2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考(一)数学理科

2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},xM y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>；②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 5.将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3π B ．6π C ．2π D ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．3y x =± D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ．11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．直线l ：12x at y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D--上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（Ⅰ）设事件A 为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望.17．（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，3DAB π∠=，2AD =，1AM =， E 为AB 的中点．（Ⅰ）求证:AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12a =，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线2y x =+上，数列{}n b 满足：13b =，13n n b b +=．（Ⅰ）数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列()(){1}nn n a b ⋅--的前n 项和为n T ，求n T .19.（本小题满分14分）已知椭圆W ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为2，点)3,2(a P ，1F ，2F 分别是椭圆W 的左、右焦点，21F PF ∆为等腰三角形.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .①求B 点坐标； ②求证：11EF FG =.20．（本小题满分14分）函数1()(ln )nf x n m x x =-，其中*n N ∈，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当2n =时，()f x 在[]1,e 上单调递减，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1m =时，①n 为定值，求()f x 的最大值；②若2n =，ln 1a ≥，求证：对任意0k >，直线y kx a =-+与曲线()y f x =有唯一公共点.2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分.9.6； 10.80； 11. 20π； 12. 4-± 13. ； 14.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）222cos )2(2c b a A c b b -+=-abc b a ab A c b b 22cos )2(2222-+=-∴ ………1分C a A c b cos cos )2(=-∴ ………2分由正弦定理得C A A C B cos sin cos )sin sin 2(=-∴………3分 即 C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=∴2sin cos sin B A B ∴= ………4分0B π<<sin 0B ∴≠ ………5分21cos =∴A ………6分 0A π<< 3A π∴=………7分 （Ⅱ）4325sin 21==∆A bc S ABC ………8分 25bc ∴=………9分 22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯ ………10分2250b c ∴+= ………11分222()2100b c b c bc ∴+=++= ………12分 即10b c += ………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）7212636)(49241213==⋅⋅=C C C C A P ………3分（列式2分，结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为3,2,1,0………4分42512615)0(490346==⋅==C C C X P ………5分（列式1分，结果1分） 211012660)1(491336==⋅==C C C X P ………7分（列式1分，结果1分） 14512645)2(492326==⋅==C C C X P ………9分（列式1分，结果1分） 2111266)3(493316==⋅==C C C X P ………11分（列式1分，结果1分）3213142211420=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………13分（列式1分，结果1分） (本题得数不约分不扣分)17．（本小题满分13分）（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………1分 又EF ⊂平面MEC ， ………2分AN ⊄平面MEC ，………3分所以AN ∥平面MEC ………4分（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，3DAB π∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM 平面ABCD AD =DN ∴⊥平面ABCD ………5分如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，E ,(0,2,0)C,1,1)M -,B ,(0,0,1)N 设平面MBC 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2,1)MB =-(BC =1100MB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y z y -=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 1(1,3,2n ∴=………6分(0,1,1)ME =- ………7分111cos ,8||||2ME n ME nME n ⋅-<>===………8分ME ∴与平面MBC 9分 （Ⅲ）设1,)P h -，(3,2,0)CE =-,(0,1,)EP h =- 设平面PEC 的法向量为1(,,)n xy z =则， 1100CE n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20y y