人教版高中数学必修一课件：1.4.2 充要条件(共14张PPT)
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1.4.2充要条件PPT课件(人教版)
因为 m∈Z,所以 m=-1,0,1.
当 m=-1 时,方程 x2-4x+4m=0 可化为 x2-4x-4=0,无整数根;
当 m=0 时,方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 可化为 x2-5=0,无整
数根;
当 m=1 时,上述两个方程都有整数根,
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是 m=1.
三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是
矩形.
解:(1)因为|x|=|y|不能推出 x=y,但 x=y 能推
出|x|=|y|,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
(2)因为△ABC 是直角三角形不能推出
△ABC 是等腰三角形,且△ABC 是等腰三角形也
不能推出△ABC 是直角三角形,所以 p 是 q 的既
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
必要性:若方程 x2-4x+4m=0 有实数根,则 Δ=16-16m≥0,即
m≤1,
若方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有实数根,则 Δ=16m+20≥0,即
m≥- ,
所以上述两个方程都有实数根等价于- ≤m≤1.
不充分也不必要条件.
(3)因为四边形的对角线互相平分不能推出
四边形是矩形,而四边形是矩形能推出四边形的
对角线互相平分,所以 p 是 q 的必要不充分条件.
探索点二 充要条件的证明
【例 2】 已知 ab≠0,求证:a+b=1 是 a3+b3+ab-a2-b2=0 的充
要条件.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
人教版高中数学必修第一册 1.4.2充要条件【课件】
(1)p：x>1，q：x2>1； (2)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0； (3)△ABC中，p：A>C，q：BC>AB； (4)p：a>b，q：ba<1； (5)p：|x|<2，q：－3<x<5.
【解析】 用定义法判断．
(1)充分不必要条件．
(2)p q(如a＝0，b＝1时，ab＝0，而a2＋b2＝1≠0)，又当a2＋b2＝0时，a＝b
题型二 条件关系的探求
例2 使不等式－12<x<3成立的一个充分不必要条件是( B )
A．－12<x<3
B．－12<x<0
C．－1<x<6 【解析】 A是不等式－
12<x<3成立的一个D充．要－条3<件x<；12 B中－12<x<0是不等式－
1 2
<x<3成立的一个充分不必要条件；C中－1<x<6是不等式－
＝0，则ab＝0，即q⇒p.故p是q的必要不充分条件．
(3)充要条件．
(4)既不充分也不必要条件．
反例：当a＝－1，b＝－2时，有a>b，但
b a
>1；当a＝－2，b＝－1时，有
b a
<1，但a<b.
(5)方法一(定义法)：由定义法可知，p⇒q且q p，∴p是q的充分不必要条 件．
方法二(集合法)：p：|x|<2对应的集合为A＝{x|－2<x<2}， q：－3<x<5对应的集合为B＝{x|－3<x<5}，则A⊆B. 由小范围推出大范围，∴p⇒q且q p.∴p是q的充分不必要条件． 【讲评】 一般情况下，若条件p为x∈A，条件q为x∈B.
【解析】 用定义法判断．
(1)充分不必要条件．
(2)p q(如a＝0，b＝1时，ab＝0，而a2＋b2＝1≠0)，又当a2＋b2＝0时，a＝b
题型二 条件关系的探求
例2 使不等式－12<x<3成立的一个充分不必要条件是( B )
A．－12<x<3
B．－12<x<0
C．－1<x<6 【解析】 A是不等式－
12<x<3成立的一个D充．要－条3<件x<；12 B中－12<x<0是不等式－
1 2
<x<3成立的一个充分不必要条件；C中－1<x<6是不等式－
＝0，则ab＝0，即q⇒p.故p是q的必要不充分条件．
(3)充要条件．
(4)既不充分也不必要条件．
反例：当a＝－1，b＝－2时，有a>b，但
b a
>1；当a＝－2，b＝－1时，有
b a
<1，但a<b.
(5)方法一(定义法)：由定义法可知，p⇒q且q p，∴p是q的充分不必要条 件．
方法二(集合法)：p：|x|<2对应的集合为A＝{x|－2<x<2}， q：－3<x<5对应的集合为B＝{x|－3<x<5}，则A⊆B. 由小范围推出大范围，∴p⇒q且q p.∴p是q的充分不必要条件． 【讲评】 一般情况下，若条件p为x∈A，条件q为x∈B.
