课题8.1椭圆及其标准方程(三)(精)
人教版高中数学必修第二册8.1椭圆及其标准方程3
椭圆及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．(三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否那么，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆〞．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．〞“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．〞“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．〞教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，假设同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹〞，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示X引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？〞有的同学说：“立体几何中圆的直观图．〞有的同学说：“人造卫星运行轨道〞等……在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内〞．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：假设常数=|F1F2|，那么是线段F1F2；假设常数＜|F1F2|，那么轨迹不存在；假设要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|〞．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原那么，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到以下选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，那么有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规X的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否那么化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合以下条件的椭圆的标准方程：练习2 以下各组两个椭圆中，其焦点相同的是[ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．3．求适合以下条件的椭圆的标准方程：是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．作业答案：4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．六、板书设计。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教材分析椭圆是常见曲线，学生通过引言课及日常生活经验，对椭圆已有一定认识，并且学过求简单曲线方程和利用曲线方程来研究曲线几何性质的初步知识。
本节是在这个基础上学习求椭圆方程，并在学习这一节的过程中，使学生进一步熟悉和掌握坐标法。
根据学生已有知识水平、能力的实际和大纲及单元要求，我确定了本课的教学目标、重点、难点：1.教学目标（1）知识目标：理解椭圆定义及焦点、焦距的概念，能正确推导出椭圆的方程；（2）能力目标：培养学生运动变化的观点，训练动手能力；（3）情感目标：通过小组合作，培养学生协作、友爱精神。
2.重点椭圆定义和椭圆标准方程。
3.难点学生感到化简带根式的方程困难，特别是由点m适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高，项数多，初中代数没有做过这样的题目，因此椭圆标准方程的推导是本课的难点。
二、课时安排及教法、学法的选择运用本节知识用三课时完成，在此我主要谈第一课时的设计。
由于受教学时间和学生基础的限制，普通高中教学内容只能选取最基础的知识和最基本的技能，我确定教法：引导、点拨法，激励完善、情境教学法和竞赛法；学法：采用小组合作研究的方法，在教师引导下，让学生动手，不断探索，以加深对椭圆定义及其方程的理解，有利于发挥学生的主体作用，培养学生的协作友爱精神。
本课运用教具：动画课件、木板、细绳、图钉。
三、教学程序设计教材处理上我采用创设情境法，激发学生的学习兴趣，由我国“神舟系列飞船”运行轨迹引出如何作出椭圆的问题，这样有助于突出本课重点。
师生双边活动坚持“三为主”原则，让学生在教师引导下作出椭圆，让学生要善于发现问题，敢于提出问题，最后通过研究、讨论、争论来解决问题。
教师做到讲得少一点，引得“巧”一点，让学生学得“精”一点，“活”一点，领悟得“深”一点，“透”一点。
根据本课教学目标及重点难点，我设计了以下教学程序：第一环节：创设情境导入新课（2分钟）情境设置：中国“神舟”系列飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦。
椭圆及其方程教案(中档篇)
椭圆及其方程教案(中档篇)第一章：椭圆的概念1.1 椭圆的定义让学生了解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和实例让学生理解椭圆的基本性质，如焦点、半长轴、半短轴等。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。
解释椭圆标准方程的含义和应用，如通过方程可以确定椭圆的位置和大小。
第二章：椭圆的性质2.1 焦点和焦距让学生了解椭圆的焦点和焦距的概念，焦点是椭圆上到两个焦点距离之和为常数的点，焦距是两个焦点之间的距离。
通过图形和实例解释焦点和焦距与椭圆的大小和形状的关系。
2.2 半长轴和半短轴引导学生了解椭圆的半长轴和半短轴的概念，半长轴是椭圆上横坐标方向的半径，半短轴是椭圆上纵坐标方向的半径。
