第三章 直线与方程 单元测试(人教A版必修2)

第三章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照直线的倾斜角的概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系．正确的命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析仅有①正确，其他均错．答案 A2．过点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y等于() A．1 B．－1C．5 D．－5解析由题意可知y＋34－2＝tan135°＝－1，∴y＝－5.答案 D3．与原点距离为22，斜率为1的直线方程为()A．x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0 B．x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0 C．x－y＋1＝0或x－y－1＝0 D．x－y＋2＝0或x＋y－2＝0解析 可设直线方程为y ＝x ＋b ，则|b |2＝22，∴|b |＝1，b ＝±1，故直线方程为x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.答案 C4．如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4解析 由题意可知(5，a )到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离，∴|30－8a ＋1|62＋82＋|30－8a ＋10|62＋82＝|10－1|62＋82，即|31－8a |＋|40－8a |＝9，把选项代入，知a ＝4，(a ＝5舍去)．答案 B5．过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0解析 解法1：验证知D 为所求．解法2：当直线过原点时，设y ＝kx ，代入点(5,2)求得k ＝25， ∴y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，代入点(5,2)求得a ＝92.∴方程为x ＋2y －9＝0.故所求方程为x ＋2y －9＝0，或2x －5y ＝0. 答案 D6．直线2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行又不重合解析 因为2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0可变形为y ＝2x ＋k 和y ＝2x ＋12，所以当k ＝12时，两直线重合；当k ≠12时，两直线平行．故应选C.答案 C7．方程ax ＋by ＋c ＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A ．ab >1 B ．ab <0 C ．a >0且b <0D ．a >0或b <0解析 由题意知直线的斜率存在，且k ＝－ab >0，∴ab <0. 答案 B8．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在斜率为k 的直线上，若|AB |＝a ，则|y 2－y 1|等于( )A ．|ak |B ．a 1＋k 2 C.a1＋k2 D.a |k |1＋k2 解析 设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则a ＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 2－y 1|，∴|y 2－y 1|＝a |k |1＋k2.答案 D9．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析 当a >0时，由y ＝ax 可知，C 、D 错误；又由y ＝x ＋a 又知A 、B 也不正确．当a <0时，由y ＝ax 可知A 、B 错误；又由y ＝x ＋a 可知D 也不正确．答案 C10．已知直线l ：x sin θ＋y cos θ＝1，点(1，cos θ)到l 的距离为14，且0≤θ≤π2，则θ等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由点到直线的距离公式，可得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14，经验证知θ＝π6满足题意．答案 B11．一条线段的长是5，它的一个端点A (2,1)，另一端点B 的横坐标是－1，则B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－5或3解析 设点B 的坐标为(－1，y )，由题意得(－1－2)2＋(y －1)2＝52，∴(y －1)2＝16.解得y ＝5或－3.答案 C12．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面四个结论正确的个数是( )①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③|AC |＝|BD |；④AC ⊥BD . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，∴AB ∥CD .②k AB ＝－35，k AD ＝12－22＋4＝53，∵k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD . ③|AC |＝(12＋4)2＋(6－2)2＝272，|BD |＝(2－6)2＋(12＋4)2＝272.∴|AC |＝|BD |.④k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4，∵k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .综上知，①、②、③、④均正确．故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A (a,3)，B (3,3a ＋3)两点间的距离是5，则a 的值为________．解析(3－a )2＋(3a ＋3－3)2＝5，即(3－a )2＋9a 2＝25，解得a ＝－1或85. 答案 －1或8514．两条平行直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，各自绕A ，B 旋转．若这两条平行线距离取最大时，两直线方程是________．解析 根据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB 垂直时，距离取得最大值．∵k AB ＝13， ∴两直线分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0. 答案 3x ＋y －20＝0,3x ＋y ＋10＝015．已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l 1的方程为________．解析 ∵l 1与l 2平行，故可设l 1的方程为x －3y ＋m ＝0.与两坐标轴的交点(0，m3)，(－m,0)．由题意可得12|－m ×m3|＝8. ∴m ＝43，或m ＝－4 3. 答案 x －3y ±43＝016．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 坐标是________．解析 ∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，可设P 的坐标为(－3a ，a )．依题意可得(－3a )2＋a 2＝|－3a ＋3a －2|12＋32，化简得10a 2＝410，∴a＝±15.故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫35，－15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角为60°.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 解 (1)依题意得斜率k ＝tan60°＝ 3.又经过点(0，－2)，故直线l 的方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.(2)由(1)知，直线l ：3x －y －2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为23和－2，故直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×23×2＝233.18．(12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解 (1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式，可得32＝|4k －3|1＋k2，解k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝(－6±3214)x .(2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.由题意可得|4＋3－a |2＝32，解a ＝1，或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，可知所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ，或x ＋y －1＝0，或x ＋y －13＝0.19．(12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.(1)倾斜角为π4； (2)在x 轴上的截距为1. 解 (1)倾斜角为π4，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1. 解得m ＝1，或m ＝－1.当m ＝1时，m 2－m ＝0，不符合题意．当m ＝－1时，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意， ∴m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2.当m ＝－12，或m ＝2时都符合题意， ∴m ＝－12，或m ＝2.20．(12分)求经过直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0与l 2：2x －3y －8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程．(1)经过原点；(2)与直线2x ＋y ＋5＝0平行；(3)与直线2x ＋y ＋5＝0垂直． 解由⎩⎨⎧3x ＋4y ＋5＝0，2x －3y －8＝0，得交点M 的坐标为(1，－2)．(1)直线过原点，可得直线方程为2x ＋y ＝0.(2)直线与2x ＋y ＋5＝0平行，可设为2x ＋y ＋m ＝0，代入M (1，－2)，得m ＝0.∴直线方程为2x ＋y ＝0. (3)直线与2x ＋y ＋5＝0垂直， ∴斜率为k ＝12，又过点M (1，－2)． 故所求方程为y ＋2＝12(x －1)． 即x －2y －5＝0.21．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a 和b 的值．(1)求直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2， ∴(a －1)a ＋(－b )×1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，即b ≠0. ∴a b ＝1－a .∴b ＝a 1－a(a ≠1)． 故l 1、l 2的方程分别可以表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0. ∵原点到l 1和l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|， 解得a ＝2，或a ＝23，因此⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.22．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解 设直角顶点为C ，C 到直线y ＝3x 的距离为d .则12·d ·2d ＝10，∴d ＝10.又l 的斜率为12，∴l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则l ′与l 的交点就是C 点，设l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， 则|m |10＝10， ∴m ＝±10，∴l ′的方程是3x －y ±10＝0，由方程组⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y －10＝0，及⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得C 点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－145，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－285，－345.。