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 所以1202x x ππ≤<<≤，由()f x '在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒为负，1212222x x x x ππππ+>>⇒>+>， 设()()(),(0)2F x f x f x x ππ=--<<，则()()()()()22242sin 2sin 22F x f x f x x x x x x x xππππππππ⎛⎫⎡⎤=--=----'--=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦''，所以()0F x '>，所以()F x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，()02F x F π⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 当02x π<<时，()()f x f x π<-，所以()()11f x f x π<-，又()()21f x f x =，所以()()2121,,2f x f x x x ππππ<-<-<，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以21x x π>-，所以12x x π+>，所以1222x x π+>，所以1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用21．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin 12ρθρθ+=，直线l的参数方程为22(2x t ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点. （1）若点P 的极坐标为(2,)π，求PM PN ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）4；（2）16.【解析】（1）根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得240t -=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；（2）写出曲线C 的参数方程，分析可得以P 为顶点的内接矩形周长l ()4216032sin sin ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜＜，由正弦函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）由2222cos 3sin 12ρθρθ+=，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到2x +32y =12, 所以曲线C 的直角坐标方程为2x +32y =12，P 的极坐标为()2,π，化为直角坐标为（-2，0）由直线l的参数方程为：22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），知直线l 是过点P （-2，0），且倾斜角为4π的直线， 把直线的参数方程代入曲线C得，240t -=． 所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4．（2）由曲线C 的方程为 221124x y +=，不妨设曲线C上的动点()2P sin θθ，， 则以P 为顶点的内接矩形周长l ()4216032sin sin ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜＜， 又由sin （θ3π+）≤1，则l ≤16； 因此该内接矩形周长的最大值为16． 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题． 22．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤. 【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可.因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。
2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A {}{}1,2,3,4,3B x x ==<，则A I B ＝（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}13x x ≤≤ D ．{}13x x <<【答案】B【解析】根据交集的运算法则求解即可. 【详解】由题意得：A B =I {}1,2 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基本题型. 2．已知映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射下()3,1-的原象是（ ）A ．()3,1-B ．()1,1C ．()1,5D ．()5,7-【答案】B【解析】B 试题分析：由+2=3=1{,{-2=-1=1x y x x y y 得，所以在映射下()3,1-的原象是()1,1．【考点】象、原象的概念．点评：直接考查基本概念，属于基础题型．3．已知5a =v ，3b =v ，且12a b ⋅=-v v ，则向量a v 在向量b v 上的投影等于（ ）A ．-4B ．4C ．125-D ．125【答案】A【解析】根据公式，向量a v 在向量b v 上的投影等于a b b⋅v v v ，计算求得结果. 【详解】向量a v 在向量b v 上的投影等于1243a b b⋅-==-vv v . 故选A. 【点睛】本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 4．已知410.4m og =，0.44n ＝，0.50.4p =，则（ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n << D ．n p m <<【答案】B【解析】根据中间值比较法进行比较，利用对函数函数、指数函数的单调性，对数式与零进行比较，指数式与1进行比较，这样可以判断出大小关系. 【详解】因为4410.4110m og og =<=，0.40441n ＝>=，0.500.4100.4p <==<，所以m p n <<. 故选：B 【点睛】本题考查了对数式和指数式比较大小，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184C ．183D ．176【答案】B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．下列说法正确的是（ ） A ．若“4x π=，则tan 1x =”的逆命题为真命题B ．命题“n N ∃∈，22n n >”的否定是“n N ∀∈，22n n <”C ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件D ．函数)y x R =+∈的最小值为2【答案】C【解析】A ：写出原命题的逆命题，根据正切函数的性质进行判断即可； B ：根据特称命题的否定的规定进行判断即可； C ：根据充分不必要的定义进行判断即可；D ：利用基本不等式，结合等号成立的条件进行判断即可. 【详解】 A ：若“4x π=，则tan 1x =”的逆命题为：若tan 1x =，则4x π=.由tan 1()4x x k k Z ππ=⇒=+∈，显然不一定有4x π=，故该说法是不正确的；B ：命题“n N ∃∈，22n n >”的否定是“n N ∀∈，22n n ≤”，故该说法是不正确的；C ：由11111001a a a a a -<⇒-<⇒<⇒>或0a <，显然由11a<不一定能推出1a >，但是由1a >一定能推出11a<，故该说法是正确的；D ：2(*)y =≥=，当且仅当=291x +=时取等号，而方程291x +=无实数根，故不等式（）不能取等号，即2y =>成立 ，因此函数229()9y x x R x =++∈+的最小值不能为2.（或者由293x +≥可知：函数229()9y x x R x =++∈+的最小值不能为2.）故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了特称命题的否定，考查了原命题的逆命题的真假判断，考查了基本不等式的应用，考查了必要不充分条件的判断. 7．要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数cos(2)4y x π=-的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动8π个单位长度 C ．向右平行移动4π个单位长度 D ．向左平行移动8π个单位长度 【答案】B【解析】利用诱导公式把cos(2)4y x π=-变成正弦型函数解析式的形式，根据解析式之间的变形直接求解即可. 【详解】cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()42448y x y x x x πππππ=-⇒=+-=+=+，因此函数sin 2()8y x π=+向右平行移动8π个单位长度，便可以得到函数2sin 2y x =的图象. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换，考查了诱导公式的应用，属于基础题. 8．函数ln ()xf x ex -=-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】有韩束的表达式得到()ln xf x ex =+()f x ≠- ，也不等于()f x -- ，故函数非奇非偶，先排除选项AD ，再从BC 中选择，当自变量趋向于零但又大于0时，函数值趋向于负无穷，故结合选项知道应选B 。
【数学】江西省赣州市2019-2020学年高一上学期期中试题(解析版)
江西省赣州市2019-2020学年高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U A B =U ð（ ） A ．{}0,2,3,4 B ．{}2,3C ．{}4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】Q 全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}0,4U A =ð， 因此，(){}0,2,3,4U A B =U ð. 故选：A.2．函数()()lg 1f x x =-的定义域为（ ） A ．(]1,3 B ．()3,+∞C ．(],3-∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】由题意可得3010x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，因此，函数()()lg 1f x x =--的定义域为(]1,3. 故选：A.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．24y x =-+ C ．2x y = D ．3y x =【答案】D【解析】对于A 选项，函数y x =是偶函数，当0x >时，y x =，该函数为增函数； 对于B 选项，函数24y x =-+是偶函数，图象开口向下，该函数在()0,∞+上为减函数；对于C 选项，函数2xy =是非奇非偶函数，该函数在()0,∞+上为增函数；对于D 选项，函数3y x =是奇函数，该函数在()0,∞+上为增函数.故选：D.4．已知函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()1,1-C ．()0,1-D ．()0,1【答案】B【解析】令21x +=，得1x =-，又()1log 111a f -=+=. 因此，定点A 的坐标为()1,1-. 故选：B.5．函数22y x x =-+，[]0,3x ∈的值域为（ ） A ．[]0,3 B ．[]3,0- C ．[]3,1- D ．