hz -=∴-+=⎪⎩令y =， 1(2n h ∴=………10分 又平面ADE 的法向量2(0,0,1)n =1212121cos ,2||||7n n n n n n ⋅<>===………11分解得，h =………12分 371>在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）12n n a a +=+{}n a ∴是以12a =为首项，2为公差的等差数列………1分1(1)22n a a n n ∴=+-=………2分13b =，13n n b b += {}n b ∴是以13b =为首项，3为公比的等比数列………3分3n n b ∴=………4分（Ⅱ）由(1)知()()()123(1)23(1)2n n n n nn n a b n n n ∴⋅--=⋅--=⋅--⋅ ………5分设{23}nn ⋅的前n 项和为'n T'12312343632(1)323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅① '234132343632(1)323n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅②①—②得 '123122323232323n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅………6分'116(13)2233(12)313n n n n T n n ++--=-⋅=-+-⋅-………7分'131()322n n T n +=+-⋅………8分设{(1)2}nn -⋅的前n 项和为''n T当n 为偶数时，''24682(1)222n nT n n n =-+-+---+=⋅=………10分当n 为奇数时，1n +为偶数，''''12(1)1221n n T T n n n n +=-+=+--=--………12分1131()3()2231()31(22n n n n n n T n n n ++⎧+-⋅+⎪⎪∴=⎨⎪+-⋅--⎪⎩为偶数为奇数）………13分 19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知22==a c e ，222c b a +=，得c b =，c a 2= ………1分 21F PF ∆为等腰三角形，∴P F F F 221=………2分则222)3()12()2(+-=a c 解得1=c ………3分1,222==∴b a ∴椭圆W 方程为1222=+y x ………4分（Ⅱ）①由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.………5分与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ………6分②当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. ………7分 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+.………8分由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，………9分 令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=. 把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.………10分由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,………11分令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+. 把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.………12分()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+………13分把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2n =时，12()(2ln )f x m x x =-，()(2ln f x m x '=-0=≤在[]1,e 恒成立.…………1分 即2ln 0m x m --≤在[]1,e 恒成立[]1,,1ln 2x e x ∈∴≤≤2ln 1m x ∴≥+，.…………2分令2()ln 1x x ϕ=+，22()0(ln 1)x x x ϕ-'=<+.…………3分 2()ln 1x x ϕ∴=+在[]1,e 单调递减，max ()(1)2x ϕϕ∴==，2m ∴≥.…………4分 （Ⅱ）①当1=m 时,nx x n x f 1)ln ()(⋅-=111111111'ln 11)ln (1)ln (1)(----⋅⋅-=-+-=-+⋅-=n n n n n x x n x n x n x x n x n x x x f .…………5分0>x ∴令0)('=x f 1=x.…………6分(交代单调性，不列表也可以）n f x f ==)1()(max .…………7分 ②要证明当a e ≥，0k >时，关于x ln )x kx a -=-+有唯一解，令t =，即证明2()22ln g t kt t t t a =+--有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】(1ln )1x x -≤.............（由第1问取1n =即可）【引理2】1ln 1x x≥-...........（由【引理1】变形得到） 【引理3】ln 1x x ≤-........（可直接证明也可由【引理2推出】证明：11ln ln (1)11x x xx=-≤--=-. 证毕！.…………8分 下面我们先证明函数()g t 存在零点，先由【引理2】得到：221()22(1)2g t kt t t a kt a t≤+---=+-. 令t =()0g t ≤.再由【引理3】得到ln x x <，于是()(4ln (2)g t t kt t a =-+-4)(2)t a >-. 令216t k >，且2a t >，可知()0g t >.由连续性可知该函数一定存在零点. .…………10分 下面我们开始证明函数()g t 最多只能有一个零点.我们有ln ()22ln 2()t g t kt t t k t'=-=-. 令ln ()t h t t =，则21ln ()t h t t-'=，则()h t 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，即max 1()h t e=..…………11分 当1k e≥时，有()0g t '≥恒成立，()g t 在(0,)+∞上递增，所以最多一个零点. 当10k e <<时，令12()()0g t g t ''==，12t e t <<，即11ln t kt =，于是 111111()ln 22ln g t t t t t t a =+--11(2ln )t t a =--..…………12分再令1(01)t eT T =<<，由【引理1】可以得到1()(1ln )10g t eT T a e a =--<⨯-≤..…………13分因此函数()g t 在1(0,)t 递增，12(,)t t 递减，2(,)t +∞递增， 1t t =时，()g t 有极大值但其极大值1()0g t <，所以最多只有一个零点. .…………14分综上，当0k >，a e ≥时，函数()y f x =与y kx a =-+的图像有唯一交点.。