高中数学必修一(人教版)《1.4.2 充要条件》课件
解得 m≥5，
所以实数 m 的取值范围是{m|m≥5}． 若选择条件②，即 x∈A 是 x∈B 成立的必要不充分条件，则集合 B 是集 合 A 的真子集，
解得 0＜m≤3， 所以实数 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}． 若选择条件③，即 x∈A 是 x∈B 成立的充要条件，
则集合 A 等于集合 B，则有 所以不存在满足条件的实数 m.
()Biblioteka [解析] 在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p， ∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
【对点练清】
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
因为 m∈Z ，所以 m＝－1,0,1.
当 m＝－1 时，方程 x2－4x＋4m＝0 可化为 x2－4x－4＝0，无整数根； 当 m＝0 时，方程 x2－4mx＋4m2－4m－5＝0 可化为 x2－5＝0，无整数根； 当 m＝1 时，上述两个方程都有整数根． 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是 m＝1.
答案： C
3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的________条 件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．
答案：充要 充要
题型一 充要条件的判断 【学透用活】
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
方程组无解．
条件p与结论q的关系 p⇒q，但q p q⇒p，但p q
p⇒q且q⇒p，即p⇔q p q ，且q p
所以实数 m 的取值范围是{m|m≥5}． 若选择条件②，即 x∈A 是 x∈B 成立的必要不充分条件，则集合 B 是集 合 A 的真子集，
解得 0＜m≤3， 所以实数 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}． 若选择条件③，即 x∈A 是 x∈B 成立的充要条件，
则集合 A 等于集合 B，则有 所以不存在满足条件的实数 m.
()Biblioteka [解析] 在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p， ∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
【对点练清】
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
因为 m∈Z ，所以 m＝－1,0,1.
当 m＝－1 时，方程 x2－4x＋4m＝0 可化为 x2－4x－4＝0，无整数根； 当 m＝0 时，方程 x2－4mx＋4m2－4m－5＝0 可化为 x2－5＝0，无整数根； 当 m＝1 时，上述两个方程都有整数根． 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是 m＝1.
答案： C
3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的________条 件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．
答案：充要 充要
题型一 充要条件的判断 【学透用活】
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
方程组无解．
条件p与结论q的关系 p⇒q，但q p q⇒p，但p q
p⇒q且q⇒p，即p⇔q p q ，且q p
1.4.2 充要条件 课件(共14张PPT)
例5.已知p:－2≤x≤10，q:1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p 是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
分析： p是q的必要不充分条件，则 q p，p q 解： ∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴记A={x| －2≤x≤10}，B={x| 1－m≤x≤Leabharlann ＋m，m>0}充要条件
下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两
个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程ax²＋bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； （4）若AUB是空集，则A与B均是空集．
条件？ p q，q p
P是q的充分条件，p不是q的必要条件，即p是q的充 分不必要条件。
问题2：已知p：ac=bc ，q：a=b .那么p是q的什 么条件？
q p，p q
P是q的必要条件，p不是q的充分条件，即p是q的必要 不充分条件。
新课引入
思考
下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命 题?
课后练习
a+b+c=0(a≠0)．
解：（1）因为p q,q p，所以p是q的充分不必要条件。 （2）因为 p q ，所以p是q的充要条件。 （3）因为 p q,q p ，所以p是q的必要不充分条件。 （4）因为 p q ，所以p是q的充要条件。
探究
通过上面的学习，你能给出“四边形是平 行四边形”的充要条件吗？
a b2 a c2 b c2 0 a b c
（必要性） a b c
ab ac bc a2 b2 c2
分析： p是q的必要不充分条件，则 q p，p q 解： ∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴记A={x| －2≤x≤10}，B={x| 1－m≤x≤Leabharlann ＋m，m>0}充要条件
下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两
个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程ax²＋bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0； （4）若AUB是空集，则A与B均是空集．
条件？ p q，q p
P是q的充分条件，p不是q的必要条件，即p是q的充 分不必要条件。
问题2：已知p：ac=bc ，q：a=b .那么p是q的什 么条件？
q p，p q
P是q的必要条件，p不是q的充分条件，即p是q的必要 不充分条件。
新课引入
思考
下列"若p，则q"形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命 题?