[]0,1【答案】C【解析】分二次函数22y x x =-+的图象开口向下，对称轴为直线1x =，该函数在区间[]0,1上单调递增，在区间[]1,3上单调递减，所以，当1x =时，函数22y x x =-+取得最大值，即max 121y =-+=.当0x =时，0y =，当3x =时，23233y =-+⨯=-，该函数的最小值为min 3y =-.因此，函数22y x x =-+，[]0,3x ∈的值域为[]3,1-.故选：C.6．已知函数()f x 为奇函数，且当0x <时，()21f x x x=+，则()1f =（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】C【解析】求Q 当0x <时，()21f x x x =+，()()211101f ∴-=-+=-， 由于函数()y f x =为奇函数，因此，()()110f f =--=. 故选：C.7．设0.46a =，0.4log 0.6b =，6log 0.4c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【解析】指数函数6xy =在R 上为增函数，则0.40661a =>=；对数函数0.4log y x =在()0,∞+上为减函数，则0.40.40.4log 1log 0.6log 0.4<<，即01b <<；对数函数6log y x =在()0,∞+上为增函数，则66log 0.4log 10c =<=. 因此，c b a <<. 故选：B.8．已知lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】已知lg lg 0a b +=，则lg ab =0，即ab =1， 则g （x ）=-log b x=log a x ，f （x ）=a x ，根据对数函数和指数函数的图象，若0<a<1，选项中图象都不符合， 若a >1,选项B 符合. 故选B9．设23a b m ==，且111a b+=，则m =（ ）A ．2 BC ．3D ．6【答案】D【解析】23a b m ==Q ，则0m >，且有2log a m =，3log b m =，1log 2m a ∴=，1log 3m b=， 11log 2log 3log 61m m m a b∴+=+==，因此，6m =.10．偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()01f =-，()10f -=，则满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,3【答案】D【解析】由于函数()y f x =是偶函数，且()01f =-，()10f -=，则()10f =，且()()f x f x =，由()120f x -≤-≤，得()()()021f f x f ≤-≤-，则()()()021f fx f ≤-≤，由于函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则021x ≤-≤，即21-≤x ，121x ∴-≤-≤，解得13x ≤≤，因此，满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是[]1,3.故选：D.11．若函数()()log 2a f x ax =-在[]1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,2【答案】A【解析】由题意可知0a >且1a ≠，由于函数()()log 2a f x ax =-在[]1,2上单调递增， 内层函数2u ax =-在[]1,2上为增函数，则外层函数log a y u =为增函数，所以，min120a u a >⎧⎨=->⎩，解得2a >.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：A.12．已知函数()()2244,0log ,0x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．()12,3-B ．(),3-∞C ．[)12,3-D ．(]0,3【解析】作出函数()y f x =的图象，设123x x x <<，设()()()123f x f x f x t ===， 由图象可知，当04t <≤时，直线y t =与函数()y f x =图象的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，二次函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称，则234x x +=，由于()104f x <≤，即()210log 4x <-≤，得1116x <-≤，解得1161x -≤<-，123123x x x ∴-≤++<.因此，123x x x ++的取值范围是[)12,3-. 故选：C.二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f =__________． 【答案】18【解析】设幂函数为()f x x α= ，则11()()8,322f αα==∴=- . 3()-=f x x ，所以31(2)28f -==. 14．已知函数()21,010,0x x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()10f a =，则a 的值是_________________.【答案】3-或1【解析】()21,010,0x x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩Q ，当0a ≤时，()2110f a a =+=，解得3a =-；当0a >时，()1010af a ==，解得1a =.因此，a 的值是3-或1. 故答案为：3-或1.15．函数()()22log log 2f x x x =⋅，1,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最大值与最小值的和为__________. 【答案】74【解析】()()()2222log lo l log og 1g 2f x x x x x ⋅=⋅=+Q ，1,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ， 令[]2log 2,1t x =∈-，设()21y t t t t =+=+，其中[]2,1t ∈-，二次函数2y t t =+图象开口向上，对称轴为直线12t =-， 当12t =-时，函数2y t t =+取得最小值，即2min 111224y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.当2t =-或1t =时，函数2y t t =+取得最大值，即2max 112y =+=.因此，函数()y f x =的最大值和最小值之和为17244-=. 故答案为：74. 16．给出下列命题，其中正确的序号是________（写出所有正确．．命题的序号）. ①已知集合{},P a b =，{}0,1Q =，则映射:f P Q →中满足()0f b =的映射共有1个； ②函数()xf x e =的图象关于y x =对称的函数解析式为ln y x =；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④已知函数()1x xxf x e e-=++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于2. 【答案】②④【解析】对于命题①，满足()0f b =的映射有()()00f a f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩和()()10f a f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，共两个，命题①错误；对于命题②，函数()xf x e =与函数ln y x =互为反函数，两个函数的图象关于直线y x =对称，命题②正确；对于命题③，由于函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或1a ≥，命题③错误；对于命题④，()()112x x x xx xf x f x e e e e---+=-++=++Q ， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，则函数()y f x =图象上的最高点和最低点也关于点()0,1对称，则2M m +=，命题④正确. 因此，正确命题的序号为②④. 故答案为：②④. 三、解答题17．已知集合{}{}19,121.A x x B x m x m =-<<=+≤≤- （1）当5m =时，求A B I ；（2）若A B B =I ，求实数m 的取值范围.解：（1）当5m =时，{{}69B x x =≤≤，{}19A x x =-<<Q ，因此，{}69A B x x ⋂=≤<；（2）A B B =Q I ，B A ∴⊆.当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则有12111219m m m m +≤-⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，解得25m ≤<.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 18．求下列各式的值.（1）()10.532325π123816-⎛⎫⎛⎫-+⨯++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2lg 2lg5lg 20lg100+⋅+.解：（1）原式110.5233312751351212484424⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++-=+⨯++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦13537124248=+⨯++=；（2）原式()()()222lg 2lg5lg 21lg10lg 2lg5lg 2lg52=+⋅++=+⋅++()lg2lg2lg5lg52lg2lg52123=+++=++=+=.19．已知函数()f x 是定义域为()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =.（1）补全函数()f x 的图象（不需要列表），并写出函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 解析式.解：（1）补全函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()2log f x x =的单调递增区间为()1,0-和()1,+∞，单调递减区间为(),1-∞-和()0,1；（2）当0x <时，0x ->，则()()2log f x x -=-，由于函数()y f x =为偶函数，此时()()()2log f x f x x =-=-.因此，()()22log ,0log ,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩. 20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数： 21400x ,0x 400()280000,400x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润)(1)将利润()f x 表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解： (1)由于月产量为x 台,则总成本为20000100x +,从而利润()21300x 20000,0400260000100,400x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩； (2)当0400x ≤≤时,()()2211300200003002500022f x x x x =--=--+，所以当300x =时,有最大值25000；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数, 则()6000010040025000f x =-⨯<． 