解释半长轴和半短轴与椭圆的大小和形状的关系。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程定义让学生了解椭圆的参数方程：\(x = a \cos t\)，\(y = b \sin t\)，其中\(t\)是参数，\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴。
通过图形和实例解释椭圆参数方程的含义和应用，如可以通过参数方程描绘椭圆的形状和位置。
3.2 椭圆的参数方程的应用引导学生了解椭圆的参数方程的应用，如通过参数方程可以求椭圆的面积、弧长等。
给出实例，让学生学会使用参数方程解决实际问题。
第四章：椭圆的图像4.1 椭圆的标准图像让学生了解椭圆的标准图像，即椭圆的图形。
通过图形和实例解释椭圆的标准图像的特点和形状。
4.2 椭圆的图像变换引导学生了解椭圆的图像变换，如平移、缩放等。
给出实例，让学生学会使用图像变换改变椭圆的位置和大小。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在几何中的应用让学生了解椭圆在几何中的应用，如椭圆的面积、弧长等。
通过实例让学生学会使用椭圆的性质和方程解决几何问题。
椭圆及其标准方程(精)
椭圆及其标准方程■教材：人教社高中数学B版教材选修1■任课教师：黎健清（北航附中）〖教学设计说明〗本节课是圆锥曲线的第一课时，它是在学习了直线和圆的方程基础上,进一步学习用坐标法研究曲线。
这一节课的教学能对前面所学知识情况进行回顾，还为后面研究双曲线和抛物线提供基本模式和理论基础，具有承上启下的重要意义。
坐标法是解析几何中的重要数学方法，它沟通了数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．椭圆标准方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。
本节课的设计力图贯彻“以人为本”的教育理念,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想.本课第一个环节是概念教学。
数学课标提出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式。
”所以我不是生硬的把椭圆概念灌输给学生，课前学生已经对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考。
课上我引导学生亲自动手画图、感受椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。
在教材处理上结合学生的认知能力和思维习惯先突出“和为定长”，再在此基础上完善“定长”取值范围.在学生活动中精心设问，引导学生分析动点运动过程的变量与不变量，归纳动点满足的几何条件，请学生分别用符号语言，文字语言表述椭圆的定义，使学生能达到图形语言、符号语言与文字语言的熟练转换。
概念形成后，并没有急于开始推导方程，而是增加了一个巩固概念的环节，精心选取了两个练习，通过练习强调椭圆定义中动点必须满足的等与不等关系，特别是注重分析动点运动的本质规律，用定义来判断轨迹的类型。
培养学生敢于质疑、严谨思考、透过现象看本质等良好的思维习惯，并渗透分类讨论的思想方法。
从图形上对椭圆进行充分认识之后，进入下一环节，引导学生从另一个角度-----方程来研究椭圆。
椭圆标准方程的推导，首先要建立适合的坐标系，这在前面学习中已经进行过充分的讨论和尝试，很快能达成一致的建系方法。
#8.1椭圆的标准方程
x2 b2
1
（a ＞b ＞0)
⑤
y
c2=a2-b2
F1(0，-c) 、F2(0，c)
综上所述：
焦点在x轴上的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1
（a ＞b ＞0）
F2 o
x F1
焦点在y轴上的标准方程为：
y2 a2
x2 b2
1
其中： c2=a2-
（a ＞b ＞0）
图（４）
（三）、椭圆标准方程的应用：
椭圆的标准方程
授课教师：邓万生 电脑制作：罗建平 工作单位：宜宾县高场职中
一、复习
1、求曲线方程的步骤：
①（适当建立坐标系），设动点P(x，y)。 ②写出动点在曲线上的充要条件。（关键） ③根据条件，用x，y列出方程。 ④化简方程。
⑤证明化简后的方程是所求曲线方程。（在草稿进行）
2、已知P(x1，y1)、Q(x2，y2),求PQ两点间距 离。
由椭圆定义得： |MF1|+|MF2|=2a
(椭圆定义式）
所以： (xc)2y2(xc)2y22 a
整理化简为：（a2-c2)x2+a2y2=a2(a2- ①
y
M(x,y)
将①式化简整c理2得) ：
x2 a2
y2 a2 c2
1
②
∵a＞c ＞ 0，∴a2-c2 ＞
x F1(-c,0) F2(c,0)
0所以设 b2=a2- c2 ＞0 (b ＞0) ③
∴②式化简为：
x2 y2 a2 b2 1 （a ＞b ＞0)
图（3）
④
③式变形得椭圆基本关系c2=a2-b2，④式叫做焦点在x轴上
的椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程(精)市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
2.求椭圆方程： ♦ 探讨建立平面直角坐标系方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵照标准：对称、“简练”
第5页
解：取过焦点F1、F2直线为x轴，线段F1F2垂直平
分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一
方程 焦点 a,b,c之间关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1ab0F Nhomakorabea±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆标准方程表示一定是焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点椭圆；方程左边是平方和，右边是1.
把文件一并发来，要插入图片也要把图片发来(我们不提供找图片服务)。
四、加急请联络：电话13030187488，QQ228668338 ，短信：13692343839
五、温馨提醒：请在修改要求中尽可能详细说明你要求，我们做好发给你后只给你
提供一次重改机会,因你说明不清楚造成要修改第三次，要补交半数费用。
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F1 o
M
F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
课题：椭圆及其标准方程
课题：椭圆及其标准方程一、教学目标学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
二、教学重点、难点（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。
（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
三、教学过程（一）创设情境，引入概念2（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2为原点；（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确定方案一.2．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，则 {}a MF MF M P 221=+=，∴得a ，c 于是得22a x b +．方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，y 交换了位置），直接得到方程()222210y x a b a b+=>>． 图1 图34．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c 的关系：222c a b -=)0(>>b a ；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。
椭圆及其标准方程
8.1椭圆及其标准方程青海昆仑中学李庆一、概述：“椭圆及其标准方程”一节课是人教版《高中数学》第二册（上）的重要内容。
共三课时完成，本节为第一课时。
重点为椭圆的定义和标准方程，难点为椭圆标准方程的推导。
高中数学学科课程标准对椭圆的定义和标准方程达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用。
通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面学生类比椭圆的研究过程和方法，为学习双曲线、抛物线奠定基础。
二、教学目标分析：（一）知识与技能：1.观察椭圆的形成过程,探索椭圆的定义。
2.能够动手模仿实验，演绎归纳出椭圆的定义。
3.复习曲线的方程的求解方法，探索并写出椭圆的标准方程的推导过程。
4。
通过练习及例题的解决，能正确运用椭圆的定义及标准方程解题。
（二）过程与方法：1.通过观察彗星的运行轨道,感知椭圆的形状.2.通过分组动手实验的过程，发现椭圆的定义,提升探索知识的能力。
3.模仿求曲线的方程的方法,能够根据椭圆的定义,写出椭圆的标准方程的推导过程,学会对知识的迁移。
4.通过对例题和练习的解决,理解和掌握椭圆的定义及标准方程.5.通过对椭圆定义及标准方程的推导过程的总结，学会对数学定义的抽象概括.(三)情感态度与价值观：1.感受椭圆定义的探索过程，形成良好的思维品质。
2.通过椭圆标准方程的推导,形成大胆创新、敢于求异学习品质。
3.通过分组讨论，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
形成良好的与人合作的交往品质。
三、学习者特征分析：本节课的学习者特征分析主要是根据文理科分班的期末统考成绩和教师对学生经过一学期的教学实践而做出的：1.学生是青海昆仑中学高二年级的学生.2.班级容量较大，女生多男生少.对事物的观察认真、仔细,但动手操作实验能力较弱。
3.猜想演绎推理和归纳的能力较弱,运用已知知识探索未知知识的意识较弱。
8.1椭圆的标准方程
；
(2)
x2 22
y2 42
1
則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在
；
(3) x2 y2 1 96
則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在
；
(4) x2 y2 1 37
則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在
；
例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1) 兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓 上的一點P到焦點的距離之和等於10；
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) 由橢圓定義可知，2a>2c，即a>c，所以 a 2 c 2 0 設 a 2 c 2 b 2 (b 0) ，得
b2x2a2y2a2b2
兩邊除以 a 2b 2 ，得
a x2 2b y2 21(ab0) (1)
變形為：
(x c)2 a2 x
y2
c a
c
觀察式子的幾何意義，提出合理的猜想。
用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把
平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和” 圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一 些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”， 把雙曲線叫做“超曲線”，把抛物線叫做“齊曲線”。 事實上，阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法已經 取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。
6*、已知線段AB的長為a，它的兩個端點分別在x軸和y 軸上滑動，求內分AB成m:n的點M的軌跡方程。
小結
1、本節課學習了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義。 2、通過橢圓的定義推出了橢圓的標準方程。橢圓的標
準方程有兩種，一種焦點在x 軸，一種焦點在y軸。 3、給出了橢圓的標準方程焦點位置的判斷方法。 4、橢圓的標準方程主要是利用待定係數法求出a、b的
椭圆及其标准方程
课题：椭圆及其标准方程
1.教学目标：
（1） 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。
（2） 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
（3） 通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
2.教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。
3.教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。
4.教学任务分析：
（1） 学生已有的主要知识结构
学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。
（2） 建立新的知识结构
与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。
5.
6.媒体选用：多媒体课件，几何画板。
7.教学过程：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课 题：8．1椭圆及其标准方程（三）教学目的：1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹教学方法：讲练结合法 教学过程： 一、复习引入： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.椭圆标准方程：（1）12222=+by a x它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a += （2）12222=+bx a y它所表示的椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程其中22b c a += 在12222=+b y a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)二、新课讲解：例1．已知,B C 是两个定点，||6BC =，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程． 解：如图，以BC 中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系， 由已知，||||||16AB BC AC ++=且||6BC =， ∴||||10AB AC +=，即点A 的轨迹是椭圆， 且26c =，210a =，∴3c =，5a =，∴222225316b a c =-=-=，又∵,,A B C 三点共线时不能构成三角形，此时0y =，所以，点A 的轨迹方程为2212516x y +=（0y ≠）． 说明：本例中，利用椭圆的定义求动点轨迹方程，这种方法称之为定义法。
使用定义法的关键是：充分分析图形的特点，熟悉各种曲线的定义，数形结合（注意结合图形，去掉不和题意的点）． 例2．如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，求线段PP '中点M 的轨迹。
解：设(,)M x y ，点P 坐标为00(,)x y ，则002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴002x x y y =⎧⎨=⎩ ① ∵00(,)P x y 在圆224x y +=上，∴22004x y += ②把②代入①得2244x y +=，即2214x y +=， 所以，点M 的轨迹是一个椭圆。
说明：1．本例中利用中间变量00,x y 与,x y 之间的关系求曲线方程的方法叫“转移法”（或“相关点法”）；2．由本题结论，将圆按某个方向均匀地压缩（或拉长），可以得到椭圆．例3．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，xyO B CA' P xyO M将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ①当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ②将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，12= ③移项再两边分别平方得：12x =+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆．12=，由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， ∴26c =，212a =，∴3c =，6a =， ∴236927b =-=，∴圆心轨迹方程为2213627x y +=． 例3已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆1422=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -因为点Q 为椭圆1422=+y x 上的点， 所以有1)2(4)12(22=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)21(22=+-y xxy1 2P例4长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为32，求点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为)25,0(y 因为2||=AB ，所以有 4)25()35(22=+y x ，即442592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是442592522=+y x 例5已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：MP MQ -=8上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆解 已知圆可化为：()64322=+-y x圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径又圆M 和圆Q 内切，所以MP MQ -=8，即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，72=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：71622=+y x 三．课堂小结：1．定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；2．“转移法”求轨迹方程的方法：转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系四、课堂练习：1．已知圆22y x +＝１，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M 的轨迹.选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解：设点M 的坐标为),(y x ，则点P 的坐标为),2(y x .∵P 在圆122=+y x 上，∴1)2(22=+y x ，即14122=+y x . ∴点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x2．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A 的坐标为),(y x . 依题意得9466-=+⋅-x y x y ， ∴顶点A 的轨迹方程为)6(1368122±≠=+y y x . 说明：方程1368122=+y x 对应的椭圆与y 轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.3．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜2PF ｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4 ∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3∴椭圆的方程为13422=+y x .（２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ由正弦定理得：)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F由等比定理得：)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F)60sin(234sin 2θθ-︒+=∴整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 53cos 1sin =+∴θθ故232tan =θ 11352531532tan tan 21=-⋅==θPF F . 说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P 点横坐标先求出来，再去解三角形作答五、课堂作业1．在ABC ∆中，顶点,A C 的坐标分别为(1,0)-、(1,0)，三边长||AB ，||AC ，||BC 成等差数列，求顶点B 的轨迹方程．2．已知圆C ：226910x y x ++-=及圆内一点(3,0)P ，求过点P 且与已知圆内切的圆心M 的轨迹方程．3．已知圆1O ：2240x y x ++=，圆2O ：224600x y x +--=，动圆圆心M 和圆1O 外切，和圆2O 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．4．已知圆C ：22(1)25x y ++=，及点(1,0)A ，Q 为圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程． 六、板书设计（略） 七、课后反思。