课后练习
a+b+c=0(a≠0)．
解：（1）因为p q,q p，所以p是q的充分不必要条件。 （2）因为 p q ，所以p是q的充要条件。 （3）因为 p q,q p ，所以p是q的必要不充分条件。 （4）因为 p q ，所以p是q的充要条件。
探究
通过上面的学习，你能给出“四边形是平 行四边形”的充要条件吗？
a b2 a c2 b c2 0 a b c
（必要性） a b c
ab ac bc a2 b2 c2
充要条件ppt课件
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比 例”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q， 故p是q的充要条件．
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件( ) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
答案：C
解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大， 所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_充__要_条__件__条件．
解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件．
1.充要条件的定义； 2.命题条件的充要性的判定及证明方法；
PQ
P (Q)
则p是q的充分不必要条件 .
PQ
PQ
(2)若pq , QPFra bibliotek则p是q的必要条件 . x∈Qx∈P
QP
P (Q)
若pq ,且pq, QP
则p是q的必要不充分条件 . QP
命题 “若p,则q”的逆命题是“若q,则p”
下列 “若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都 是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则 这两个三角形全等;
• 思考 下列若p则q的命题中： • 1.若两个三角形的两个和其中一个角的对边分别相
等，则这两个三角形全等
• 2.若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等 • 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根，则
ac<0 • 4.若AUB是空集，则A和B都是空集
人教版高中数学新教材必修第一册课件：1.4.2 充要条件(共14张PPT)
充分条件必要条件复习引入充分非必要条件必要非充分条件既不充分也不必要条件充分且必要条件22从逻辑推理关系看充分条件必要条件从逻辑推理关系看充分条件必要条件
1.4.2充要条件
复习引入
1、充分条件与必要条件 如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p
的 必要条件 ．
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
讲
课
人
：
邢
启 强
10
提高练习
1.已知P: |2x-3|＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
所以直线 l 与⊙ O 相切。
讲
课
(2)必要性(q
p)：
人
： 邢 启
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为P，则OP l
.d=OP=r.
强
7
当堂训练
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ 充要条件
（2）r是q的什么条件？ 充要条件
p
（3）P是q的什么条件？必要不充分条件 r
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
讲
课
人 ： 邢
3、点明结论
启 强
12
提高练习
练习：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
1.4.2充要条件
复习引入
1、充分条件与必要条件 如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p
的 必要条件 ．
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
讲
课
人
：
邢
启 强
10
提高练习
1.已知P: |2x-3|＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
所以直线 l 与⊙ O 相切。
讲
课
(2)必要性(q
p)：
人
： 邢 启
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为P，则OP l
.d=OP=r.
强
7
当堂训练
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ 充要条件
（2）r是q的什么条件？ 充要条件
p
（3）P是q的什么条件？必要不充分条件 r
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
讲
课
人 ： 邢
3、点明结论
启 强
12
提高练习
练习：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
充要条件【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
第一章集合与常用 逻辑用语
1.4.2充要条件
复习回顾
必要 记忆方法：
充分
问题:
如何理解: (1) p是q的充分条件 (2) p是q的必要条件
由条件p 结论q, 则条件p是结论q成立的充分条件;
由结论q 条件p, 则条件p是结论成立的必要条件
:指出下列各命题中,p是q的什么条件?
(1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等
例题讲解
例2.已知:圆O的半径r,圆心O到直线l 的距离为d, 求证:d=r是直线l 与圆O相切的充要条件 分析: 设p:d=r, q:直线l 与圆O相切
需分别证明（１）充分性（p q）； （２）必要性（q p）
证明：如图，作OP l于点P，则OP＝d．
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.选B
2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为{x|－1<x<3}⊆{x|x<3}，所以p是q的必要不充分条件 p：x<3
q：－1<x<3
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
4.设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩ B)；命
题q：x∈A或x∈B．则p是q的____________条件．( )
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分又不必要
1.4.2充要条件
复习回顾
必要 记忆方法：
充分
问题:
如何理解: (1) p是q的充分条件 (2) p是q的必要条件
由条件p 结论q, 则条件p是结论q成立的充分条件;
由结论q 条件p, 则条件p是结论成立的必要条件
:指出下列各命题中,p是q的什么条件?
