绝对值专题讲义
绝对值讲义
绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式、解方程、解不等式时，经常会遇到含有绝对值的问题，对于即将迈入高中的你们也会遇到大量与绝对值相关的问题，而且相比较而言会比初中复杂得多。
绝对值定义：(1)代数定义：a ， 当a>0时；a = 0 ， 当a=0时； 所以a ≥0-a ， 当a<0时；(2)几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离。
x =a （a ≥0） a0 x几何意义的推广：两点间距离公式：x =a x x =-=-00数轴上x 表示A 点，y 表示B 点 x y y x AB -=-=A Bx 0 y与绝对值相关的公式：①a 2=a 2②若b a =，则a=b 或a+b=0 反之， 若a=b 或a+b=0，则b a =一、与绝对值相关的等式与不等式的判断例1：实数a ，b 满足条件ab<0，那么（ ）A b a b a +<-B b a b a ->+C b a b a -<+D b a b a -<-例2：a ，b 为实数，下列句式对吗？若不对，应附加做么条件？①b a b a +=+ ②b a ab =③a b b a -=- ④若b a =，则a=b⑤若b a <，则a<b ⑥若a>b ，则b a >⑦b a b a -≥+ ⑧b a b a +<+例3：已知b a ≠ ，b a ban b a b a m ++=--=,，则m ，n 之间的大小关系是（ ）A m>nB m<nC m=nD m ≤n二、绝对值等式（解绝对值方程）例1：（1）若5=x ，则x=________， 若4-=x ，则x=__________（2）若5=+b a ，且1-=a ，则b=______，若21=-c ，则c=___________例2：若035=++-y x ，则y x +=________例3：已知x x 4334-=-，则x 的取值范围是__________________例4：求解未知数x431=++-x x 642=--+x x三、绝对值不等式例1： 3>x 2<x 5>x 1<x归纳：形如 a x > （0>a ） 则 a x a x -<>或a x < （0>a ） 则 a x a <<-例2： 88<+x 352>-x 012<-x 153->-x归纳：形如 c b ax >+ （0>c ） 则 c b ax c b ax -<+>+或c b ax <+ （0>c ） 则 c b ax c <+<-例3： 52<<x 8232<-<x 6431≤+<x归纳： 形如 d b ax c <+< （0>>c d ）则 c b ax d -<+<-或d b ax c <+<例4： x x ->+21 1234+>-x xx x 2134<-- 132+<-x x归纳： 形如 d cx b ax +>+ 则 d cx b ax +>+或)(d cx b ax +-<+d cx b ax +<+ 则 d cx b ax d cx +<+<+-)(例5： 311<-++x x 521<+++x x523>++-x x 243>-+-x x227>--+x x 1325<+--x x归纳： 形如 c b x a x >+++ 或 c b x a x <+++c b x a x >+-+ 或 c b x a x <+-+常用解法：1.零点分段法，进行分类去掉绝对值2.利用几何意义数形结合法四、综合应用例1：已知a 可取任意实数，若关于x 的方程0412=+-++a a x x 有实数解，则a 的取值范围是多少？（2008年广东高考）例2：若不等式43<-b x 的解集中的整数解有且仅有1、2、3，求b 的取值范围.例3：a x y -=，当51≤≤-x 时，3≤y ，求a 的值. （2010年福建高考）例4：52---=x x y ，证明：33≤≤-y . （2011年辽宁高考)例5：若函数()33-++=x x x f（1）解不等式()6>x f ；（2）若对任意的R x ∈，不等式()0≥-a x f 恒成立，求实数a 的取值范围.。
绝对值专题--讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点和原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）A．2 B．-2 C．±2 D．1 2±【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）绝对值专题讲义A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数和这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0； （4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c ba 0-11 【巩固】2abcd +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
绝对值专题 讲义
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离就是2的点表示的数就是( )
A.±2B.2C.-2D.4
【例2】下列说法正确的有()
①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.