所以当300x =时,有最大值25000,即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元．21．已知函数()2121xx a f x ⋅=++，()6,2x b b ∈-是奇函数.（1）求a 、b 的值；（2）证明：()f x 是区间()6,2b b -上的减函数； （3）若()()1120f m f m ++-<，求实数m 的取值范围.解：（1）由于函数()y f x =定义在()6,2b b -上的奇函数，其定义域关于原点对称， 则620b b -+=，解得2b =，且()00110212a af =+=+=+，解得2a =-， ()()212222*********x xx x x xxf x +-⋅⋅-∴=-==+++，定义域为()4,4-，()()11122121122112xx x xx xf x f x ------====-+++，则函数()y f x =为奇函数； （2）任取1x 、()24,4x ∈-，且12x x <，即1244x x -<<<.则()()()()()()()()12211212121212211221121221212121x x x x x x x x x x f x f x -+--+---=-=++++()()()21122222121x x x x -=++，1244x x -<<<Q ，21220x x ∴>>，则21220x x ->，1210x +>，2210x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =是()4,4-上的减函数；（3）()()1120f m f m ++-<Q ，()()()11221f m f m f m ∴+<--=-，由于函数()y f x =是定义在()4,4-上的减函数，则1214144214m m m m +>-⎧⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得322m <<. 因此，实数m 的取值范围是3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．设函数()()2220f x ax ax b a =-++≠，若()f x 在区间[]2,3上有最大值5，最小值2.（1）求a 、b 的值；（2）若1b <，且当[]2,4x ∈时，()()20g x f x mx =-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）二次函数()()2220f x ax ax b a =-++≠图象的对称轴为直线1x =. ①当0a >时，函数()y f x =在区间[]2,3上单调递增，则()()()()max min3325222f x f a b f x f b ⎧==++=⎪⎨==+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩； ②当0a <时，函数()y f x =在区间[]2,3上单调递减，则()()()()max min 2253322f x f b f x f a b ⎧==+=⎪⎨==++=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩. 因此，10a b =⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=⎩； （2）当1b <时，则1a =，0b =，()222f x x x ∴=-+， 由()20f x mx -≥，得2222mx x x ≤-+，由于[]2,4x ∈，则2221m x x≤-+. 令111,42t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，得2221m t t ≤-+， 二次函数2221y t t =-+的图象开口向上，对称轴为直线12x =， 所以，函数2221y t t =-+在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则2min 111221222y ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭. 12m ∴≤，因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2019-2020学年江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题(解析版)
江西省赣州市十五县(市)高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}10,1,2,3A =-，，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,2-【答案】B【解析】根据交集运算法则，即可求解. 【详解】由题意，{}1,0,1,2A B ⋂=- 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．函数lg(3)y x =-的定义域为( )A ．[)2,3-B ．(3,)+∞C ．[]2,3-D ．(,2]-∞-【答案】A【解析】由偶次方根的被开方数大于等于0，对数式的真数大于0联立得到不等式组，求解． 【详解】解：lg(3)y x =-Q2030x x +⎧∴⎨->⎩…，解得23x -<„． ∴函数(3)y lg x =-的定义域为[)2,3-．故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 3．下列各组函数中，表示为同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．1y =与0y x =C ．2(),()ln 2ln f x g x x x ==D ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）【答案】D【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 【详解】对于A ，2111x y x x -==+-定义域为{}1x x ≠， 1y x =+定义域为R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，A 错；对于B ，函数01y x ==，定义域为{}0x x ≠，函数1y =的定义域为R ， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，B 错；对于C ，函数2()ln f x x =定义域为{}0x x ≠，函数()2ln g x x =定义域为()0+∞，，定义域不同不是同一函数；对于D ，log xa y a x ==，（0a >且1a ≠），两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以两个函数表示同一个函数. 故选：D 【点睛】本题考查同一函数的概念，需保证定义域、对应法则一致从而值域也一致，考查概念辨析，属于基础题.4．已知函数2(2)()ln 1(2)x e x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，那么()ln3f 的值是（ ）A ．0B ．1C ．()ln ln 2D ．2【答案】B【解析】根据分段函数概念，2ln3ln 2e <=代入第一段，即可求解 【详解】由题意，2ln3ln 2e <=，ln3(ln 3)21f e ∴=-=故选：B 【点睛】本题考查分段函数概念，属于基础题.5．已知全集U =R ，集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =<≤，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．[1,2](3,4]UB ．[1,2][3,4]UC ．[1,2)(3,4]UD ．(1,2)(3,4]U【答案】A【解析】分析Venn 图，可知阴影部分为()()U UA B B A ⋂⋃⋂痧，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，分析Venn 图，可知阴影部分为()()U UA B B A ⋂⋃⋂痧，[]1,2U A B ⋂=ð，(]34U B A ⋂=，ð ()()[](]1,23,4UUA B B A ⋂⋃⋂=⋃痧故选：A 【点睛】本题考查集合中Venn 图法，考查数形结合思想，属于基础题6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．-2B ．1C ．-1D ．2【答案】C【解析】利用函数的奇函数，将()1f -转化为()1f 进行求值. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-，Q 0x ≥时，()22f x x x =-，∴()()()11211f f -=-=--=-.故选：C 【点睛】本题考查奇函数定义，属于基础题.7．为了得到函数ln xy e=的图像，可以把函数ln y x =的图像（ ） A ．向下平移一个单位 B ．向上平移一个单位 C ．向左平移一个单位 D ．向右平移一个单位【答案】A【解析】根据对数运算法则，化简ln =ln 1xy x e=-，根据函数图象的平移法则，即可求解. 【详解】由题意，可知ln=ln 1xy x e=-，根据上加下减， 可以把函数ln y x =的图象向下平移一个单位，得到ln xy e=的图象. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的平移，属于基础题.8．已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A ．2()1y f x =+ B ．(21)y f x =+ C ．()y f x =- D ．|()|y f x =【答案】B【解析】已知()f x 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手. 【详解】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A ．2()1[1,5]y f x =+∈-，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]y f x =+∈-，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]y f x =-∈-，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ． 【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折. 平移：()()y f x y f x A =⇒=+；伸缩：()()y f x y Af x =⇒=或者()y f Ax =；对称：()()y f x y f x =⇒=-（关于x 轴对称）或者()y f x =-（关于y 轴对称）；翻折：()|()|y f x y f x =⇒=（将x 轴下方图象翻折到上方）或者(||)y f x =（将y 轴右边图象翻折到左边）.9．已知幂函数()y f x =的图像过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()4log 8f 的值为（ ）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【答案】A【解析】根据幂函数的定义，求解幂函数解析式，再代入求值. 【详解】由题意，幂函数()y f x =的图像过点12⎛ ⎝⎭，设()f x x α=，代入，则1211==222α⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则1=2α， 12()f x x ∴=1322(8)82f ==()232423log 8=log 24f =故选：A 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，考查对数运算法则，考查计算能力，属于基础题. 10．设()()f x x R ∈为偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则()2f -，()f π-，1f e ⎛⎫⎪⎝⎭的大小顺序是（ ） A ．