(1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等
例题讲解
例2.已知:圆O的半径r,圆心O到直线l 的距离为d, 求证:d=r是直线l 与圆O相切的充要条件 分析: 设p:d=r, q:直线l 与圆O相切
需分别证明（１）充分性（p q）； （２）必要性（q p）
证明：如图，作OP l于点P，则OP＝d．
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.选B
2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为{x|－1<x<3}⊆{x|x<3}，所以p是q的必要不充分条件 p：x<3
q：－1<x<3
充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
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充要条件【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册课 件
4.设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩ B)；命
题q：x∈A或x∈B．则p是q的____________条件．( )
A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分又不必要
高一数学人教A版必修第一册1.4.2充要条件课件
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p： > 0，q： > 0， > 0；
（4）p： = 1是一元二次方程 2 + + = 0的一个根，
q： + + = 0 ≠ 0 .
练习
下列各命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
的系数满足ac<0
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
q:方程有两个不相等
的实数根.
真命题
假命题
问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命
题都是真命题？
4、若A与B均是空集，则 ∪ 是空集.
p: A与B均是空集.
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
q: A∪B是空集.
真命题
所以a+b-1=0, 即a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件
练习 充要条件的证明
1
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：
<
1
的充要条件是xy>0.
例3 充要条件的应用
设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成
1
k
2
2
(2k 1) 4k 0
4
2
( x1 1) x2 1 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 k (2k 1) 1 0 k 2
2k 1 2 0
（3）p： > 0，q： > 0， > 0；
（4）p： = 1是一元二次方程 2 + + = 0的一个根，
q： + + = 0 ≠ 0 .
练习
下列各命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
的系数满足ac<0
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
q:方程有两个不相等
的实数根.
真命题
假命题
问题1 下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命
题都是真命题？
4、若A与B均是空集，则 ∪ 是空集.
p: A与B均是空集.
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
q: A∪B是空集.
真命题
所以a+b-1=0, 即a+b=1.
综上可知，当ab≠0时，a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件
练习 充要条件的证明
1
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：
<
1
的充要条件是xy>0.
例3 充要条件的应用
设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成
1
k
2
2
(2k 1) 4k 0
4
2
( x1 1) x2 1 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 k (2k 1) 1 0 k 2
2k 1 2 0
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定义法 集合法 2、图形分析法（网）
课堂小结
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出， 切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与 联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与 联系
３、注意几种方法的灵活使用： 定义法、集合法
1.4.2充要条件
复习引入
1、充分条件与必要条件 如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p
的 必要条件 ．
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1）A B且B A，则A是B的 充分非必要条件 2）若A B且B A，则A是B的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则A是B的 既不充分也不必要条件 4）A B且B A，则A是B的 充分且必要条件
集合法与转化法
例题讲评
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0.
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步： 证充分性即证A =>B，证必要性即证B=>A
巩固练习 设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充 要条件是xy≥0
充要条件的证明的两个方面： 1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0 2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y| 3、点明结论
(A)m＜0 (B)m≤0 (C)m＜1 (D)m≤1
1
m
1
巩固练习
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M
或x∈N”是“x∈M∩N”的(B )
注、集合法
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D不充分不必要
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充 分条件是( A )
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
４、判断的技巧 向定语看齐：顺向为充（原命题真） 逆向为必（逆命题为真）
例题讲评
例3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
例题讲评 例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离 为d.求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充
要条件,只需分别证明:充分性 p q 和必要性 q p
即可. 证明：如图，作 OP l 于点P，则OP=d。
O
(1)充分性(p q)：
P Ql
若d=r，则点P在⊙O 上。在直线 l 上任取一点
Q(异于点P)，连接OQ。
在 RtOPQ 中，OQ>OP =r.
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
注:一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
当且仅当A B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当B A时,甲为乙的必要条件;
复习引入
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是 真命题命题“若q则p”
所以，除点P外直线 l上的点都在⊙O 的外部， 即直线 l 与⊙ O仅有一个公共点P。
所以直线 l 与⊙ O 相切。
(2)必要性(q p)：
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为P，则OP l .d=OP=r.