A.负数B.负数或零C.零D.正数
3.如果|x-1|=1-x,那么()
A.x＜1B.x＞1C.x≤1D.x≥1
4.若|a-3|=2,则a+3的值为()
A.5 B.8 C.5或1 D.8或4
5.若x＜2,则|x-2|+|2+x|=_______________
6.绝对值小于6的所有整数的与与积分别就是__________
A.7或-7 B.7或3 C.3或-3 D.-7或-3
【例7】若 ,则x就是()
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
【例8】已知:a＞0,b＜0,|a|＜|b|＜1,那么以下判断正确的就是()
A.1-b＞-b＞1+a＞a
B.1+a＞a＞1-b＞-b
C.1+a＞1-b＞a＞-b
D.1-b＞1+a＞-b＞a
⑴当 时,原式
⑵当 时,原式
⑶当 时,原式
综上讨论,原式
通过阅读上面的文字,请您解决下列的问题:
(1)别求出 与 的零点值
(2)化简代数式
【巩固】化简
【巩固】化简 的值
【巩固】(1)化简 .
【课堂训练1】
1.若a的绝对值就是 ,则a的值就是()
A.2 B.-2 C. D.
初一数学绝对值综合专题讲义
绝对值综合专题讲义之蔡仲巾千创作绝对值的界说：绝对值的性质：（1）绝对值的非负性, 可以用下式暗示（2）|a|=（3）若|a|=a, 则；若|a|=-a, 则；任何一个数的绝对值都不小于这个数, 也不小于这个数的相反数,（4）若|a|=|b|, 则（5）|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|||a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b|【例1】（1）绝对值年夜于2.1而小于4.2的整数有几多个？（2）若ab<|ab|, 则下列结论正确的是（）A.a＜0, b＜0B.a＞0, b＜0C.a＜0, b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中, 正确的是（）A．若|a|=b, 则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b, 则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b, 则一定有a2=(-b)2（4） 设a, b 是有理数, 则|a+b|+9有最小值还是最年夜值？其值是几多？（5） 若3|x-2|+|y+3|=0, 则x y 的值是几多？（6） 若|x+3|+(y-1)2=0, 求n x y )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为几多？2、有理数a 与b 满足|a|>|b|, 则下面哪个谜底正确（ ）3、若|x-3|=3-x, 则x 的取值范围是____________4、若a ＞b, 且|a|<|b|, 则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数, 则||8b a ---是有最年夜值还是最小值？其值是几多？小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则；若|x-a|+|x-b|=0, 则；（1）已知x 是有理数, 且|x|=|-4|, 那么x=＿＿＿＿ （2）已知x 是有理数, 且-|x|=-|2|, 那么x=＿＿＿＿ （3）已知x 是有理数, 且-|-x|=-|2|, 那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x, y 暗示有理数, 且x, y 满足条件|x|=5,|y|=2, |x-y|=y-x, 那么x+y 的值是几多？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7）若已知a 与b互为相反数, 且|a-b|=4, 求12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】1、巩固|x|=4, |y|=6, 求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2, |y|=3, 且x 与y互为相反数, 求y xy x 4312--的值（1） 已知a=-21, b=-31, 求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2）若|a|=b, 求|a+b|的值 （3）化简：|a-b| （4） 轴上对应点如图所示, 化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、π| （2）|8-x|（x ≥8）C B 0 A2、已知a, b, c 在数轴上的位置如图所示, 化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|3、数a, b 在数轴上对应的点如图所示, 是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0>b a , 化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0, 化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0, 试化简||3|||3|2a a a a --（7）若abc ≠0, 则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10而且m ≤x ≤10, 化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a, b, c, d, 满足1||-=abcd abcd , 求d d c c b b a a ||||||||+++的值 3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图, 在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼, 现在设立一个邮筒, 为使五栋楼的居 民到邮筒的就努力之和最短, 邮局应立于何处？2、设a1、a2、a3、a4、a 5为五个有理数, 满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值, 并求出此时x 的取值题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：【例1】 若|a|=1, |b|=2, |c|=3, 且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0, 那么ab=＿＿＿＿＿＿ 【例3】 对|m-1|, 下列结论正确的是（ ）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1【例4】 设a, b, c 为实数, 且|a|+a=0, |ab|=ab, |c|-c=0, 化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|A B C D E【例6】 已知有理数a, b, c 满足1||||||=++c c b b a a , 求abc abc ||的值【例7】 若a, b, c, d 为互不相等的有理数, 且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1, 求|a-d|1、当b 为何值时, 5-12-b 有最年夜值, 最年夜值是几多？ 2、已知a 是最小的正整数, b 、c 是有理数, 而且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a cab 的值.3、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 4、若a, b, c 为整数, 且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1, 试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值5、（1）已知|x|=2, |y|=3且x-y>0, 则x+y 的值为几多？（2）解方程：|4x-5|=86、（1）有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示, 化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b, 求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0, 化简|a-|-a||7、已知a 是非零有理数, 求||||||3322a a a a a a ++的值 8、化简|x-1|-|x-3|9、6、设a＜b＜c, 求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若3+-yx与1999-+yx互为相反数, 求yxyx-+2的值11、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数, 求x该满足的条件及此常数的值.12、不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C, 如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜, 那么B点应为( )．(1)在A, C点的右边；(2)在A, C点的左边；(3)在A, C点之间；(4)以上三种情况都有可能13、设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜, 其中0＜p＜15, 对满足p≤x≤15的x来说, T的最小值是几多？。
七年级绝对值专题讲义
绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。
绝对值讲义
绝对值讲义
六、绝对值
几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记作“”。
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
用字母表示为：
求有理数的绝对值，一般用代数定义解。
首先判断这个数是正数还是负数。
※绝对值的重要性质：非负性。
即。
※当。
※绝对值等于0的数，只有一个，就是0；
※绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；
※互为相反数的绝对值相等。
（相反数定义进一步理解：符号相反，绝对值相等的两个数是互为相反数）
※若
※若
有理数大小的比较法则：
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
（利用绝对值，不必利用数轴来比较两个有理数的大小了）。
做差法：
做商法：
考点：（1）利用定义求一个数或一个整式的绝对值；（2）非负性的应用；（3）比较两个负数的大小。
中考热点
题型：选择、填空、解答及与其他知识综合命题考查。
例一：已知，求和的值。
解：
又。
例二：计算：（1） （2）
解：
例三：已知则的取值范围是＿＿＿＿＿。
例四：求代数式的值。
例五：若则