1()(2)f f f e π⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B ．1()(2)f f f e π⎛⎫->-> ⎪⎝⎭C ．1()(2)f f f e π⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．1()(2)f f f e π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据偶函数定义，()2(2)f f -=，()=()f f ππ-，比较12eπ，，的大小，即可求解. 【详解】由题意，()()f x x R ∈为偶函数，则()2(2)f f -=，()=()f f ππ-， 且()f x 在[)0,+∞上是增函数，12e π<<Q，1()(2)()f f f eπ∴<< 1()(2)()f f f eπ∴<-<-故选：B 【点睛】利用函数单调性和奇偶性结合，比较函数值的大小，考查转化与化归思想，本题属于基础题.11．集合{(,)|2}P x y y ==，{}(,)|xQ x y y a m ==+（0a >且1a ≠）已知P QI 有两个子集，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意，已知P Q I 有两个子集，则P Q I 中只有1个元素，即2y =与x y a m =+交于一点，转化为方程2x a m +=仅有一根，即20x a m =-+>，即可求解. 【详解】由题意，已知P Q I 有两个子集，则P Q I 中只有1个元素，即2y =与xy a m =+交于一点，令2x a m +=，化简得到2x a m =-+ 方程2x a m =-+有且只有一个根，0x a >Q ，20m ∴-+> 解得2m <，即(),2m ∈-∞ 故选：B 【点睛】由集合交集中的元素个数转化成求解函数交于一点问题，再转化成方程有解问题，本题考查转化与化归思想解题，考查逻辑推理能力，属于中等题型.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数,例如: ,，已知函数,则函数的值域为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】先求的值域，再根据高斯函数的定义求的值域.【详解】的定义域为，，因为，所以，所以的值域为，所以的值域为，故选C.【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.二、填空题13．集合{|20}M x Z x =∈-≤≤的真子集个数为____________. 【答案】7【解析】由题意，写出集合M ，通过公式21n -计算真子集个数. 【详解】由题意，可知{21,0}M =--，集合中有3个元素，则真子集个数为321=7-个. 故答案为：7 【点睛】本题考查集合中真子集个数的计算方法，属于基础题.14．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =.现在已知23a =， 34b =，则ab =__________. 【答案】2【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. 【详解】∵23a =， 34b = ∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为2 【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：log log log b b caa c=将其转化为同底数的对数式进行运算.15．若定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，则()y f x =的递减区间是____________.【答案】()3,1--,()0,1（或者[]3,1--，[]0,1）【解析】定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，得出240a a -++=，1k =，可得a ，即可求出 ()y f x =的递减区间. 【详解】Q 定义域为[]2,4a a -+的函数2()(2)(1)f x a x k x a =-++--是偶函数，∴240a a -++=，1k = ∴1a =-∴()[]()213,3f x x x =-+∈-∴()y f x =的递减区间是()()3,1,0,1--（或者[]3,1--，[]0,1）故答案为：()()3,1,0,1--（或者[]3,1--，[]0,1） 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域关于原点对称，属于中等题型.16．已知函数()2020)20201x x f x x -=+-+，若()lg21f =-，则1lg 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】3【解析】观察函数解析式，令()2020)2020x x g x x =+-，根据奇函数定义，可判断()()g x g x -=-；若()lg21f =-，则可求(lg 2)g ，再求1(lg 2)(lg )2g g -=，即可求解.【详解】由题意，令()2020)2020x x g x x =+-，则()2020)202020202020()x x x x g x x g x ---=+-=-++=-即()g x 为奇函数，若()lg21f =-，则(lg 2)(lg 2)12g f =-=-，1(lg )(lg 2)(lg 2)22g g g =-=-=则11(lg )(lg )1322f g =+= 故答案为：3 【点睛】本题考查构造奇函数，利用奇函数性质求值，考查计算能力，属于中等题型.三、解答题17．不用计算器求下列各式的值. （1）122302136(0.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1log 23log lg 25lg 473+++. 【答案】（1）32（2）154【解析】（1）根据指数运算法则，计算可得. （2）根据对数运算法则，计算可得. 【详解】（1）原式12223252731482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12232235331222⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭225331222--⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32= （2）原式3433log lg(254)23=+⨯+1243log 3lg102-=++1152244=-++=【点睛】本题考查（1）指数运算法则（2）对数运算法则，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ． （1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围． 【答案】（1）A ∩B ＝{2}（2）【解析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A ，B ，再进行集合的运算即可.（2）先根据集合C ，结合C ⊆B ，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）由题意得：函数f （x ）有意义，则，即，解得，∴A ＝{x |x ≥2}， 又g （x ）单调递减，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∴A ∩B ＝{2} （2）由（1）知：，当即时：满足题意；当即时：要使则解得综上，【点睛】本题考查了利用集合间的关系求参数的取值范围的方法，借助于区间端点间的大小关系列出不等式组是解题的关键，属于基础题．19．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，且当[]0,3x ∈时，222,[0,2)()2,[2,3]x x f x x x ⎧-+=⎨-⎩.（1）平面直角坐标系中，画出函数()f x 的图像.（2）据图像，写出()f x 的单调增区间，同时写出函数的值域.【答案】（1）见解析（2）单调增区间为[]3,2--，[]1,1-，[]2,3，值域为[]3,3- 【解析】（1）根据分段函数特点，分段画出函数图象，再由奇函数画出对称区间上的图像.（2）根据图象直接写出函数单调区间和值域. 【详解】 （1）图见：（2）单调增区间为[]3,2--，[]1,1-，[]2,3（开区间也给满分）值域为[]3,3-.本题考查（1）分段函数的图像画法（2）由图象直接写出单调区间和值域，考查数形结合思想，属于基础题.20．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x （130x x N ≤≤∈，）天的销售价格（单位：元/件）为30,110()50,1030x x f x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩，第x 天的销售量（单位：件）为()g x a x =-（a 为常数），且在第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格×销售量）.（1）求a 的值，并求第15天该商品的销售收入； （2）求在这30天中，该商品日销售收入y 的最大值.【答案】（1）40a =，第15天该商品的销售收入为875元（2）最大值为1225元. 【解析】（1）根据题意，列出第20天的销售收入(20)(20)600f g =，可求a 值，再求第15天的销售收入；（2）由题意，销售价格为分段函数，则根据分段，分别求销售额的函数，再分别计算两段内的最大值，比较即可求解. 【详解】（1）当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g a =--=， 解得40a =.从而可得(15)(15)(5015)(4015)875f g =--=（元）， 即第15天该商品的销售收入为875元. （2）由题意可知(30)(40),110(50)(40),1030x x x y x x x +-≤≤⎧=⎨--<≤⎩，=22101200,110902000,1030x x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+<≤⎩ 当110x ≤≤时，()2210120051225y x x x =-++=--+. 故当5x =时y 取最大值，max 1225y =. 当1030x <≤时，22902000(45)25y x x x =-+=--,210901020001200y ∴<-⨯+=.故当5x =时，该商品日销售收入最大，最大值为1225元.本题考查（1）分段函数解决实际问题（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.21．若{}3|0log 1A x R x =∈≤≤，函数1()4325x x f x m +=-⋅+（其中,x A m R ∈∈）（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的最小值.【答案】（1）[]1,3（2）2min2912328()5933869483m m f x m m m m ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩【解析】（1）根据题意，解结合A 中对数不等式，即可求解.（2）根据换元法，令2(28)xt t =≤≤化成关于t 的函数，讨论对称轴分段求最小值【详解】（1）在A 中由30log 1x ≤≤得333log 1log log 3x ≤≤， ∴13x ≤≤，即函数()f x 的定义域为[]1,3. （2）()2()2625xx y f x m ==-⋅+令2(28)xt t =≤≤，则22265(3)95y t mt t m m =-+=--+，若32m ≤即23m ≤，则min (2)4125912y f m m ==-+=-， 若238m <<即2833m <<，则2min (3)59y f m m ==-，若38m ≥即83m ≥，则min (8)644856948y f m m ==-+=-，综上所述，2min 2912328()5933869483m m f x m m m m ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩【点睛】本题考查（1）解对数不等式（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称函数()f x 的一个上界.