各种矩阵
名词解释通用矩阵
名词解释通用矩阵
嘿，你知道什么是通用矩阵吗？来，让我给你好好讲讲！通用矩阵啊，就像是一个超级厉害的分析神器！比如说，咱就拿选工作来举例吧（就像你纠结要选择哪一份工作一样），它能帮你把各种因素都考虑进去。
比如一份工作的发展前景呀（是不是感觉像前方有明亮的灯塔指引），薪资待遇呀（这可太重要啦，谁不想多赚点钱呢），还有工作环境啦等等。
通用矩阵把这些因素都放在一起，就像是把不同颜色的珠子串起来（形象吧！），让你能清楚地看到每个选择的优缺点。
比如说，有的工作可能发展前景一般，但是薪资还不错（哎呀，好纠结呀）；有的工作环境特别好，可薪资又有点低（真让人头疼呢）。
它就像是你在大海航行中的指南针（重要吧！），帮你找到最适合你的方向。
比如你是更看重钱呢（毕竟有钱能使鬼推磨呀），还是更看重未来的发展呢（目光得放长远呀）。
所以呀，通用矩阵可真的是个超有用的东西，下次你在面临各种选择的时候，可别忘了它哦（一定要记住呀）！。
数量矩阵概念
数量矩阵概念
数量矩阵简述
什么是数量矩阵
定义
数量矩阵是数学中的一个概念，它是由一组数字按照一定规律排列成的矩形阵列。
每个数字在矩阵中占据一个位置，可以用于表示不同种类的数据之间的关系。
结构
数量矩阵的结构由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
每个位置上的数字称为矩阵的元素，用于表示相应数据的数量。
数量矩阵的使用
数据记录和分析
数量矩阵被广泛应用于数据的记录和分析中。
通过将不同的数据按照一定规律排列成矩阵的形式，可以清晰地展示数据之间的关系，并方便进行进一步的计算和分析。
矩阵运算
数量矩阵可以进行各种数学运算，如加法、减法、乘法等。
这些运算可以帮助我们更好地理解和处理数据，从而得出对数据的更深入的认识。
统计分析
数量矩阵在统计分析中起着重要的作用。
通过对矩阵中的数据进行统计，可以得出各种统计指标，如平均数、方差、标准差等，从而揭示出数据的分布规律和特征。
数据可视化
将数量矩阵中的数据转化为图表形式，可以更直观地展示数据之间的关系和趋势。
常见的图表形式包括柱状图、折线图、散点图等，通过这些图表，可以更直观地理解和分析数据。
总结
数量矩阵作为一种表示数据的结构，在数据处理和分析中发挥着重要的作用。
通过对数量矩阵的理解和应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数据，进而取得更好的分析结果。
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析
矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在研究矩阵的变换过程中，我们经常关注矩阵的不变量，即在某种变换下不改变的特性。
本文将介绍矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析。
1. 矩阵的迹
矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
在矩阵的相似变换中，矩阵的迹是一个重要不变量。
相似矩阵表示同一个线性变换在不同基底下的矩阵表示。
对于相似矩阵A和B，它们的迹相等，即tr(A) = tr(B)。
迹的不变性在矩阵的特征值计算、矩阵分类和矩阵的相似性判断等问题中具有重要作用。
3. 矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变量。
对于n阶矩阵A，它的特征值是一个n维向量，特征向量是与特征值对应的非零向量。
在矩阵的相似变换中，矩阵的特征值和特征向量也是重要的不变量。
对相似变换的矩阵A和B，它们具有相同的特征值和特征向量。
特征值和特征向量的不变性在矩阵的对角化、对称矩阵的正交对角化等问题中具有重要作用。
三维矩阵几何意义
三维矩阵几何意义三维矩阵是一个具有三个维度的矩阵，每个维度可以理解为空间中的一个方向或轴。
三维矩阵在数学和计算机图形学中广泛应用，为了更好地理解三维矩阵的几何意义，我们需要对几何向量以及线性变换有一定的了解。
首先，我们来了解一下几何向量。
在三维空间中，几何向量可以表示为一个有序的数组或者一个列矩阵，如V=[x,y,z]或者V=[x;y;z]。
每个元素代表向量在x、y和z轴上的分量。
几何向量具有长度和方向，并且可以表示为从原点到其中一点的有向线段。
向量的长度可以通过欧几里得范数来计算，即：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。
三维空间中的一个点可以表示为一个位置向量，也就是从原点（0,0,0）到该点的向量。
两个点之间的距离可以通过计算这两个点的位置向量的差值来得到。
在矩阵和线性代数中，我们可以使用三维矩阵来表示各种线性变换。
线性变换可以将一个向量转换为另一个向量，同时保持线性关系和向量运算的性质。
三维空间中的线性变换可以通过矩阵向量乘法来实现。
例如，一个三维矩阵A可以将一个向量V转换为另一个向量W，即W=AV。
这里A是一个3×3的矩阵。
矩阵A的每一列代表了新的坐标轴的方向，向量V的分量在这些新的坐标轴上进行了组合，得到了向量W。