例六：的大小关系（用“＜”号连接＝。
例七：。
绝对值专题讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
专题05 绝对值与绝对值不等式 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ．（3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-；（3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．（2）如图，化简22a b b c a c +------=_____________．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 （4）若x x >，那么x 是____ ____数． （5）已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______；（2）不等式1211<-x 的解是______________；（3）不等式830x -≤的解是______________．小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<；（2）3412x x ->+；（3）122x x x -+-<+．小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值； （2）求|a |+|b |+|c |的最小值．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．【解析】（1）424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．（2）1,2a b =-=．（3）由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ． （3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．【解析】（1）3或－3．（2）当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1； 当a 、b 、c 都是负数时，M = -3． 综上：M =1±或3±．（3）由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=； 当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 综上：a b c abca b c abc+++0=．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．【解析】（1）（ⅰ）33x -<<； （ⅱ）33x x <->或； （ⅲ）22x -≤≤．（2）（ⅰ）由题意，3103x -<-<，解得713x <<．（ⅱ）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <． （ⅲ）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤<．（3）（ⅰ）由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤①，由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<②， 由①②得原不等式的解集为：4233x -<<． （ⅱ）方法一：由215x -<，解得23x -<<①，由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥②，由①②得原不等式的解集为：2013x x -<<≤<或．方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．【解析】（1）法一：（零点讨论法）（ⅰ）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （ⅱ）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为123x x <>或．法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >．（2）（ⅰ）当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；（ⅱ）当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x ；（ⅲ）当1x >时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为32x -<<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-； （3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．【解析】（1）①关键点是1x =，此点又称为界点；②接着是要去绝对值：当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-． ③图象如右图所示． （2）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值： 当1x ≤时，53y x =-； 当12x <<时，3y x =-； 当2x ≥时，35y x =-． ③图象如右图所示． （3）①关键点是0x =；②接着是要去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++； 当0x <时，223y x x =--+． ③图象如右图所示． （4）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+； 当12x <<时，232y x x =-+- ③图象如右图所示．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=___3____．（2）如图，化简22a b b c a c +------=______-4_______．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ C ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（4）若x x >，那么x 是____负____数． （5）已知6a <-，化简26a -得( B )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______； 51x -<<（2）不等式1211<-x 的解是______________； 04x << （3）不等式830x -≤的解是______________．38小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<； 1124x x -<≤≤<或（2）3412x x ->+； 355x x <>或（3）122x x x -+-<+．153x <<小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象． 【解析】23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如右．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．【解析】 （1）如图所示： （2）如图所示：小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．【解析】∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ≥0且1﹣8x ≤0，即1187x ≤≤， 所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值；（2）求|a |+|b |+|c |的最小值．【解析】（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c ，由题设知a ＜0，且b +c ＝﹣2﹣a ，4bc a=-， 于是b ，c 是一元二次方程24(2)0x a x a----=的两实根， 即24(2)40a a∆=++⋅≥，a 3+4a 2+4a +16≤0，（a 2+4）（a +4）≤0， 所以a ≤﹣4；又当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题意．故a ，b ，c 中最小者的最大值﹣4．（2）因为abc ＜0，所以a ，b ，c 为全小于0或二正一负．①当a ，b ，c 为全小于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最小者不大于﹣4，这与a +b +c ＝﹣2矛盾．②若a ，b ，c 为二正一负，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |+|b |+|c |＝﹣a +b +c ＝﹣2a ﹣2≥8﹣2＝6，当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a |+|b |+|c |的最小值为6．。
绝对值专题 讲义
【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥绝对值专题讲义【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
初一数学绝对值综合专题讲义