已知函数()21eexxf x a --=++，()121log 1x g x mx +=-.（1）若函数()g x 为奇函数，求实数m 的值；（2）在第（1）的条件下，求函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数α的取值范围. 【答案】(1)1m =；(2)[)3,+∞；(3)[]5,1-. 【解析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得()()g x g x -=-，即112211log log 11x x mx mx -++=----，整理得1111x mx mx x -+-=--+，可得()2210m x -=，解得1m =±，经验证1m =-不合题意．（2）根据单调性的定义可证明函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，从而可得()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--，故()3g x ≤，从而可得所有上界构成的集合为[)3,+∞．（3）将问题转化为()3f x ≤在[)0,+∞上恒成立，整理得4e e 2e e x x x x a ----≤≤-在[)0,+∞上恒成立，通过判断函数的单调性求得()()maxmin4ee 2e e xxx x-----和即可得到结果．试题解析：（1）∵函数()g x 是奇函数， ∴()()g x g x -=-，即112211log log 11x x mx mx -++=----，∴1111x mx mx x -+-=--+，∴()2210m x -=， 解得1m =±，当1m =-时，11111x x mx x ++==----，不合题意，舍去．∴1m =.（2）由（1）得()121log 1x g x x +=-， 设()12111x u x x x +==+--， 令12,x x D ∈，且121x x <<， ∵()()121211u x u x x -=+- ()()()212122210111x x x x x ---=>---； ∴()11x u x x +=-在()1,+∞上是减函数， ∴()121log 1x g x x +=-在()1,+∞上是单调递增函数， ∴()121log 1x g x x +=-在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增， ∴()()937g g x g ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，即()31g x -≤≤-， ∴()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--，∴()3g x ≤，故函数()g x 在区间9,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合为[)3,+∞.（3）由题意知，()3f x ≤在[)0,+∞上恒成立， ∴()33f x -≤≤， ∴231e e 3x x a ---≤++≤，因此4e e 2e e x x x x a ----≤≤-在[)0,+∞上恒成立， ∴()()maxmin4e e2e e x xx xa ----≤≤-设e x t =，()14h t t t=--，()12p t t t=-，由[)0,x ∈+∞知1t ≥， 设121t t ≤<，则()()()()21121212410t t t t h t h t t t ---=>，()()()()12121212210t t t t p t p t t t -+-=<，∴()h t 在[)1,+∞上单调递减，()p t 在[)1,+∞上单调递增，∴()h t 在[)1,+∞上的最大值为()15h =-，()p t 在[)1,+∞上的最小值为()11p =， ∴51a -≤≤． ∴a 的取值范围[]5,1-. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题的关键是要紧紧围绕所给出的新定义，然后将所给问题转化为函数的最值（或值域）问题处理．（2）求函数的最值（或值域）时，利用单调性是常用的方法之一，为此需要先根据定义判断出函数的单调性，再结合所给的定义域求出最值（或值域）．。
2019-2020学年江西省赣州市高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年江西省赣州市高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{1, 2, 3}，B ＝{2, 3, 4}，则(∁U A)∪B ＝（ ）A.{4}B.{2, 3}C.{0, 2, 3, 4}D.{1, 2, 3, 4}【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行并集、补集的运算即可．【解答】∵ U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 3}，B ＝{2, 3, 4}；∴ ∁U A ＝{0, 4}；∴ (∁U A)∪B ＝{0, 2, 3, 4}．2. 函数f(x)=√3−x −lg(x −1)的定义域为（ ）A.(1, 3]B.(3, +∞)C.(−∞, 3]D.(1, +∞)【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意可得，{3−x ≥0x −1>0，解不等式即可求． 【解答】由题意可得，{3−x ≥0x −1>0， 解可得，1<x ≤3，即函数的定义为(1, 3]3. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, +∞)上是增函数的是（ ）A.y ＝|x|B.y ＝−x 2+4C.y ＝2xD.y ＝x 3【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】用奇函数和减函数的性质判断．【解答】由题意得：对于A ，y ＝|x|，函数关于y 轴对称，为偶函数，故A 错；对于B ，y ＝−x 2+4，函数开口向下，在(0, +∞)上是减函数，故B 错；对于C ，y ＝2x ，函数为非奇非偶函数，故C 错误4. 函数f(x)＝log a(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象经过的定点是（）A.(−2, 1)B.(−1, 1)C.(1, 0)D.(1, 2)【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】根据对数函数的性质，令真数等于1，可得x的值，带入计算即可得y的值，从而得到定点的坐标．【解答】函数f(x)＝log a(x+2)+1，令x+2＝1，可得：x＝−1，那么y＝1，∴函数f(x)＝log a(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象经过的定点是(−1, 1)．5. 函数y＝−x2+2x，x∈[0, 3]的值域为（）A.[0, 3]B.[−3, 0]C.[−3, 1]D.[0, 1]【答案】C【考点】函数的值域及其求法【解析】可配方得出y＝−(x−1)2+1，x∈[0, 3]，从而可求出该函数在[0, 3]上的最大值和最小值，从而得出该函数在[0, 3]上的值域．【解答】y＝−x2+2x＝−(x−1)2+1，x∈[0, 3]，∴x＝1时，y取最大值1；x＝3时，y取最小值−3，∴原函数的值域为[−3, 1]．6. 已知函数f(x)奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2+1，则f(1)＝（）xA.−2B.0C.1D.2【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数的奇偶性以及函数的解析式求出f(−1)的值，从而求出f(1)的值即可．【解答】f(x)是奇函数，故f(−1)＝−f(1)，，而x<0时，f(x)＝x2+1x故f(−1)＝1−1＝0，故f(1)＝−f(−1)＝0，故选：B．7. 设a＝60.4，b＝log0.40.6，c＝log60.4，则a，b，c的大小关系为（）A.a<c<bB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】直接利用对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．【解答】∵a＝60.4>60＝1，0＝log0.41<b＝log0.40.6<log0.40.4＝1，c＝log60.4<log61＝0，∴c<b<a．8. 已知lga+lgb=0，函数f(x)=a x与函数g(x)=−log b x的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】B【考点】函数图象的作法【解析】先求出a、b的关系，将函数g(x)进行化简，得到函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0,∴ab=1则b=1.a从而g(x)=−log b x=log a x，∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减.结合选项可知选B.9. 设2a ＝3b ＝m ，且1a +1b =1，则m ＝（ ）A.2B.√6C.3D.6 【答案】D【考点】 基本不等式及其应用【解析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质结合已知条件即可求出m 的值．【解答】∵ 2a ＝3b ＝m ，∴ a ＝log 2m ，b ＝log 3m ，∴ 1a +1b =1log 2m +1log 3m =log m 2+log m 3＝log m 6，∴ log m 6＝1，即m ＝6，10. 偶函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f(0)＝−1，f(−1)＝0，则满足−1≤f(x −2)≤0的x 取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由偶函数和单调函数的性质，判断每个区间的正负，在进行求解【解答】故选：D ．11. 若函数f(x)＝log a (ax −2)在[1, 2]上单调递增，则实数a 的取值范围是为（ ）A.(2, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(1, 2)【答案】A【考点】复合函数的单调性【解析】由题意利用对数函数的性质，复合函数的单调性，求得实数a 的取值范围．【解答】∵ 函数f(x)＝log a (ax −2)在[1, 2]上单调递增，而函数t ＝ax −2(a >0)在[1, 2]上单调递增，则a >1，且a −2>0，求得a >2，12. 已知函数f(x)={x 2−4x +4,x ≥0log 2(−x),x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围（ ）A.(−12, 3)B.(−∞, 3)C.[−12, 3)D.(0, 3]【考点】分段函数的应用【解析】画出函数f(x)={x 2−4x +4,x ≥0log 2(−x),x <0，设x 1<x 2<x 3，则由题意可得−16<x 1<−1，x 2+x 3＝4，由此可得x 1+x 2+x 3的取值范．【解答】当x <0时，f(x)＝log 2(−x)是减函数．当x ≥0时，f(x)＝x 2−4x +4＝(x −2)2，故当x ＝2时，f(x)取得最小值为0．画出函数f(x)的图象，如图所示：设x 1<x 2<x 3，则由题意可得−16≤x 1<−1，x 2+x 3＝4．故有−12≤x 1+x 2+x 3<3，故选：C ．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(12, 8)，则f(2)＝________．