黑体辐射公式的推导
普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导
1 引言
马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。
其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。
由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。
维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。
普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。
在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。
得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。
然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。
普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。
不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
2 公式推导
2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导
黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。
黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。
则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=
则（1）式可分解为三个方程：
222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dy
d Z k Z dz
⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y z
k k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：
112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )
x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n
∂=∂及0D E ⋅=可得：
123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k z
E A k x k y k z
⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π
=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n
= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）
则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222
()()()j x y z j k n n n n L L
ππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n L
ν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n L
ν= （2） （2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。
因此，频率区间ν内的本征模数，在数值上等于整数n 空间内数值半径由n n n →+范围内球壳体积的八分之一（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8）。
，即：
2
322314()44()L dN n n V B c c πνππνννν=⋅==⋅⋅ （V 为腔的体积） 又因为每一个频率为ν的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔ν内的本征模数为：238()V dN d c πννν=
设(,)T εν表示温度为T ，频率为ν的本征振动的平均能量，(,)T ρν为相应的能量密度，则振动频率在ν到d νν+之间的能量为：
238(,)(,)()(,)V V T d T dN T d c
πρννενννενν== 238(,)(,)T T c
πρννεν= （3） 本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：3()2
n E n h ν=+
（n=0，1，2…）
系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦-波尔兹曼分布律： 即：exp()n n E E N kT
∝- 所以：exp()(,)exp()n n n n n
E E kT T E kT εν-=-∑∑ （4） 若令1kT β=，exp()n n
Z E β=-∑ 则（4）式可改写为：1(,)dZ T Z d ενβ
=-
由
3exp()exp[()]23exp()exp()23exp()21exp()
n n n
n Z E n h h n h h h ββννβννβν=-=-+=---=--∑∑∑ 所以：1(,)exp()1dZ h T h Z d kT
νεννβ=-=-
代入（3）式得：
3233881(,)(,)exp()1h T d T d d h c c kT ππνρνννενννν==-
581(,)exp()1hc
T d d hc kT
πρλλλλλ=- 此即为普朗克黑体辐射公式。
若按经典理论，由热力学与统计物理的能量均分定理可知平均能量为：(,)T kT εν=
则: 223388(,)(,)T d T d kT d c c
ππρνννενννν== 48(,)T d kTd πρλλλλ=
此即为瑞利-金斯黑体辐射公式。
2.2 仿真曲线
-关系如下图，蓝色线为普朗克公式曲线，红色为瑞利-金斯公式曲两公式ρλ
线，从高到低分别为5000K、4500K、4000K、3500K、3000K时的曲线。
容易观察到：瑞利-金斯公式在波长较长的情况下与普朗克公式拟合较好，但在波长短的时候发现结果趋近于无穷大，这显然是不符合实际的。
参考资料
[1]百度文库
[2]维基百科。
黑体辐射公式的详细推导
龙源期刊网 黑体辐射公式的详细推导作者：李蓉来源：《科教导刊·电子版》2014年第15期摘要在本文中，我们将详细地推导黑体辐射公式，并利用黑体辐射公式推导一些有用的公式。
在求导黑体辐射公式时，我们首先要求出振动粒子的平均能量，然后分别用波动观点和粒子观点求空腔单位体积内频率v到v+dv的振动数目。
关键词黑体辐射公式中图分类号：0571.43 文献标识码：A黑体辐射实验是现代物理学的关键性实验之一，普朗克黑体辐射公式在普通物理学，近代物理学及量子力学的教材中都讲到过，但没有一本教材详细地写出整个推导过程，所以，学生只知道结论，不知道是怎么推导出来的，而且各教材的写法也不一样，有的用能量密度 v写出，有的用单色辐出度MV（T）写出，这两者到底是什么关系，一些教材中也没有谈到，为了让学生了解黑体辐射公式的推导，以及黑体辐射公式有哪些重要的应用，本文详细地写出了推导过程。
1求振动粒子的平均能量一个开有小孔的空腔可以看作一个黑体，黑体辐射公式是描述黑体辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。
所以，为了求的黑体辐射公式，我们可以先求出振动粒子的平均能量，然后用波动观点导出空腔单位体积内频率v到v+dv的振动粒子的数目。
这样，便可求得用从经典物理学来看，能量粒子性的假设是荒诞，不可思议的，但后面无数的实验证明它又是正确的。
普朗克发现了能量子，对建立量子理论作出了卓越的贡献。
参考文献[1] 程守洙，江之永.普通物理学[M].高等教育出版社，2003.[2] 马文蔚.物理学（第五版）[M].高等教育出版社，2011.[3] 王竹溪.统计物理学导论[M].人民教育出版社，1978.[4] 曾谨言.量子力学导论（第二版）[M].北京大学出版社，1998.。
普朗克黑体辐射公式推导(精.选)
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