绝对值综合专题讲义之蔡仲巾千创作绝对值的定义：绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式暗示（2）|a|=（3）若|a|=a，则；若|a|=-a，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4）若|a|=|b|，则（5）|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|||a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b|【例1】（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=(-b)2（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？（5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？（6） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值？其值是多少？小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则； 若|x-a|+|x-b|=0，则；（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿ （2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x ，y 暗示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7）若已知a 与b互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2）若|a|=b ，求|a+b|的值 （3）化简：|a-b| （4） |b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、π| （2）|8-x|（x ≥8）2、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-C B 0 Ac|+|b-a|3、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0>b a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --（7）若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10而且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求d d c c b b a a ||||||||+++的值 3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居 民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？2、设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数，满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x 的取值题后小结论：求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：【例1】 若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿ 【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1【例4】 设a ，b ，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abc abc ||的A B C D E值【例7】 若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|1、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？ 2、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，而且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a cab 的值.3、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 4、若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值5、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=86、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0，化简|a-|-a||7、已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值8、化简|x-1|-|x-3|9、6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若3+-yx与1999-+yx互为相反数，求yxyx-+2的值11、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。
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【知识点整理】
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5
-符号是负号，绝对值是5.
求字母a的绝对值：
①
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
②
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
③
(0)
(0)
a a
a
a a
>
⎧
=⎨
-≤
⎩
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0
a b c
++=，则0
a=，0
b=，0
c=
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a
≥，且a a
≥-；（2）若a b
=，则a b
=或a b
=-；
（3）ab a b
=⋅；
a
a
b b
=(0)
b≠；
（4）222
||||
a a a
==；
a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b
-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．
【例题精讲】
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
【例2】下列说法正确的有（）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两
个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥
【例3】如果a的绝对值是2，那么a是（）
A．2 B．-2 C．±2 D．
1 2±
【例4】若a＜0，则4a+7|a|等于（）
绝对值专题讲义
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例7】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）
A ．6
B ．-4
C ．-2a +2b +6
D ．2a-2b-6
【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）
A ．y ＞0，x ＜0
B ．y ＜0，x ＞0
C ．y ＜0，x ＜0
D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0
【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号 【例13】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
（3）若|m |＞m ，则m ＜0；
（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（2）（4）
C ．（1）（3）（4）
D ．（2）（3）（4）
【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________
【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。
【例18】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：
①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c
c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）
当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；
当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．
【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求
a b c abc a b c abc +++的值
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=
【巩固】若7322102m n p ++-
+-=，则23_______p n m +=＋ 【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，
的值 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a 2)23(223222+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---． 其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .
模块三 零点分段法
1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）别求出2x +和4x -的零点值
（2）化简代数式24x x ++-
【巩固】 化简12x x +++
【巩固】化简12m m m +-+-的值
【巩固】 （1）化简523x x ++-．
【课堂训练1】
1. 若a 的绝对值是12
，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．
12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）
A ．负数
B ．负数或零
C ．零
D ．正数
3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）
A ．x ＜1
B ．x ＞1
C ．x ≤1
D ．x ≥1
4. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）
A ．5
B ．8
C ．5或1
D ．8或4 5. 若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=_______________
6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________
7. 如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________
8. 已知|x |=2，|y |=3，且xy ＜0，则x+y 的值为 _________
【课堂训练2】
1.-19的绝对值是________
2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（
A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0
3.对值大于1且不大于5的整数有__________个．
4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．
5.当x __________时，|2-x|=x-2．
6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________
7.若3230
x y
-++=，则y
x
的值是多少。