三维矩阵的几何意义可以通过以下几个方面来理解：1.缩放：一个三维矩阵可以用来实现空间中的缩放变换。
在矩阵A中，对角线上的元素决定了在每个坐标轴上的缩放比例。
当一个向量与该矩阵相乘时，这个向量的每个分量都会按照相应的缩放比例进行拉伸或压缩。
这可以用来实现三维模型的放缩效果。
2.旋转：三维矩阵还可以用来实现空间中的旋转变换。
在矩阵A中，每一列代表了新的坐标轴的方向。
当一个向量与矩阵A相乘时，这个向量的分量按照新的坐标轴进行重新组合，从而实现旋转效果。
通过调整矩阵A中的元素，可以实现不同的旋转角度和方向。
3.平移：三维矩阵还可以用来实现空间中的平移变换。
在矩阵A中，除了对角线上的元素外，还有最后一列（或者行）表示将原来的位置向量移动到的目标位置向量。
第3讲 矩阵分析
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)
常见的矩阵分类
常见的矩阵可以按照不同的属性和用途进行分类。
首先，根据元素是否为实数或复数，矩阵可以被分为实矩阵和复矩阵。
其次，如果矩阵的行数和列数相等，我们称之为方阵，否则就称为一般的矩阵。
特殊的，当矩阵只有一行或者一列时，分别被称为行矩阵或列矩阵。
此外，以下列举了一些特殊类型的矩阵：
-对角矩阵：除对角线元素外，其余元素均为0的方阵。
-单位矩阵：元素全为1的方阵。
-零矩阵：元素全为0的方阵。
-上三角矩阵：所有主对角线以下的元素都为0的方阵。
-对称矩阵：转置后的矩阵与原矩阵相等。
-正定矩阵：所有特征值都为正的实对称矩阵。
- Toeplitz矩阵：一种具有特定结构的矩阵，其特点是每个斜对角线上的元素都相同。
各种特殊矩阵总结
各种特殊矩阵总结⼀般在实际运⽤中，矩阵本⾝或者都需要化成特殊的形式。
列出⼀些常⽤的矩阵形式。
reference: 1. Toeplitz matrix，形如2. Hankel matix，形如刚好和就是toeplitz的transpose3. Degree matrix，这个和拓扑学有关了，此矩阵只有main diagonal上有⾮零值，代表的是对应edge(node)所连接的vetices的数量（如果⾃循环则算两个），对该图形⽽⾔，这个E对应的位置就应该填上n。
每个E都算完后，其余位置均为0。
4. Adjacency matrix，也和拓扑学有关，为仅有1或者0的矩阵。
如果两个edge之间有vertex相连，则对应位置填1。
因为这个性质，此矩阵为symmetric的，main diagonal上的1表⽰⾃循环。
5. Laplacian matix。
由上⾯两位计算得到L=D-A6. Circulant matrix, T的变种，如下7. Symplectic matrix指满⾜这个条件的M（2n*2n）矩阵：其中，另⼀个矩阵必须是nonsingular, skew-symmetric matrix.，例如选 是⼀个block matrix，I是单位矩阵(identity matix)。
8. Vandermonde matrix，形如9. Hessenberg matrixHessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal例如：upper Hessenberg matrix10. Hessian matrix对于实数函数求⼆阶偏导（second-order partial derivatives），如下。
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等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。
假设有两个的矩阵，记作A和B。
它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。
但是，等价的矩阵不一定是相似的。
首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。
其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。
性质等价关系。
两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
它们有相同的秩。
参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。
你可以通过编辑或修订扩充其内容。
相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。
相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。
严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。
B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。
术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。
性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。