【答案】1 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】幂函数y ＝f(x)＝x a 的图象过点(12, 8)，推导出f(x)＝x −3，由此能求出f(2)．【解答】∵ 幂函数y ＝f(x)＝x a 的图象过点(12, 8)，∴ (12)a ＝8，解得a ＝−3，∴ f(x)＝x −3，∴ f(2)＝2−3=18．已知函数f(x)={x 2+1,x ≤010x ,x >0，若f(a)＝10，则a 的值是________．−3或1【考点】函数的求值求函数的值【解析】当a ≤0时，f(a)＝a 2+1＝10，当a >0时，f(a)＝10a ＝10，由此能求出a 的值．【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1,x ≤010x ,x >0，f(a)＝10， 当a ≤0时，f(a)＝a 2+1＝10，解得a ＝−3，当a >0时，f(a)＝10a ＝10，解得a ＝1．综上，a 的值为−3或1．函数f(x)＝log 2x ⋅log 2(2x)，x ∈[14,2]，则函数f(x)的最大值与最小值的和为________．【答案】74【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用对数的运算性质与，结合换元，原函数可化为g(t)＝(t +2)(t +1)，(−2≤t ≤1)，利用二次函数的性质求解即可．【解答】∵ x ∈[14,2]，令t ＝log 2x ∈[−2, 1]；函数f(x)＝log 2x ⋅log 2(2x)＝log 2x(log 22+log 2x)＝t(1+t)＝t 2+t ，由二次函数可得当t =−12时，y 取最小值−14，此时x =√22； 当t ＝−2时，y 取最大值2，此时x =14．函数f(x)的最大值与最小值的和：2−14=74．给出下列命题，其中正确的序号是________①已知集合P ＝{a, b}，Q ＝{0, 1}，则映射f:P →Q 中满足f(b)＝0的映射共有1个． ②函数f(x)＝e x 的图象关于y ＝x 对称的函数解析式为y ＝lnx ．③若函数f(x)＝log 2(x 2−2ax +1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是(−1, 1) ④已知函数f(x)＝1+x e x +e −x 的最大值为M 最小值为m ，则M +m 的值等于2【答案】②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接由映射的概念判断①；由互为反函数图象间的关系判断②；把函数的值域为R转化为真数能够取到大于等于0的所有实数求解③；利用奇函数的对称性求解④．【解答】①集合P＝{a, b}，Q＝{0, 1}，则映射f:P→Q中满足f(b)＝0的映射共有2个，故①错误；②由y＝e x，得x＝lny，把x与y互换，可得函数f(x)＝e x的反函数为y＝lnx，∴函数f(x)＝e x的图象关于y＝x对称的函数解析式为y＝lnx，故②正确；③若函数f(x)＝log2(x2−2ax+1)的值域为R，则△＝4a2−4≥0，解得a≤−1或a≥1．∴实数a的取值范围是(−∞, −1)∪(1, +∞)，故③错误；④函数g(x)=xe x+e−x 的定义域为R，且g(−x)=−xe−x+e x=−xe x+e−x=−g(x)，则函数g(x)为奇函数，设g(x)的最大值为S，则有最小值−S，可得函数f(x)＝1+xe x+e−x的最大值为M＝1+S，最小值为m＝1−S，则M+m的值等于2，故④正确．∴其中正确的序号是②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A＝{x|−1<x<9}，B＝{x|m+1≤x≤2m−1}．（1）当m＝5时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【答案】A＝{x|−1<x<9}，m＝5时，B＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝[6, 9)；∵A∩B＝B，∴B⊆A，且B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，①B＝⌀时，m+1>2m−1，解得m<2；②B≠⌀时，{m≥2m+1>−12m−1<9，解得2≤m<5，综上得，实数m的取值范围为(−∞, 5)．【考点】交集及其运算【解析】（1）m＝5时，可求出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∩B＝B即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝⌀时，m+1>2m−1；B≠⌀时，{m+1≤2m−1m+1>−12m−1<9，解出m的范围即可．【解答】A＝{x|−1<x<9}，m＝5时，B＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝[6, 9)；∵A∩B＝B，∴ B ⊆A ，且B ＝{x|m +1≤x ≤2m −1}，①B ＝⌀时，m +1>2m −1，解得m <2；②B ≠⌀时，{m ≥2m +1>−12m −1<9，解得2≤m <5，综上得，实数m 的取值范围为(−∞, 5)．求下列各式的值（1）(π−1)0+2−2×(338)13+(2516)0.5+√(−2)2；（2）(lg2)2+lg5⋅lg20+lg100；【答案】原式＝1+14×32+54+2=378原式＝(lg2)2+lg5⋅(lg2+lg10)+2＝(lg2)2+lg5⋅lg2+lg5+2＝(lg2+lg5)lg2+lg5+2＝lg2+lg5+2＝1+2＝3【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】1用指数的运算性质化简再运算，2用对数的运算性质化简再运算．【解答】 原式＝1+14×32+54+2=378原式＝(lg2)2+lg5⋅(lg2+lg10)+2＝(lg2)2+lg5⋅lg2+lg5+2＝(lg2+lg5)lg2+lg5+2＝lg2+lg5+2＝1+2＝3已知函数f(x)是定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，当x >0时，f(x)＝|log 2x|．（1）补全函数f(x)的图象（不需要列表），并写出函数f(x)的单调区间．（2）求函数f(x)解析式．【答案】函数图象如下：函数f(x)在(−∞, 1)，(0, 1)递减；在(−1, 0)，(1, +∞)递增．当x >0时，f(x)＝|log 2x|，当x <0时，−x >0，所以f(−x)＝|log 2(−x)|＝f(x)，故解析式为：f(x)={log 2x,x >0log 2(−x),x <0． 【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）画出图象，求出单调区间；（2）根据x >0的解析式，求出x <0的解析式，即可得出结论．【解答】函数图象如下：函数f(x)在(−∞, 1)，(0, 1)递减；在(−1, 0)，(1, +∞)递增．当x >0时，f(x)＝|log 2x|，当x <0时，−x >0，所以f(−x)＝|log 2(−x)|＝f(x)，故解析式为：f(x)={log 2x,x >0log 2(−x),x <0．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x −12x 2,0≤x ≤400,80000,x >400,其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）(1)将利润x 表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】解：(1)由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而利润f(x)={300x −12x 2−20000,0≤x ≤400,60000−100x,x >400.(2)当0≤x ≤400时，f(x)=300x −12x 2−20000=−12(x −300)2+25000， ∴ 当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，∴ f(x)=60000−100×400=20000<25000．∴ 当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【考点】函数模型的选择与应用函数最值的应用【解析】（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x ≤400时，和当x >400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：(1)由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而利润f(x)={300x −12x 2−20000,0≤x ≤400,60000−100x,x >400.(2)当0≤x ≤400时，f(x)=300x −12x 2−20000=−12(x −300)2+25000， ∴ 当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，∴ f(x)=60000−100×400=20000<25000．∴ 当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．已知函数f(x)=1+a⋅2x2x +1,x ∈(b −6,2b)是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：f(x)是区间(b −6, 2b)上的减函数；（3）若f(m +1)+f(1−2m)<0，求实数m 的取值范围．【答案】∵ 函数f(x)是奇函数，∴ f(0)＝0，且b −6+2b ＝0，∴ a ＝−2，b ＝2．证明：任取x 1，x 2∈(−4, 4)，且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)＝[1+−2⋅2x 12x 1+1]−[1+−2⋅2x 22x 2+1]=−2⋅2x12x1+1−−2⋅2x22x2+1=−2⋅2x1(2x2+1)+2⋅2x2(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，∵x1>x2，∴2x1>2x2，∴2x2−2x1<0，又∵2x1+1>0，2x2+1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(−4, 4)上单调递减．∵f(m+1)+f(1−2m)<0，∴f(m+1)<−f(1−2m)，又∵由（1）知f(x)是奇函数，∴−f(1−2m)＝f(2m−1)，∴不等式变为f(m+1)<f(2m−1)，又∵由（2）知f(x)在(−4, 4)上是减函数，∴{m+1>2m−1−4<m+1<4−4<2m−1<4，∴−32<m<2．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由于函数f(x)是奇函数，且f(0)有意义，则f(0)＝0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；（3）运用奇函数的定义和函数f(x)是区间(−4, 4)上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．【解答】∵函数f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，且b−6+2b＝0，∴a＝−2，b＝2．证明：任取x1，x2∈(−4, 4)，且x1>x2f(x1)−f(x2)＝[1+−2⋅2x12x1+1]−[1+−2⋅2x22x2+1]=−2⋅2x12x1+1−−2⋅2x22x2+1=−2⋅2x1(2x2+1)+2⋅2x2(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，∵x1>x2，∴2x1>2x2，∴2x2−2x1<0，又∵2x1+1>0，2x2+1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(−4, 4)上单调递减．