1.3算法案例1
1.3算法案例(进位制)(yong)
思考：生活最常见的进位制是什么？除此之外还有
哪些常见的进位制？请举例说明． • 最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比 如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种 数字都是十进制的. • 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的 转换. • 比如时间和角度的单位用六十进制, 计算“一打” 数值时是12进制的。 • 电子计算机用的是二进制 。
思考：其它进制是否也有类似的规律呢？
八进制
7342（8） =783+382+48+2 110011（2）=125+124+023 +022+12+1
二进制
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基 数的k进制可以表示为以下形式：
a n a n 1 a 1 ( k ) ( 0 a n k , 0 a 1 , , a n 1 k ).
a×82+b×8+c=c×72+b×7+a，得：63a+b﹣48c=0， b=3（16c﹣21a）， 由此知b是三的倍数，且是整数, ∴b=0，3，6， 21 a 当b=0时，可得c= 1 6 又1≤a≤6，检验知，不存在符合条件的a使得c是整数，
当3时,得c=
当b=6时,得c=
21a 1 16
开始
输入a ,k,n b=0 i=1
把a的右数第i位数字赋给t b=b+t*ki－1 i=i+1
否
i＞n
是
输出结果b 结束
三、十进制化为k进制 思考：既然，k进制转化为十进制有前述的方法与 相应的算法，那么十进数又是如何才能转化为k进 数呢？ 回想：a=anan-1…a2a1（k） =ankn-1+an-1kn-2+ …+a2k+a1 =b
§1.3算法案例
为了区别进制，我们就用下 标（k）表示k进制数
an k
n1
an1 k
n 2
a3 k a2 k a1
2
下面我们来用一个具体的例子来分析：
例3.将二进制数110 011(2)化成十进制数
解 根据k进制数的实际意义，我们可以这样来转换：
110011(2) 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 32 1 16 1 2 1 51
已知一个5次多项式为
f ( x) 4x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
当
x5
用秦九韶算法求这个多项式的值。
根据秦几韶算法,把多项式改写成如下形式: f ( x) ((((4 x 2) x 3.5) x 2.6) x 1.7) x 0.8 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当绵值: v0 4; v1 4 5 2 22; v2 22 3.5 113.5; v3 113.5 5 2.6 564.9; v4 564.9 5 1.7 2826.2; v5 2826.2 5 0.8 14130.2. 所以,当x 5时, 多项式的值等于14130.2.
3. 已知一个5次多项式为
f ( x) 5x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
用秦九韶算法求这个多项式当
x5
时的值。
思考：（1）上式计算时需要多少次乘法计 算？多少次加法计算？ （2）在利用秦九韶算法计算n次多项式 当时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？
f ( x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 把一个多项式
1.3算法案例(进位制)
第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721
表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方， 3个千即3个10的立方
3721 3 10 7 10 2 10 110
3 2 1
0
其它进位制的数又是如何的呢？
2、 二进制
（１）二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的。如11001等 区分的写法：11001（2）或者（11001）2
算法案例三
一、进位制 1、什么是进位制？ 2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪 些常见的进位制？请举例说明．
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数 系统。
1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何 构成的？ 十进制由两个部分构成
第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个 数字； (用10个数字来记数，称基数为10)
注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）
练习
将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10 （2）20 （3）128
3、十进制转换为其它进制
例3 把89化为五进制数 解： 根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5
5
89
17 3 5 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）。
1、将111101（2）转化成十进制数
2、将48转化成二进制数 3、将389转化成四进制数
4、将387（9）转化成十进制数
5、将1011101（2）转化成八进制数
小结与作业
1、进位制的概念
2、掌握二进制与十进制之间的转换
3. 十进制与K进制之间的转换
【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 1.3算法案例(第1课时)目标导学 新人教A版必修3
第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法．①算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步．②程序框图如图所示．③程序：INPUT m，nDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL ____PRINT __END(2)更相减损术．算法分析：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．2．秦九韶算法(1)概念：求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：改写多项式为：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.设v1＝__________，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝____________.(2)算法步骤：第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和x的值．第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数a i.第四步，v＝vx＋a i，i＝____.第五步，判断i是否大于或等于__．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值__．(3)程序框图如图所示．(4)程序：INPUT “n＝”；nINPUT “an＝”；aINPUT “x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE ______PRINT “i＝”；iINPUT “ai＝”；av＝________i＝i－1WENDPRINT __ END【做一做2】 设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是( ) A ．