七宝中学2013学年第一学期高二数学期末考试试卷

七宝中学2013学年第一学期高二数学期末考试试卷一、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12小题，每个小题填对得3分，否则一律得零分。

1． 直线:320(0)l ax my a m ++=≠过点（1，-1），则直线l 的倾斜角为_________。

2． 直线l 过点(,0)a 且经过一、二、三象限，它与两坐标轴围成的面积为S ，则直线l 的方程为__________。

3． 已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则_____________k =。

4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.5抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线22194y x -=上，则抛物线的标准方程为 。

6.已知定点A （4，2），O 为坐标原点，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，若60OPA ∠≥，则点P 横坐标的取值范围为_______________。

7.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，且该双曲线的一个焦点为F(c,0)则=ac__________。

8．若直线(1)y m x =-与曲线224x y -=只有一个公共点，求实数m 的取值集合是_______9．已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 。

10．设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左右焦点，过1F 的直线L 与E 相交于A ，B 两点且22,,BF AB AF 成等差数列，则=AB _____________。

11．抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)E x y F x y ，若123x x p +=，则弦EF 的长为 。

12．若动点P ),(00y x 在圆C:122=+y x 上运动，则动点),(0000y x y x Q +的轨迹方程是_______________二、选择题：（本大题满分16分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个正确答 案，选对得4分，否则一律得零分。

13． 函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的取值范围为( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}14.设m ，n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A ．1⎡-+⎣B ．(),11⎡-∞+∞⎣C ．2⎡-+⎣D ．(),22⎡-∞-++∞⎣15．.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是A.（－∞，0）B.（1，＋∞）C.（－∞，0）∪（1，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 16．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）1(1)22-（C ）1(1)23- （D ）11[,)32三、解答题：（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17．（本题满分8分）过点(3,1)P 作圆224x y +=的割线，割线被圆截得的弦长为求该割线方程18（本题满分10分）已知定点A(4,0)到等轴双曲线222(0)x y a a -=>上的点的最近距离，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A 的点的坐标。

19. （本题满分10分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点的直线0x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．（本题满分10分）．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、640,7M ⎛⎫⎪⎝⎭为顶点的抛物线的实线部分，降落点为(8,0)D . 观测点(4,0)(6,0)A B 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A B 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21．（本题满分10分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n ()m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。

记mnλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S 。

（I ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（II ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由。

第21题图高二期末答案1.31arctan -π 2.0222=--sa y a sx 3.k=1或k=-3 4.25 y x 122±= 6.[]32,32+- 7.5 8.⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±332,19.56 10.34 11. 4p 12.)2121(122≤≤-+=x x y 13.B 14.D 15.C 16B16解：分两种情况：①直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如图所示，设MC = m , NC = n , 由条件知S △MNC = 12 ⇒ mn = 1显然0 < n≤ 2 ⇒ m =1n ≥ 22又知0 < m≤ 2 , m ≠n 所以22≤ m ≤ 2 且m ≠1D 到AC 、BC 的距离为t , 则t m + t n = DN MN + DMMN = 1⇒ t = mn m +n ⇒1t = m + 1mf (m ) = m + 1m (22 ≤ m ≤ 2 且m ≠1)的值域为(2, 322 ] ⇒ 2 < 1t ≤322 ⇒ 23≤ t <12因为b =1- CD =1- 2t ，所以1-2 < b ≤ 13②：直线y = a x +b 与AB 、BC 相交时，如图所示， 易求得x M = - b a , y N = a +b a +1 ,由条件知(1+ b a ) a +ba +1 = 1⇒ b 21-2b= aM 在线段OA 上⇒0< ba <1 ⇒0 < a < bN 在线段BC 上⇒0<a +ba +1<1 ⇒b < 1 解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 1217．y=1或3x-4y-5=018. 解：设点(,)P x y 是双曲线222x y a -=上任意一点，则22222222||(4)(4)()2(2)8AP x y x x a x a =-+=-+-=-+-||x a ≥ ，（1）当2o a <≤时，在2x =时，22min ||85AP a =-=23,a a ∴==，此时双曲线方程为223x y -=，双曲线上离A (2,1)或(2,1)-（2）当2a >时，在x a =时，222min ||2(2)85,4AP a a a =-+-=∴=此时双曲线方程为2221x y -=+双曲线上离A 的点的坐标为(40)+。

19. 解 （Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21 + a 2y21 = a 2b 2b 2x 22 + a 2y22= a 2b 2 ⇒ y 1 - y 2x 1 - x 2 = - b 2(x 1 + x 2)a 2(y 1 + y 2) ⇒ k AB = - b 2x 0a 2y 0 OP 的斜率为 12 ⇒ x 0y 0= 2，直线x + y- 3 = 0的斜率为-1 ⇒ k AB =-1⇒-1= - 2b 2a 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ……①由题意知直线x + y- 3 = 0与x 轴的交点F (3，0)是椭圆的右焦点，则才c = 3 ⇒a 2 - b 2 = 3 ……②联立解得①、②解得a 2 = 6，b 2 = 3所以M 的方程为：x 2—6 + y 2—3= 1（Ⅱ）联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x + y- 3 = 0x 2—6 + y 2—3= 1，解得A (433 , - 33 )、B (0, 3)，求得| AB | = 463依题意可设直线CD 的方程为：y = x + mCD 与线段AB 相交⇒ - 533< m < 3联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x + m x 2—6 + y 2—3= 1 消去x 得：3x 2 + 4m x +2m 2 - 6 = 0 …… (*)设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 - x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 - 4x 3x 4]= 169(9 - m 2) 四边形ACBD 的面积S = 12 | AB |• | CD | =869 9-m 2当n = 0时，S 最大，最大值为863 .所以四边形ACBD 的面积最大值为863 . 20.（1）设双曲线方程为7642+=ax y ，由题意可知，764640+∙=a ，所以71-=a 764712+-=∴x y （2）设变轨点为(x,y),根据题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+76471125100222x y y x 得C(6,4)4,52==BC AC ,当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为4,52时，应向航天器发出变轨指令21. 【解析】（Ⅰ）依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.第21题解答图1第21题解答图2若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。