∵ f(m +1)+f(1−2m)<0，∴ f(m +1)<−f(1−2m)，又∵ 由（1）知f(x)是奇函数，∴ −f(1−2m)＝f(2m −1)，∴ 不等式变为f(m +1)<f(2m −1)，又∵ 由（2）知f(x)在(−4, 4)上是减函数，∴ {m +1>2m −1−4<m +1<4−4<2m −1<4，∴ −32<m <2．设函数f(x)＝ax 2−2ax +2+b(a ≠0)，若f(x)在区间[2, 3]上有最大值5，最小值2． （1）求a ，b 的值；（2）若b <1，且当x ∈[2, 4]时，g(x)＝f(x)−mx 2≥0恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】由于函数f(x)＝ax 2−2ax +2+b ＝a(x −1)2+2+b −a ，(a ≠0)，对称轴为x ＝1，当a >0时，函数f(x)在区间[2, 3]上单调递增，由题意可得 {f(2)=2+b =2f(3)=2+b +3a =5，解得{a =1b =0， 当a <0时，函数f(x)在区间[2, 3]上单调递减，由题意可得{f(2)=2+b =5f(3)=2+b +3a =2，解得{a =−1b =3， 综上可得{a =1b =0 或{a =−1b =3． 若b <1，则由（1）可得a ＝1，b ＝0；由于当x ∈[2, 4]时，g(x)＝f(x)−mx 2≥0恒成立；即当x ∈[2, 4]时，x 2−2x +2−mx 2≥0恒成立；∴ 当x ∈[2, 4]时，m ≤(1−2x +2x )min ；设y ＝1−2x +2x 2=2(1x −12)2+12，1x ∈[14, 12]；∴ 当x ∈[2, 4]时，y min =12；∴ m ≤12；故实数m 的取值范围是(−∞, 12]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）由于函数f(x)＝a(x −1)2+2+b −a ，(a ≠0)，对称轴为x ＝1，分当a >0时、当a <0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a 、b 的值．（2）由题意可得可得{a =1b =0，分离参数m ，转化为求函数最值问题，解出即可．【解答】由于函数f(x)＝ax 2−2ax +2+b ＝a(x −1)2+2+b −a ，(a ≠0)，对称轴为x ＝1，当a >0时，函数f(x)在区间[2, 3]上单调递增，由题意可得 {f(2)=2+b =2f(3)=2+b +3a =5，解得{a =1b =0， 当a <0时，函数f(x)在区间[2, 3]上单调递减，由题意可得{f(2)=2+b =5f(3)=2+b +3a =2，解得{a =−1b =3， 综上可得{a =1b =0 或{a =−1b =3． 若b <1，则由（1）可得a ＝1，b ＝0；由于当x ∈[2, 4]时，g(x)＝f(x)−mx 2≥0恒成立； 即当x ∈[2, 4]时，x 2−2x +2−mx 2≥0恒成立； ∴ 当x ∈[2, 4]时，m ≤(1−2x +2x 2)min ；设y ＝1−2x +2x 2=2(1x −12)2+12，1x ∈[14, 12]；∴ 当x ∈[2, 4]时，y min =12；∴ m ≤12；故实数m 的取值范围是(−∞, 12]．。
江西省石城中学高一数学上学期期中训练试题新人教A版
江西省石城中学2012-2013学年高一上学期期中训练试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N I =（ ） A ．∅ B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<2．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 3．已知函数()f x 的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 ( ) A. )1,0( B. )4,2( C.)1,21( D. )2,1( 4．下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== D ． 21:},0|{,x y x f y y B R A =→>==5、函数y 的定义域为（ ）A ［1，+∞）B （23，1］ C （23，+∞） D [23，1］ 6、函数） （65x -x 212log+=y 的单调增区间为（ ） A （52，+∞） B （3，+∞） C （-∞，52） D （-∞，2） 7．设)(x f ＝⎪⎭⎫⎝⎛+-a x 12lg 是奇函数，则)(x f ＜0的取值范围是（ ） A ．（－1，0） B ．（0，1）C ．（－∞，0）D ．（－∞， 0）∪（1，＋∞）8．已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．4x x -- B ．4x x - C ．4x x +- D ．4x x +9.已知(2)1(1)()(1)xa x x f x ax -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a的取值范围是（ ）A ．3[,2)2B ．3(1,]2C ．（1，2）D ．(1,)+∞10、.已知函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则函数y ＝f (|x |)的图象为( )二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上） 11．已知A={(x,y)︱4x+y=6},B={(x,y) ︱3x+2y=7},则A B ⋂=_ ________12．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．13．已知函数1()log (2)()n f n n n +=+∈*Ν，定义：使)()2()1(k f f f Λ为整数的数k ()k ∈*N 叫作企盼数，则在区间[]1,10内这样的企盼数共有 个．14．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+,若1()42009f =,则(2009)f 的值为 . 15.若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ②对于定义域上的任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。
江西省石城中学2020-2021学年高一上学期周测数学试卷(五)
石城中学2023届高一上学期周考五数学(B)试卷考试时间;60分钟，试卷总分;81分本次考试范围：必修1，下次考试范围：必修1及必修4第1-3节一、选择题（每小题5分，共30分）1. 已知全集}92|{<<-∈=+x N x U ，{3,4,5}=M ，}6,3,1{=P ，那么集合{2,7,8}是（ ）A.P MB.P MC.)()(P C M C U UD.)()(P C M C U U 2．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且图象是连续不断的，若f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一实数根B ．必有唯一的实数根C ．没有实数根D ．至多有一实数根3.已知函数342+-=x x y 在区间[],a b 上的值域为]3,1[-，则-b a 的取值范围是 （ ）A ．]2,0[B ．]4,0[C ．]4,∞-（D ．]42[，4.若实数y x ,满足01ln |1|=--yx ，则y 关于x 的函数图像的大致形状是（ ）5.已知函数k x x x f --=|2|)(，若存在实数k 使得函数有三个零点321,,x x x ，则321x x x ++的取值范围是（ ）A.]23,4(+ B.)24,3(+C.)23,4(+D.]24,3(+6. (错题再现)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ）A ．{}1,0- B.{}1 C.{}1,0,1- D. {}0,1二、填空题(每小题5分，共15分)7．(错题再现)已知1243==b a ，则ba 11+=______________. 8．若函数f (x )＝mx －1在(0，1)内有零点，则实数m 的取值范围是________．9.(错题再现)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=.2,13,2,12)(x x x x f x 若函数()()log 8a g x f x =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________.三、解答题（本大题共3小题，共36分）10.已知全集R U =，集合}126|{}3log )1(log |{22-<<-=≤-=a x a x B x x A ，（1）若4=a ，分别求B A 和A C B U ；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．11.已知函数21)(xb ax x f ++=是定义域在)1,1(-上的奇函数，且0>a ． （1）用定义证明：函数)(x f 在)1,1(-上是增函数，（2）若实数t 满足0)1()12(<-+-t f t f ，求实数t 的范围．12.已知b ax x x f ++=2)(，满足)6()2(f f =-，且0)(=x f 的两实根之积为4．（1）求)(x f 的解析式；（2）求函数)(2)(x f mx x g -=，在]2,0[∈x 上的最大值（用m 表示）．石城中学2023届高一上学期周考五数学(B) 参考答案一：选择题：DBD BCA二;填空题:7. 2 8.(1，＋∞)三、解答题：10.解：（1）若a=4，则B={x|2＜x＜7}，则A∪B={x|1＜x＜7}，∁U A={x|x＞4或x≤1}，B∩∁U A={x|4＜x＜7}．（2）若A⊆B，则得，即a≥5，即实数a的取值范围是a≥5．11.解：（1）∵函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0，∴任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，∴f（x1）-f（x2）=-==，∵a＞0，-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+＞0，1+＞0，∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数．（2）∵f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1），∵函数是定义域为（-1，1）上的奇函数，且a＞0．∴f（2t-1）＜f（1-t），∵函数f（x）在（-1，1）上是增函数，∴，解得320<<t ． 故实数t 的范围是)32,0(．12.解：（1）根据题意，f （x ）=x 2+ax +b ，满足f （-2）=f （6），则其对称轴x =2， 则a =-4，又由f （x ）=0的两实根之积为4，即x 2+ax +b =0的两根之积为4，b =4，则f （x ）=x 2-4x +4，（2）由（1）的结论，f （x ）=x 2-4x +4，则g （x ）=2mx -f （x ）=-x 2+（2m +4）x -4=-[x -（m +2）]2+m 2+4m ， 其对称轴为x =m +2，分3种情况：当m +2＜0，即m ＜-2时，g （x ）在[0，2]上为减函数，则g （x ）max =g （0）=-4， 当0≤m +2≤2，即-2≤m ≤0时，则g （x ）max =g （m +2）=m 2+4m ，当m +2＞2，即m ＞0时，g （x ）在[0，2]上为增函数，则g （x ）max =g （2）=4m ， 故g （x ）max =．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江西省赣州市石城县石城中学高一上学期期中考试数学试卷第Ι卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1.设集合{}{}|11,1,0,1,2A x x B =-<≤=-，则A B ⋂=（ ） A.