这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。
置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。
如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称A和B“酉相似”。
谱定理证明了每个正交矩阵都酉相似于某个对角矩阵。
相似变换下的不变性质两个相似的矩阵有许多相同的性质：∙两者的秩相等。
∙两者的行列式相等。
∙两者的迹数相等。
∙两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。
∙两者拥有同样的特征多项式。
∙两者拥有同样的初等因子。
这种现象的原因有两个：∙两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的“两面”，即在两个不同的基下的表现。
∙映射X P−1XP是从n阶方阵射到n阶方阵的一个双射同构，因为P 是可逆的。
可对角化的，如果它与一个对角矩阵相似。
不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为若尔当标准形的简单的矩阵。
另一种标准形：弗罗贝尼乌斯标准形则在任意的域上都适用。
只要查看A和B所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相似。
参见∙合同矩阵∙正则形式∙等价矩阵参考来源∙相似矩阵∙相似矩阵及其性质∙相似矩阵的特征值∙矩阵的对角化置换矩阵数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。
置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。
在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。
当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。
严格定义每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。
设π为一个n元置换：给出其映射图：它对应的n × n的置换矩阵Pπ是：在第i横行只有π(i)位置上系数为1，其余为0。
即可以写做：其中每个表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1，其余都是0的n元横排数组。
单位矩阵是置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。
性质对两个n元置换π和σ的置换矩阵Pπ和Pσ，有一个置换矩阵Pπ必然是正交矩阵（即满足），并且它的逆也是置换矩阵：列向量g所得到的是g的系数经过置换后的向量：行向量h所得到的是h的系数经过置换后的向量：置换矩阵与置换n次对称群，由于n置换一共有n! 个，n阶的置换矩阵也有n! 个。
这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。
这个群的单位元就是单位矩阵。
设A是所有n阶的置换矩阵的集合。
映射S→ A ⊂ GL(n, Z2)是一个群的忠实表示。
n对一个置换σ，其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行σ置换，或者将单位矩阵的横行进行σ−1置换得到的矩阵。
双随机矩阵的一种。
伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。
迹数等于相应置换σ的不动点的个数。
设a1、a2、……、a k为其不动点的序号，则e a1、e a2、……、e a k是Pσ的特征向量。
对换的复合。
由此可知，置换矩阵Pσ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。
Pσ的行列式就等于σ的符号差。
例子对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵Pπ是给定一个向量g，推广置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：一个m×n的0-1矩阵P是置换矩阵当且仅当0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。
置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：一个n阶的方块矩阵P是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。
这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。
参见∙变号矩阵∙广义置换矩阵参考来源∙左光纪，置换矩阵的组合合成及其图表示∙0-1矩阵与置换矩阵∙置换矩阵（英文）∙置换矩阵介绍（英文）∙张贤达，矩阵分析与应用，清华大学出版社，2004。