普朗克黑体辐射公式推导
欢迎阅读普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ， 则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
Planck和Rayleigh-Jeans黑体辐射公式的推导
Planck 和Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式的推导Made by 0310340 陶波0310351 郑启飞 0310337 盛海翔黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。
如图示:则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1）用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)= 则（1）式可分解为三个方程： 222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Zk Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中 2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =++⋅+由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0nE n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n Lπ=，z z k n Lπ= ,,0,1,2,x y z n n n =（其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k（j 表示第j 个本征态）的绝对值为：2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++=换成第j 个本征态的频率得：222()2jj c n Lν=当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有：222()2c n Lν= （2）（2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。
它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。
普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。
最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。
它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。
普朗克黑体辐射公式的详细推导
普朗克黑体辐射公式的详细推导普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。
当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。
考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。
根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。
考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。
根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε其中，m是振动体的质量。
将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv其中，c是光速。
由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：N(ε)dε = N(v)dv将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：u(v) = N(v)hv代入上式并进行整理，得到：u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。
通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。
黑体辐射普朗克公式推导
黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。
这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。
设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。
将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。
根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。
由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。
黑体辐射公式的推导
黑体辐射公式的推导黑体辐射公式是描述黑体辐射能谱的公式。
在19世纪末，许多科学家通过实验和理论推导，发现了黑体辐射的规律，并试图找到一个能够描述这种规律的公式。
其中最著名的是德国物理学家马克斯·波恩斯坦在1901年提出的黑体辐射公式，也称为普朗克公式。
下面我们将对黑体辐射公式进行详细的推导。
首先，我们假设黑体是一个能够完全吸收所有入射辐射的理想物体。
根据热力学的基本原理，我们知道一个处于热平衡的物体，其辐射能谱必须是连续的，即在一个特定的频率范围内的辐射能量密度是连续变化的。
为了推导黑体辐射公式，我们可以考虑在一个封闭的均匀立方体空腔内的辐射。
这个空腔内充满了电磁波，电磁波的频率和波长范围是非常广泛的。
我们设空腔内辐射能量的密度为u(ν)，其中ν为频率。
由热力学的基本原理可知，黑体辐射能谱与温度有关。
我们设空腔的温度为T。
为了推导辐射能谱，波尔兹曼首先假设在频率范围ν到ν+Δν内，吸收或发射能量的电磁场模式数为g(ν)。
这里g(ν)即为单位频率范围内模式的数目。
根据经典电动力学理论，一个频率为ν的电磁波模式的能量为hν，其中h为普朗克常量。
因此，在一个频率范围ν到ν+Δν内，单位体积内的辐射能量为u(ν)g(ν)hν。
我们知道，电磁波的能量等于单位体积内辐射能量的密度乘以体积，即能量密度等于单位体积内辐射能量密度与单位体积的乘积。
因此，单位体积内的辐射能量可以写为u(ν)g(ν)hνV，其中V为空腔的体积。
下一步，我们考虑对g(ν)在ν到ν+Δν范围内进行积分，即对频率范围内的所有模式进行求和。
这样，我们可以得到单位体积内所有频率的辐射能量之和。
为了推导辐射能谱，我们将这个求和作为对频率的积分。
经过数学变换和近似处理，我们得到：U(ν) = u(ν)hν = \(\fra c{8πh}{c^3}\)\(\frac{ν^3}{e^{\(\frac{hν}{kT}\)} - 1}\)其中c为光速，k为玻尔兹曼常量。
普朗克黑体辐射公式的详细推导
普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。
普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。
普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。
设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。
普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。
假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。
则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。
在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。
根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。
对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。