当堂训练
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ 充要条件
提高练习
练习：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
求：⑴方程有两个不等正根的充要条件； ⑵方程至少有一个正根的充要条件.
【解题回顾】 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零. 二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求的必要 条件代替充要条件.
回顾总结： 1、条件的判断方法
（2）r是q的什么条件？ 充要条件
p
（3）P是q的什么条件？必要不充分条件 r
q
s
变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件， 那么D是A的充__分_不_必__要_条_ 件
注、定义法（图形分析）
当堂训练
3、关于x的不等式: |x|+|x-1|＞m的解集 为R的充要条件是( C )
均为真命题，即既有p q 又有q p
就记作 p q 此时，p既是q的充分条件，也
是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件， 简称为充要条件(sufficient and necessary condition).
说明：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条 件.
例题讲评 例1、下列各题中,那些p是q的充要条件? (1)P:x>0,y>0, q:xy>0; (2)P:a>b, q:a+c>b+c.
例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的充＿要＿＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形” 的既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿＿条件.
提高练习
1.已知P: |2x-3|＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
课堂小结
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出， 切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与 联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与 联系
３、注意几种方法的灵活使用： 定义法、集合法
1.4.2充要条件
复习引入
1、充分条件与必要条件 如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p
的 必要条件 ．
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1）A B且B A，则A是B的 充分非必要条件 2）若A B且B A，则A是B的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则A是B的 既不充分也不必要条件 4）A B且B A，则A是B的 充分且必要条件
集合法与转化法
例题讲评
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0.
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步： 证充分性即证A =>B，证必要性即证B=>A
巩固练习 设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充 要条件是xy≥0
充要条件的证明的两个方面： 1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0 2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y| 3、点明结论
(A)m＜0 (B)m≤0 (C)m＜1 (D)m≤1
1
m
1
巩固练习
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M
或x∈N”是“x∈M∩N”的(B )
注、集合法
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D不充分不必要
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充 分条件是( A )
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
４、判断的技巧 向定语看齐：顺向为充（原命题真） 逆向为必（逆命题为真）
例题讲评
例3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的
条件；
既不充分也不必要
例题讲评 例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离 为d.求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
分析: 设:p:d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充
要条件,只需分别证明:充分性 p q 和必要性 q p
即可. 证明：如图，作 OP l 于点P，则OP=d。
O
(1)充分性(p q)：
P Ql
若d=r，则点P在⊙O 上。在直线 l 上任取一点
Q(异于点P)，连接OQ。
在 RtOPQ 中，OQ>OP =r.
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
注:一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
当且仅当A B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当B A时,甲为乙的必要条件;
复习引入
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是 真命题命题“若q则p”
所以，除点P外直线 l上的点都在⊙O 的外部， 即直线 l 与⊙ O仅有一个公共点P。
所以直线 l 与⊙ O 相切。
(2)必要性(q p)：
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为P，则OP l .d=OP=r.
当堂训练
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ 充要条件
提高练习
练习：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
求：⑴方程有两个不等正根的充要条件； ⑵方程至少有一个正根的充要条件.
【解题回顾】 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零. 二是只求必要条件忽略验证充分条件.即以所求的必要 条件代替充要条件.
回顾总结： 1、条件的判断方法
（2）r是q的什么条件？ 充要条件
p
（3）P是q的什么条件？必要不充分条件 r
q
s
变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充 要条件，D是C的充分而不必要条件， 那么D是A的充__分_不_必__要_条_ 件
注、定义法（图形分析）
当堂训练
3、关于x的不等式: |x|+|x-1|＞m的解集 为R的充要条件是( C )
均为真命题，即既有p q 又有q p
就记作 p q 此时，p既是q的充分条件，也
是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件， 简称为充要条件(sufficient and necessary condition).
说明：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条 件.
例题讲评 例1、下列各题中,那些p是q的充要条件? (1)P:x>0,y>0, q:xy>0; (2)P:a>b, q:a+c>b+c.
例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的充＿要＿＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形” 的既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿＿条件.
提高练习
1.已知P: |2x-3|＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件