{}1,0,1-B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,22.在映射:f A B →中，(){},,A B x y x y R ==∈，且()():,,f x y x y x y →+-，则元素()3,1-在f 作用下的原像是（ ）A.()2,1B.()1,2C.()4,2D.()2,43.下列函数中哪个与函数y x =是相同函数（ ）A ．2y =B ．2x y x=C ．y x =D ．y =4.若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f 等于（ ）． A ．3- B.1-C ．1D ．35.函数()f x =的定义域()1,10，则实数a 的值为（ ）B.3C.9D.136.设8log 5a =，0.85b = ，5log 0.8c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<7.函数()()e 1e 1x xf x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A.B. C. D.8.已知函数2(43)30()(0,1)log (1)10a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A.13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.13,34⎛⎫⎪⎝⎭9.若函数()f x 为奇函数且在()0,∞+上为减函数，又()30f -=，则不等式()()10x f x ->的解集为（ ） A.()()3,00,3-UB.(](),31,3-∞-UC.()()3,01,3-⋃D.()(),30,3-∞-U10.已知函数()()()221lg 11f x a x x a --⎡⎤=-+⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.()5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UD.[)5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 11.对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m ※n m n =+；当,m n 不全为正奇数时，m ※n mn =，则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※**16,,}b a b N N =∈∈的真子集的个数是（ ）A.721-B.1121-C.1321-D.1421-12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120,x f x x f x x x -<-记0.20.2(4)4f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =,2()323f c -=-则( ) A.a c b << B.a b c << C.c b a << D.b c a <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13幂函数223()(22)mmf x m m x -=--在区间(0,)+∞上是增函数，则m =________.14．若集合{}2|10,A x ax ax x R =++=∈不含有任何元素，则实数a 的取值范围是_____． 15.若41xk -=只有一个实数解，则实数k 的取值范围_____16.已知函数212()log (2)f x x ax =-+在区间(,1)-∞上单调递增，则a 的取值范围为___. 二、解答题（本大题共6小题，共70分17题10分，其他12分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.( 1 )00.593)4-（﹣﹣((2)计算：312log 523lg5lg 20(lg 2)++⋅+18..已知集合{}26,A x x =-≤≤{}12.B x m x m =-+<< （1）若2m =，求 ()R A C B ⋂ （2）若A B B =I ，求m 的取值范围.19.已知()22444f x x ax a a =-+--．（1）当1a =，[]1,3x ∈时，求函数()f x 的值域； （2）若函数()f x 在区间[]0,1内有最大值-5，求a 的值．20.旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元. （1）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（2）当旅游团的人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润21．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()43x xa f x =+． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式． （2）若[2,1]x ∈--时，不等式()223x xm f x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log )4f 4t 2log 2x x ⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．数学试题二、填空题（每题5分，共20分）13. -1 14.0≤a ＜4 15. 01k k =≥或 16. []2.3 三、解答题 17()1原式241133ππ=+-+-=+； .....5分(2)原式()()232log 5233lg5lg5lg 2lg 2=⨯+⋅++()()22325lg52lg5lg 2lg 2=⨯++⋅+()275lg5lg 2=++75176=+= ......10分18.（1）∵m=2∴A={x ∣-2≤x ≤6}, {}14,B x x =-<< {}41,R C x x x B =≥≤-或 ∴ {}2146.R A C B x x x ⋂=-≤≤-≤≤或 ......5分 （2） ∵A ∩B=B ∴B A ⊆ ∴①B =∅时，21m m ≤-+，13m ≤......7分 ②B ≠∅131226m m m ⎧>⎪⎪-+≥-⎨⎪≤⎪⎩，133m ∴<≤ ......11分综上所述，3m ≤ ......12分 19.（1）当1a =时，()2445f x x x =-+-的对称轴12x =，开口向下， []1,3x ∈时，函数()f x 单调递减，当1x =时，函数有最大值()15f =-， 当3x =时，函数有最小值()329f =-，故函数()f x 的值域[]29,5--； ......5分 （2）∵()22444f x x ax a a =-+--的开口向下，对称轴12x a =，①当112a ≥，即2a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递增，函数取最大值()214f a =--． 令245a --=-，得21a =，12a =±<（舍去）．②当1012a <<，即02a <<时，12x a =时， ()f x 取最大值为4a -， 令45a -=-，得()50,24a =∈．③当102a ≤，即0a ≤时，()f x 在[]0,1内递减，∴0x =时， ()f x 取最大值为24a a --，令245a a --=-，得2450a a +-=，解得5a =-，或1a =，其中(]5,0-∈-∞． ......11分综上所述，54a =或5a =- ......12分 20.（1）依题意得，()()8001351011503560x x N y x x x N 且且⎧≤≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩......4分 （2）设利润为Q ，则15000Q y x =⋅-=()()280015000135101150150003560x x x N x x x x N ⎧-≤≤∈⎪⎨-+-<≤∈⎪⎩且且 ......6分 当135x ≤≤且x N ∈时，max 800351500013000Q =⨯-= ......8分 当3560x <≤且x N ∈时，2max115361251022Q x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭∴57x =或58时，可获最大利润为18060元. ......12分 21.（1）∵()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数， ∴()010f a =+=，得1a =-． ......2分又∵当[]4,0x ∈-时，()1114343x x x x a f x =+=-， ∴当[]0,4x ∈时，[]4,0x -∈-，()114343x xx x f x ---=-=-．......4分又()f x 是奇函数，∴()()34xxf x f x =--=-．综上，当[]0,4x ∈时，()34xx f x =-． ......6分（2）∵[]2,1x ∈--，()232x x m f x ≤-恒成立，即1422133x x x x m -≤-在[]2,1x ∈--恒成立， ∴14321x x x m +≤在[]2,1x ∈--时恒成立．∵20x >，∴1223xxm ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ......8分∵()1223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递减，∴[]2,1x ∈--时，()1223xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为()2225412223g --⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ......10分 ∴254m ≥．即实数m 的取值范围是254,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ......12分22.(Ⅰ)根据题意，在()()()f a b f a f b 1+=+-中，令a b 0==，则()()f 02f 01=-，则有()f 01=； ......2分(Ⅱ)证明：任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，()21f x x 1->，又由()()()f a b f a f b 1+=+-，则()()()()()()221121111f x f x x x f x x f x 11f x 1f x ⎡⎤=-+=-+->+-=⎣⎦， 则有()()21f x f x >，故()f x 在R 上为增函数． ......6分(Ⅲ)根据题意，][(222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦，即][(222f[2log x)4f 4t 2log x 11⎤-+--<⎦，则(222f[2log x)2log x 4t 41⎤-+-<⎦，又由()f 01=，则(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，又由()f x 在R 上为增函数，则2222(log x)2log x 4t 40-+-<， ......8分令2m log x =，11x ,82Q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3m 1-≤≤-，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立， 即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立， ......10分令2y 2m 2m 4=-++，只需4t y <最小值，而2219y 2m 2m 42(m )22=-++=--+，[]m 3,1∈--， 当m 3=-时，y 20=-最小值，则4t 20<-． 故t 的取值范围是t 5<-． ......12分。