顺序结构B ．条件结构C ．循环结构D ．以上都有答案：1．(1)①0 二 ③r ＝0 m (2)偶数 2 减 大 小 【做一做1】 用2约简 由于294和84都是偶数，先用2约简．2．(1)一次 n n a n x ＋a n －1 v n －1x ＋a 0 (2)i －1 0 v (4)i ＞＝0 v x ＋a v 【做一做2】D1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系 剖析：如表所示．辗转相除法更相减损术区别①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果. ①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多． ③相减，差与减数相等得结果． ④相减前要做是否都是偶数的判断.联系 ①都是求最大公约数的方法．②二者的实质都是递归的过程．③二者都要用循环结构来实现. 2．秦九韶算法是比较先进的算法剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快.2003年2月26日，以色列科学家宣布研制出一台依靠DNA 运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．求多项式f (x )＝a n x n＋a n －1xn －1＋…＋a 1x ＋a 0的值时，通常是先计算a n x n，进行n 次乘法运算；再计算a n －1xn －1，进行n －1次乘法运算；这样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝n n ＋12(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n n ＋12＋n 次运算．但是用秦九韶算法时，改写多项式为f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n xn －1＋a n －1xn －2＋…＋a 1)x ＋a 0 ＝((a n x n －2＋a n －1xn －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0…＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0.先计算v 1＝a n x ＋a n －1，需1次乘法运算，1次加法运算；v 2＝v 1x ＋a n －2，需1次乘法运算，1次加法运算；…v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算． 由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12＋n －2n ＝n n －12≥0，则n n ＋12＋n ≥2n .因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．题型一 求最大公约数【例题1】 (1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数； (2)用更相减损术求612与468的最大公约数．分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．题型二求多项式的值【例题2】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．分析：解决本题首先需要将原多项式化成f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x ＋1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7分别是多少，再针对这些式子进行计算．反思：本题中比较容易出现的问题主要集中在计算上，多步计算必须保证每一步的正确性，否则最后不但将题目算错，而且浪费了宝贵的时间．题型三易错辨析【例题3】已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．错解：f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)2＋2＝14；v2＝14×(－2)＋4＝－24；v3＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.错因分析：所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有x的一次项．答案：【例题1】解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．1 785＝840×2＋105，840＝105×8.所以840和1 785的最大公约数是105.(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，但它们还都是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9.所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36.【例题2】解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.【例题3】正解：f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.1．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是( )A．24 B．18 C．12 D．62．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )A．6,6 B．5,6 C．6,5D．6,123．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值为________．5．用辗转相除法求242与154的最大公约数．答案：1．D 先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.2．A 改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．3．3 869＝2 628×1＋1 241 第一步：6 497＝3 869×1＋2 628，第二步：3 869＝2 628×1＋1 241.4．－1 改写多项式为f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；v2＝3×(－2)＋10＝4；v3＝4×(－2)＋10＝2；v4＝2×(－2)＋5＝1；v5＝1×(－2)＋1＝－1；故f(－2)＝－1.5．解：242＝154×1＋88，154＝88×1＋66，88＝66×1＋22，66＝22×3.所以242与154的最大公约数是22.。
1.3算法案例(一)辗转相除法
练习：
• 教材48页——1
程序框图
开始 输入m,n
①
否
求m除以n的余数r
m<n? 是
m=n t=m n=r
m=n n=t
r=0? 是 输出m
否
①
结束
程序语言
INPUT m,n IF n>m THEN t=m m=n n=t END IF DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
例1、用辗转相除法 求8251与6105的最大公因数
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4 8251与6105的最大公因数是37
辗转相除法：
给定两个正数，用 较大的数 除以 较小的数 ，
1.3算法案例（一）
辗转相除法
复习提问：
小学学过的求两个数的最大公约数的方法：
先用两个数公有的 质因数 连续去除，
一直除到所得的商是 互质数 为止，
然后把所有的除数 连乘 起来.