若尔当标准型线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。
若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。
或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。
若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。
谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况。
法国数学家卡米尔·若尔当。
简介一个n×n的矩阵是可对角化的当且仅当的所有特征空间的维数之和等于n，或者当且仅当有n个线性独立的特征向量（拥有一个由特征向量组成的基底）。
矩阵的对角化使得研究其性质变为研究相应的对角矩阵的性质，而后者显然简单得多。
然而，不是所有的矩阵都能对角化。
例如以下的：计入重数的话，的特征值为 1, 2, 4, 4。
的核的维数是1，因此不能对角化。
但经过基底变换，相似于下面的矩阵：矩阵近乎对角矩阵，除了第三行第四列系数是1。
如果将后两行和后两列的部分作为一块的话，矩阵就是一个分块对角矩阵。
若尔当标准型的目标就是将更多的矩阵化简到一类只比对角矩阵稍微复杂的矩阵：若尔当标准型。
实际上这是一种简单的分块对角矩阵。
这里的“简单”是指每小块矩阵都具备一种很简单的形状：其中主对角线上都是同一个系数，而对角线上方一排全是1。
形同以上的矩阵称为若尔当矩阵。
而矩阵中每一个这样的小块被称为若尔当块。
线性代数中有如下的结果：可逆矩阵。
并且满足：∙矩阵的特征值（计入重数）就是主对角线上的系数。
∙对于的一个特征值，它的几何重数（特征空间的维数）就是属于特征值的若尔当块的个数。
∙所有属于特征值的若尔当块的维数之和是特征值的代数重数。
∙矩阵可对角化当且仅当它的每个特征值的几何重数都等于代数重数（一般来说几何重数小于等于代数重数）。
证明广义特征向量考虑前面例子中的矩阵M。
M的若尔当标准型可以写成P−1MP = J，即变换矩阵P的四个列向量为：p i, i = 1, ..., 4，于是也就是：对于i= 1、2、3，都是某个特征值所对应的特征向量：。
然而，当i=4 时,并不是特征值4所对应的特征向量。
尽管如此：于是。
像这样的向量被称为M的广义特征向量。
特征值，它对应的若尔当块：对应着一个由广义特征向量所张成的子空间，因为对应的基底满足：也就是说因此，“所有特征值在中的矩阵都相似于某个若尔当标准型”这个命题等价于存在一个由这个矩阵的特征向量和广义特征向量构成的全空间的基底。
幂零矩阵的情况当矩阵A为幂零矩阵（即存在m使得）时，可以证明整个空间总是可以分解为若干个A-循环子空间的直和[1]。
所谓的A-循环子空间就是由某个向量v 以及基底：线性张成的子空间。
显然，这样的子空间是A-不变子空间。
同时，注意到是由A的特征向量和广义特征向量构成的（）。
因此在这个循环子空间里，A在基底下表示为若尔当块：因此A在所有这样的基底下可以表示为由若尔当块组成的分块对角矩阵，即若尔当标准型：一般情况数学归纳法证明：所有特征值在中的n×n的矩阵都相似于某个若尔当标准型。
n= 1 的情况显然。
对于考虑n×n矩阵A。
对于A的一个特征值λ，设s为λ的几何重数。
设线性变换的像空间为，这是关于A的一个不变子空间。
因为λ是特征值，的空间维数r严格小于n。
记为A在子空间限制上的部分。
根据归纳假设存在一个基底：{p 1, ..., p r} 使得在这个基底上为若尔当标准型。
接下来考虑子空间，只要能够证明整个空间可以分为：由于是一个A-不变子空间，在上面是幂零矩阵，因此可以写成若尔当标准型：而加上后还是若尔当标准型。
因此，A在和上都能写成若尔当标准型，从而A相似于某个若尔当标准型。
有归纳法可知所有的n×n的矩阵都相似于某个若尔当标准型。
下面证明：设A的最小多项式为，并将其写成。
于是和互素。
于是根据裴蜀定理，存在多项式：a和b使得。
每个向量u都可以写成：并且，同样地，因此，也就是说：另一方面，任意，。
也就是说：。
综上所述，然而，，从而。
而根据秩-零化度定理，和维数相等，所以两者完全相等。
于是从而命题得证。
推论∙如果矩阵的系数域是一个代数闭域，那么由于其特征值是特征多项式的根，所以也在系数域中。
于是只要系数域是一个代数闭域，所有的矩阵都相似于若尔当标准型。
特别的，所有复系数矩阵都可以简化为若尔当标准型，因为复数域是代数封闭的。
∙所有的若尔当标准型都可以分解成一个对角矩阵D和一个只有对角线上一排为1的矩阵N的和。
这两个矩阵是可交换的，因为其中一个是对角矩阵。
不仅如此，矩阵N是一个幂零矩阵。
因此，每个相似于若尔当标准型的矩阵都可以写成可交换的一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和。
因为与对角矩阵和幂零矩阵相似的矩阵仍然是对角矩阵和幂零矩阵。
换句话说，只要一个矩阵的特征值都在它的系数域里（或者说它的最小多项式或特征多项式可以分解成一次项的乘积），就可以将这个矩阵分解成一个对角矩阵和一个幂零矩阵的和，而这两个矩阵可以交换。