和、差、积、商的导数
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
求导数的方法—法则与公式
y=arcsinu ,u=t/2
1 1 1 t 2 ( ) ( ) t 2 2 t t 2 1 ( 1 )2 t 2 1 ( 1 )2 1 ( ) 1 ( ) t t 2 2
从而
1 2 1 1 1. f (1) 1 2 1 ( 1 )2 3 2 1 ( ) 1 2
中间变 量 自变 量
dy dy du dx du dx
x y yu u . x
复合函数的求导法则可叙述为：复合函 数的导数，等于函数对中间变量的导数乘 以中间变量对自变量的导数.
中间变量 中间变量 自变量
设y f ( u), u (v ), v ( x ), 则复合函数 y f { [ ( x )]}的求导法则为：
例6 y ln cos x 3 , 求y.
解 y ln u, u cos v , v x 3 ,
x y yu uv v (ln u)(cos v)( x3 ) x
1 sin v 2 2 ( sin v ) 3 x 3 x u cos v
第二节
求导数的方法—法则与公式
主要内容： 一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1、函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
例4 已知y sec x, 求y.
1 解 y (sec x ) ( ) cos x
(cos x ) 2 cos x
sin x 2 cos x
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
函数的和、差、积、商的导数
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
《函数的和、差、积、商的导数》 知识清单
《函数的和、差、积、商的导数》知识清单在数学的世界里，函数的导数是一个极其重要的概念，它帮助我们理解函数的变化率和单调性等重要性质。
而对于函数的运算，如和、差、积、商，它们的导数也有着特定的规律和计算方法。
下面就让我们一起来详细了解一下。
一、函数的和与差的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的和＼（u(x) ＋ v(x)＼）与差＼（u(x) v(x)＼）的导数分别为：＼（（u(x) ＋ v(x)）＇＝ u'（x) ＋ v'（x)＼）＼（（u(x) v(x)）＇＝ u'（x) v'（x)＼）2、解释与理解这个定理其实很好理解。
想象一下有两个物体在做直线运动，速度分别由函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）描述。
那么它们一起运动时（相当于函数的和）的速度变化率，就是各自速度变化率的相加；而它们反向运动时（相当于函数的差）的速度变化率，就是各自速度变化率的相减。
例如，有函数＼（f(x) ＝ x^2 ＋ 3x\），其中＼（u(x) ＝ x^2\），＼（v(x) ＝ 3x\）。
＼（u'（x) ＝ 2x\），＼（v'（x) ＝ 3\），所以＼（f'（x) ＝（x^2 ＋ 3x)＇＝ 2x ＋ 3\）。
再比如，函数＼（g(x) ＝ x^3 2x^2\），其中＼（u(x) ＝ x^3\），＼（v(x) ＝ 2x^2\）。
＼（u'（x) ＝ 3x^2\），＼（v'（x) ＝ 4x\），所以＼（g'（x) ＝（x^3 2x^2)＇＝ 3x^2 4x\）。
二、函数的积的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的积＼（u(x) ＼cdot v(x)＼）的导数为：＼（（u(x) ＼cdot v(x)）＇＝ u'（x) ＼cdot v(x) ＋ u(x) ＼cdot v'（x)＼）2、解释与理解这个公式可以通过对乘积进行微小变化的分析来理解。
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直接利用导数的运算法则求导
求下列函数的导数:
联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成.
解：1 . yy(x 4
-3X 2
-5X +6)，
= (x 4) '—3(x 2)' —5x' + (6)，=4x 3
—6x —5.
广
x ©n X 、 (xsin x)' cosx — xsin x (cosx)‘
,cosx 厂 cos 2
^
2
2cos x
/ =[(x +1)(x + 2)]'(x+3) +(x+1)(x + 2)(x+3)'
= [(x + 1)'(x +2)+(x + 1)(x +2)](x + 3) +(x + 1)(x + 2) =(x +2+x + 1)(x +3)+(x + 1)(x +2) =
(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) = 3x 2
+12x+11.
2
cos x
3.解法
解法二：y
X 3
+6x 2
+11x +6 ,
1. y =X 4
-3x
1 2
-5x+6 ；
.y = X ta n x
3. y =(x+1)(x+2)(x+3);
X —1 y =
x +1
分析：仔细观察和分析各函数的结构规律,
紧扣求导运算法则,
2. y ，= (x tan x)'=
_ (sin X +cosx) cosx +xsin 2
x _ sin x -cosx + xcos 2
x "(xsin 2
x)
2
COS x
2
cos x
y' = 3x2+12x+11.
解法二：心一三
4.解法一：厂=
(X -1、 (x-1)'(x+1) -(x-1)(x + 1)'
l x +1 丿
2
(X+1) _(x+1)—(X-1)
2 (X +1)2
-(X +1)2
卜引=（亠一⑵EVE
I x +1 丿
X +1
2
(x+1)
2・
(x+1)
说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则, 特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的 积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手.
化简函数解析式在求解
求下列函数的导数.
1. 、审+4^ 皿；
2. y=sin 4
2+cos 4
Z ;
4
4
3.
1+v x 丄 1 -T X
/
• X “ c
2 X\
y= ----- + ------ ; 4. y =—sin-(1-2cos —)•
1 -T x 1 +V x 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题 求解过程繁琐冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变
全国名校高中数学典型问题专题汇编（附详解）
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换，转化为易求导的结构形式再求导数.
解: 1. y =jF+d 「77=x 2+X 3 +X 4 , 二 y ' =2x +3x 2
+4x1
sin 2-+cos 2- -2sin 2^ cos 2
- 14 4丿 4 4
=1-2sln 2
—-J^COS^ J+^COSX
2
2 2 4 4
,「3 1 、 1 .
y =1 — + — COSX i = ——sinx.
V 4 4
丿
4
/
X X 1 4. y = -sin -cos- = — -sin x ,
2 2 2
Ld nx ］亠X. I 2 丿 2
说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求 导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必 要的运算失误.
根据点和切线确定抛物线的系数
例 已知抛物线y=ax 2
中bx+c 通过点P(1,1)，且在点Q(2-1)处与直 线y =x -3
相切，求实数a 、b 、c 的值.
O
(1+J X)2
丄(1 — J X)2
2(1+x) 4
3. y = ---------- + ---------- = -------- 1 -X 1-X -2.
1-X 1-X
4
••• y
y)
,(4)(1-X)-4(1—X)'
(1 -X)2
(1-X)2
分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论,
将二者统一起来.题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件, 因此，通过解方程组来确定参数 a b 、c 的值是可行的途径.
解：•••曲线 y=ax 2
+bx+c 过 P(1,1)点,
a +
b +C =1 ①
常 y ' = 2ax +b ，二寫 y [x 4 =4a +b 二 4a +b =1 ②
又曲线过 Q(2,-1)点，••• 4a+2b+c = -1 ③. 联立解①、②、③得a = 3, b = 一11, C =9.
说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可 导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解.解答本 题常见的失误是不注意运用点Q （2,—1）在曲线上这一关键的隐含条件.
利用导数求和
利用导数求和.
S n =1+2X +3X 2 ++nx n
4,(xH0, n 迂 N *)
Sn M/ZC ：+3C 3
+……+nC ：,(n 迂 N*)
分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法 来解决.转换思维角度，由求导公式（X 丫 = nx^，可联想到它们是另
外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更 加简洁明快.
1. 2.
全国名校高中数学典型问题专题汇编（附详解）
解：1 .当X=1时,
S n =1+2 +3 卡••…+n =ln(n +1) 2
当X 时，
两边都是关于X 的函数，求导得
1 2 2
2血 b+xcosx + xsi nx sin 2x + 2x
丁 X +x 2 +x 3 卡•• ••■ +x n
=
x-x n
+
1-X
(x +x 2
+x 3 十••…+x n
)' =
I 1—X 丿
即 S n =1 +2x+3x 2 十.….+nx n
^ =
1-( n+1)x n
+ nx n
*
(1-x)2。