例如：求18与30的最大公约数.
2 3 18 9 3 30 15 5
所以18与30的最大公约数是2×3=6
1、辗转相除法
求得 商 和 余数 ，若余数不为一对数继续上面
的除法，直到大数被小数除尽，这时的 较小数
就是原来两数的最大公约数。
练习：
• 教材：45页——1
2、辗转相除法计算的程序框图及程序
算法步骤： • 第一步,给定两个正整数m,n. • 第二步,比较m,n的大小，若n>m则交换 m,n，否则直接执行下一步. • 第三步,计算m除以n所得的余数r. • 第四步,m=n,n=r. • 第五步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m； 否则，返回第三步.
山东省高中数学《1.3 算法案例》导学案1 新人教A版必修3
布置
学习小结/教学
反思
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，
第三步，
第四步，
思考3:该算法的程序框图如何表示？
思考4:该程序框图对应的程序如何表述？
合作探究（三）:辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
A.4 B.12 C.16 D.8
2、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）
A.16和12的最大公约数是4 B.78和36的最大公约数是6
C.85和357的最大公约数是34 D.105和315的最大公约数是105
3、算法
Ｓ１ 输入，ｘ，ｙ
Ｓ２ ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}
Ｓ３ ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}
Ｓ４ 若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）
思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？
合作探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？
思考2:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
则输出ｎ，否则执行Ｓ５
Ｓ５ ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ
Ｓ６ ｍ＝ｎ
Ｓ７ ｎ＝ｒ
Ｓ８ 执行Ｓ４
Ｓ９ 输出ｎ上述算法的含义是。
4、用辗转相除法求840与1785的最大公约数.
1.3 算法案例1---辗转相除法与更相减损术 8
1.3 算法案例1.3 算法案例——案例1 辗转相除法与更相减损术8**学习目标**1．理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
2．把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言．**要点精讲**1．辗转相除法例如，求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析与解：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，可以考虑用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数， 所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813，2146＝1813×1＋333，1813＝333×5＋148333＝148×2＋37，148＝37×4＋0则37为37与148的最大公约数，也是148与333的最大公约数，也是333与1813的最大公约数，也是1813与2146的最大公约数，也是2146与6105的最大公约数。
所以，2146与6105的最大公约数是37。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
2．更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
**范例分析**例1．试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数。
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
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[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多 项式的求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+ 7v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…ห้องสมุดไป่ตู้a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
〖教学设计〗
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
案例2 秦九韶算法
一、三维目标
（a）知识与技能
了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶
算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.
（c）情感态度与价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家
对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
二、教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点;
难点: 2.秦九韶算法的先进性理解 .
秦九韶（约1202--1261），字道 古，四川安岳人。先后在湖北，安 徽，江苏，浙江等地做官，1261 年左右 被 贬至梅州，（今广东梅 县），不久死于任所。他与李冶， 杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。 早年在杭州“访习于太史，又尝从 隐君子受数学”，1247年写成著 名的《数书九章》。《数书九章》 全书凡18卷，81题，分为九大类。 其最重要的数学成就----“大衍总数 术”（一次同余组解法）与“正负 开方术"(高次方程数值解法），使 这部宋代算经在中世纪世界数学史 上占有突出的地位。
计算的过程可以列表 表 示为： f(x) =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7, x=5
多项式x 系数
2 －5 －4 3 －6 7
10 25 105 540 2670
变形后x 的"系数" 2 5 21 108 534 2677
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法 中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
[问题]画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多 项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意实数)时的值的过程,然后写出程序.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534
所以,当x=5时,多 项式的值是2677.
v5=v4x+7=534×5+7=2677
若将x的值代入变形后的式子中，那么求 值的计算过程是怎样的?
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
解法二:列表
原多项式 的系数
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10 25 105 540 2670
2 5 21 108 534 2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 多项式
的值.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
点评:秦九韶算法是求一元多项式的
值的一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运 算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x +3)x-6)x+7
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: