相对论习题课(xin)
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相对论基础习题课
2. 一尺静止时的长度为 0，若尺相对与参照系 以 一尺静止时的长度为l 若尺相对与参照系S以 0.8c的速度沿 轴正方向运动，则 的速度沿x轴正方向运动 的速度沿 轴正方向运动， （1）从参照系 测得该尺的长度为多少？ 测得该尺的长度为多少？ ）从参照系S测得该尺的长度为多少 的速度沿x轴正 （2）另一参照系 ′相对于 以5c/13的速度沿 轴正 ）另一参照系S′相对于S以 的速度沿 方向运动， 方向运动，从S′测得该尺的长度为多少？ ′测得该尺的长度为多少？
相对论基础习题课
1. 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系 和 S′中 ， 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系S和 ′ 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s， 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为 ， 而乙测得这两个事件的时间间隔为5s，求： 而乙测得这两个事件的时间间隔为 ， (1) S′相对 的运动速度； 的运动速度； ′相对S的运动速度 (2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离。 乙测得这两个事件发生的地点的距离。
3. 一飞船以速度 u 远离地球而去。 远离地球而去。 飞船上沿着 角向前发出一光脉冲。 与飞行方向成 θ 角向前发出一光脉冲。 （1） 试求在地球上的观察者测得此脉冲的 ） 传播方向； 传播方向； （2） 证明地球上的观察者所测得的此光的 ） 速率仍然是 c。 。
4. 有一质量均匀的物体 ， 静止时质量为 0， 密度 有一质量均匀的物体，静止时质量为m 的物体。 为体积为ρ0的物体。 （ 1） 当该物体以 的速度作匀速直线运动时， ） 当该物体以0.6c的速度作匀速直线运动时 ， 的速度作匀速直线运动时 其密度变为多少？ 其密度变为多少？ （2）此时物体的动量和动能分别是多少？ ）一静止在实验室参照系中的粒子自发地分裂成沿 相反方向运动的两部分，其中一部分的速度为0.6c， 相反方向运动的两部分 ， 其中一部分的速度为 ， 另一部分速度为0.8c。设粒子分裂前的静止质量 为 。 设粒子分裂前的静止质量为 另一部分速度为 m0，求在实验室参照系中测得这两部分的质量、动 求在实验室参照系中测得这两部分的质量、 量和动能。 量和动能。
大学物理(上)13相对论习题课
(A) (4/5) c． (B) (3/5) c． (C) (2/5) c． (D) (1/5) c．
解: 利用时间膨胀公式
0 4s, 5s
0
1 u2 c2
1 u2 c2
0
4 5
u 3 c 5
B
2020/1/6
23
3、一匀质矩形薄板在它静止时测得其长为 a ，宽为 b ，质量为
真空中光速)，则在地球坐标系中测出的m子的寿命 ＝
处理力学问题时，一定要搞清问题
是否满足经典极限条件(v≤0.1c)。
2020/1/6
14
例1： 有两静止质量均为 m0的粒子，一个静止，另一 个以 0.8c与静止的粒子碰撞，碰后粘在一起
运动。求：碰后合成物的静止质量 M0 ?
V
解： 能量守恒：mc 2 m0c2 Mc 2 （1）
2020/1/6
4
3.3 相对论动力学
一、相对论质量与动量
1. 相对论质量（质速关系式）
一个正确的力学定律必须满足两个前提：
第一，在洛仑兹变换下形式保持不变；
第二，在u<<c条件下，能够还原为经典力学的形式
m m
m
0
1 v2 c2
0
m 静止质量
v0 物体运动速率
m 相对论质量
(1) 当v c 时, 1,
2020/1/6
p E h h c c
12
五、相对论动力学主要结论
1.
2. 3.
质动动F量 量 力学的ddmPP基t 本方mdd程1tv(mmv02vc)12mmv0m2ddcv0t2
v
v
解: 利用时间膨胀公式
0 4s, 5s
0
1 u2 c2
1 u2 c2
0
4 5
u 3 c 5
B
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3、一匀质矩形薄板在它静止时测得其长为 a ，宽为 b ，质量为
真空中光速)，则在地球坐标系中测出的m子的寿命 ＝
处理力学问题时，一定要搞清问题
是否满足经典极限条件(v≤0.1c)。
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例1： 有两静止质量均为 m0的粒子，一个静止，另一 个以 0.8c与静止的粒子碰撞，碰后粘在一起
运动。求：碰后合成物的静止质量 M0 ?
V
解： 能量守恒：mc 2 m0c2 Mc 2 （1）
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4
3.3 相对论动力学
一、相对论质量与动量
1. 相对论质量（质速关系式）
一个正确的力学定律必须满足两个前提：
第一，在洛仑兹变换下形式保持不变；
第二，在u<<c条件下，能够还原为经典力学的形式
m m
m
0
1 v2 c2
0
m 静止质量
v0 物体运动速率
m 相对论质量
(1) 当v c 时, 1,
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五、相对论动力学主要结论
1.
2. 3.
质动动F量 量 力学的ddmPP基t 本方mdd程1tv(mmv02vc)12mmv0m2ddcv0t2
v
v
1习题课(相对论)
第六章 狭义相对论 习 题 课
一、选择题 1.下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播 速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D ]
（D） 0 ; l l 0
5.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点 、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运 动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同 时发生？ （ 2 ）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两 个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ （A）（1）同时，（2）不同时。 （B）（1）不同时，（2）同时。 （C）（1）同时，（2）同时。 （D）（1）不同时，（2）不同时。 [ A ]
c 或由： 2 2 1 u / c u t 2 x c t t 2 t 1 270 s c 1 u2 / c 2 t
2
x ct
270(m )
从这道题也可以看出，洛仑兹变换是建立在光速不 变原理这个基础之上的。
12）一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米 8 -1 2.6× 10· 尺的长度为0.5m。则此米尺以速度υ= m s 接近观察者。 解: 匀速运动着的米尺的长度为动长 l
c2 c2
（C） 0 ; l l 0
4. 两个惯性系S 和 S ′,沿x（x ′)轴方向作相对运动，相 对速度为 u ，设在 S ′系中某点先后发生的两个事件，用 固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为固有时τ0 。而 用固定在 S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。又 在S ′系x ′轴上放置一固有长度为 l 0 的细杆，从S 系测得 此杆的长度为l ，则 [ D ] （A） 0 ; l l 0 （B） 0 ; l l 0
一、选择题 1.下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播 速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D ]
（D） 0 ; l l 0
5.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点 、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运 动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同 时发生？ （ 2 ）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两 个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ （A）（1）同时，（2）不同时。 （B）（1）不同时，（2）同时。 （C）（1）同时，（2）同时。 （D）（1）不同时，（2）不同时。 [ A ]
c 或由： 2 2 1 u / c u t 2 x c t t 2 t 1 270 s c 1 u2 / c 2 t
2
x ct
270(m )
从这道题也可以看出，洛仑兹变换是建立在光速不 变原理这个基础之上的。
12）一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米 8 -1 2.6× 10· 尺的长度为0.5m。则此米尺以速度υ= m s 接近观察者。 解: 匀速运动着的米尺的长度为动长 l
c2 c2
（C） 0 ; l l 0
4. 两个惯性系S 和 S ′,沿x（x ′)轴方向作相对运动，相 对速度为 u ，设在 S ′系中某点先后发生的两个事件，用 固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为固有时τ0 。而 用固定在 S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。又 在S ′系x ′轴上放置一固有长度为 l 0 的细杆，从S 系测得 此杆的长度为l ，则 [ D ] （A） 0 ; l l 0 （B） 0 ; l l 0
相对论习题课
解： 由洛仑兹变换得
u ∆t ′ = γ (∆t − 2 ∆x) c 1 0.6c = (10 − 2 ×100) ≈ 12.5 s c 0.6c 2 1− ( ) c
∆x′ = γ (∆x − u∆t ) = 1.25 × (100 − 0.6c ×10) = −2.25 ×109 m
在飞船中的观察者看来， 在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向跑 了2.25×109米。
u ∆x ′ = γ (∆x − u∆t ) ∆t ′ = γ ∆t − 2 ∆x c 由题意： 由题意：∆ x = 1000 m , ∆ t = 0 , ∆ x ′ = 2000 m
′ x ∆ 可得： 可得： γ = ∆x = 1 1 − (u c ) 2 =2 得 u =
u ∆t = γ (∆t′ + 2 ∆x′) c
u ∆t′ = γ (∆t − 2 ∆x) c
六、长度收缩效应
L = γ L0
−1
原长： 原长：相对于被测物体静止的参考系测得的长度 相对于被测物体静止的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 非原长： 非原长：相对于被测物体运动的参考系测得的长度 相对于被测物体运动的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 注意事项: 1.长度收缩效应 应用的前提条件 : 应用的 t1 = t2;即:非原长两端同时测量 即:∆t=0 2.不符合此前提使用以下公式求空间间隔:
z′ = z t ′ = γ ( t − ux / c 2 )
注意： 注意：
x ′ = γ ( x − ut ) y′ = y
2 ′ ′ t = γ (t + u x / c )
1− u c
2 2
相对论习题课
狭义相对论
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得
相对论习题课
3. 时间延缓 (运动的时钟变慢)
t2 t1
4. 长度收缩 （运动的尺收缩）
0
u2 1 2 c
u2 L L0 1 2 c
狭义相对论动力学
动量 能量 质能关系 1. 动量： P mv
m0 v 1 2 c
2
v
m
m0 v2 1 2 c
2. 能量： 静能: 总能：
y
y
S
x S x
u
山洞长
lB lA 5 2 Δ t 10 s 山洞长 l 1 l 0.8km B 0 u l l 6 B A (2) S系： t 1.1110 s u
u
(3) S lA 系： lB
列车的长度比山洞长，整个列车不可 能有全在山洞内的时刻
l0 1.0km S系：列车长 l A
l A lB Δt 105 s 0.6c
lB 1.0 km山洞比车短， 火车可被闪电 击中否？
u
同时闪电时，车 正好在山洞里
车头到洞口，出 现第一个闪电
u
车尾到洞口， 出现第二个闪 电
u
闪电不同 时
例. 静止的 子的寿命约为０=210-6s。今在8km的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的 子，试论证此 子有无 可能到达地面。 L ' u 0
结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动， 只是运动介质速度的一部分， f=1-1/n2 加到了光速 v0=c/n 中。 1851年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论 出现后，该效应才得到了满意的解释。
例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是1km。这列火车以 0.6c的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入 山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？ (2) 整个列车全在山洞 内的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？ 解： (1) S系： 列车长 l 1 2 l 0.8km
相对论习题附答案
1.狭义相对论的两个基本假设分别是——————————————和——————————————。
2.在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距离是1m。
在S′系中观察这两个。
事件之间的距离是2m。
则在S′系中这两个事件的时间间隔是——————————————3.宇宙飞船相对于地面以速度v做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过Δt（飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，真空中光速用c表示，则飞船的固有长度为——————————————。
4.一宇航员要到离地球为5 光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3 光年，。
真空中光速用c表示，则他所乘的火箭相对地球的速度应是——————————————5.在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，真空中光速用c表示，则乙相对于甲的运动速度是。
———————————6.一宇宙飞船相对地球以0.8c（c表示真空中光速）的速度飞行。
一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达。
船头两个事件的空间间隔为——————————————7.两个惯性系中的观察者O 和O′以0.6c（c为真空中光速）的相对速度互相接近，如果O测得两者的初距离是20m , 则O′测得两者经过时间间隔Δt′=——————————————后相遇。
8.π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是 2.6×10-8s , 如果它相对实验室以0.8c（c为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得的π+介子的寿命是。
——————————————9.c表示真空中光速，电子的静能m o c2 = 0.5 MeV，则根据相对论动力学，动能为1/4 Mev。
的电子，其运动速度约等于——————————————10.α粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量的——————倍————————11. 在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距是1000 m。
(14)相对论习题课
此时： x ′ ′ 0 = −64m A u (t A′ − tB′ ) − 2 ( x A′ − xB′ ) c = 60 c t′ ′ = t′ ′ − t′ ′ = A A B 1 − u2 c2 x ′ ′ 0 + ( − u )t ′ ′ A A
可以打中
= −64m − 0.6c × 60 / c = −100m
1.以地球系为S系，飞船为S´系 ( u = 0.8c ) 解： 飞船S´系：Δt ′ = 30′ (固有时 ) 30′ 宇航站时钟读数： Δt ′ Δt = = 50′ = 地球S系： 2
μ2 1−
c
2
例8.飞船以u=0.8c在中午飞经地球，飞船与地球的时钟都指示 12:00 1、当飞船中时钟读数为12:30´,飞船飞经一个相对地球静止的行星 宇航站，求宇航站时钟读数？
相对论质量相对论动量0221mvpmvvc?220kemcmc?相对论动能相对论能量2emc222240epcmc相对论的动量能量关系式相对论的动量能量关系式动量守恒定律能量守恒定律内容提要例1
狭义相对论习题课
北京科技大学物理系 王云良 physicsustb@
内容提要
1.狭义相对论基本假设： 爱因斯坦相对性原理 2.洛仑兹变换： 光速不变原理
5 = 3
例3. 已知，π介子V=βc，衰变为两个光子，两个光 子的运动轨道与原方向成相等的角度θ， 证明：1.两个光子能量相等；2.cosθ=β 动量守恒、总能量守恒 证明：
ν1
M
衰变
m1
光子1
π介子
θ θ
ν2
m2
光子2
动量守恒：
{ 0 = m c ⋅ sinθ − m c ⋅ sinθ
1 2
相对论习题课
L = l0 1 − υ 2 c 2 = 100 × 1 − 0.82 = 60m 设在飞船上观测，运动员起跑在x1’处，撞线在x2’处。则 由洛仑兹时空间隔的变换有：
Δx′ = ( Δx − υΔt ) / 1 − υ 2 / c2 = −4 × 109 m
在飞船上观测，运动员起跑和到终点两事件的空间间隔并不是 跑道的长度，并且，空间间隔远远大于跑道的长度。为什么？
2） cosθ =β
m1
动量守恒：
ν1
M
θ
π介子 衰变 θ
ν2
{ 光子1 MV = m1c ⋅ cos θ + m2c ⋅ cos θ (1) 0 = m1c ⋅sin θ − m2c ⋅sin θ (2)
m2
光子2
由(2)：m1 = m2 = m
∴ E1 = E2 = mc2
能量守恒：Mc2 = mc2 + mc2 ∴ M = 2m
狭义相对论习题课
基本要求
1、熟练运用洛伦兹变换讨论相对论时空观 2、掌握相对论质量、动能、能量及动量和能量 的关系，解决相对论动力学中的简单问题
H.M.Qiu
狭义相对论运动学
洛伦兹变换
x′ =
x −υt
1
−
ห้องสมุดไป่ตู้
υ2 c2
y′ = y
z′ = z
t′ =
t
−
υ c2
x
1
−
υ2 c2
u
′
x
=
ux − υ
1−
y
K
y′ K′ υ
o′
x′
o
υ = 0.6c ux = −0.8c 1) u′x = ?
u x
Δx′ = ( Δx − υΔt ) / 1 − υ 2 / c2 = −4 × 109 m
在飞船上观测，运动员起跑和到终点两事件的空间间隔并不是 跑道的长度，并且，空间间隔远远大于跑道的长度。为什么？
2） cosθ =β
m1
动量守恒：
ν1
M
θ
π介子 衰变 θ
ν2
{ 光子1 MV = m1c ⋅ cos θ + m2c ⋅ cos θ (1) 0 = m1c ⋅sin θ − m2c ⋅sin θ (2)
m2
光子2
由(2)：m1 = m2 = m
∴ E1 = E2 = mc2
能量守恒：Mc2 = mc2 + mc2 ∴ M = 2m
狭义相对论习题课
基本要求
1、熟练运用洛伦兹变换讨论相对论时空观 2、掌握相对论质量、动能、能量及动量和能量 的关系，解决相对论动力学中的简单问题
H.M.Qiu
狭义相对论运动学
洛伦兹变换
x′ =
x −υt
1
−
ห้องสมุดไป่ตู้
υ2 c2
y′ = y
z′ = z
t′ =
t
−
υ c2
x
1
−
υ2 c2
u
′
x
=
ux − υ
1−
y
K
y′ K′ υ
o′
x′
o
υ = 0.6c ux = −0.8c 1) u′x = ?
u x
相对论习题课
解答提示
在 s` 系中米尺为原长，有
l′ y
θ`
3 0 l′ = 1 ⋅ cos 30 = x 2 1 0 l′ y = 1 ⋅ sin 30 = 2
0 ′ 1 − u2 c2 = 在 s 系中： l x = l cos 45 = l x
′ lx
1 ⋯ (2) 2 由（ 2），在 s 系测得米尺长度 l = 2 = 0.707(m) 2
y′
y
A
0
S′
� u
山洞长
x′ S x
l A + lB Δt = = 10 − 5 s 0.6 c
′ l′ A + lB Δt ′ = = 10−5 s u �
lB = 1.0 km
S ′系：列车长 l ′ A = l0 = 1.0km
山洞长 lB ′ = 1− β 2 l0 = 0.8km (2) S系：δ t = lB − lA = 1.11× 10−6 s u ′ < l′ (3) S ′系： l B A
例 . 设有一宇宙飞船 A 以速率 0.9 c 匀速向东飞行，另一宇宙飞船 B 0.9c 以速率 0.8 c 匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船 B 上的宇航员所测 0.8c 得的宇宙飞船 A 的速率是多少？
设向东为 x 轴正方向，对地面参照系 s , A 的速度为
v x = 0.9c
对以 B 为参照系的 s ` ， A 的速度为
相对论
狭义相对论的两个基本假设
相对性原理: 物理定律在所有惯性系中都是相同的 , 不存在任何一个特殊的绝对的惯性系 . 光速不变原理: 在所有的惯性系中,光在真空中的速 率都相同.
狭义相对论的运动学（时空的变换）
一、绝对时空观 伽利略变换
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E E ( P1c )
2 1 2 10 2 2 2 20 2
利用能量与动量的关系
E E ( P2 c )
哈尔滨工程大学理学院
2
狭义相对论习题课
E E E E
2 1 2 2 2 10 2 1 2
2 20 2 20
E ( E0 E1 ) E E
2 10
E E E E1 2E 0
vx u v x u 1 2 vx c
2 vy u vy 1 2 u c 1 2 vx c
v u x vx u 1 2 v x c v u2 y vy 1 2 u c 1 2 vx c
u 1 2 c
2
vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c
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2
v z vz u 1 2 v x c
狭义相对论习题课
3.动力学定律
dv dm F m v dt dt
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狭义相对论习题课
狭义相对论小结
洛沦兹变换
x x ut 1 y y z z u c2
2
t
t
u x 2 c u2 1 c2
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到 的，闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
1 u / c t1 ( x2 x1 )u / c 2 9.261014 s t2
2 2
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t2 t1
(t2 t1 ) ( x2 x1 )u / c 2
P mv m 0 v / 1 v 2 / c 2
狭义相对论习题课 四. 典型习题 例1. 在S参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角 线运动．求O＇所测得的该图形的面积．
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狭义相对论习题课 解：令S系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向 (如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
min
固有时间
50min
地面的观察者
t
t
u2 1 2 c
12:50 (2)
s s´
s´ u
o o ut 0.8c 50 60
7.21011m
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o
o´
狭义相对论习题课 (3)
t 1
o o 2.4 10 3 c
s
40min
1:30
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狭义相对论习题课 解：（1）选取两惯性参照系 （2）根据所选坐标系确定已知物理量
u 0 .6 c
vx 0.8c
（3）根据所选坐标系确定要求物理量
vx u v x u 1 2 vx c 0.8c 0.6c 1 ( 0 .8 0 . 6 ) 0.95c
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狭义相对论习题课 例7. 两个质子以0.5c的速率从以共同点反向运动，求（1） 每个质子对于共同点的动量和能量；（2）一个质子在另 个质子处于静止的参考系中的动量和能量。（质子的静止 质量为m0)
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狭义相对论习题课
解：由题意有：
1 m0 v p2 mv 0.58m 0 c 2 1
o´
狭义相对论习题课 例6. 静止质量为M0的粒子，在静止时衰变为静止质量为 m10和m20的粒子。试求出静止质量为m10的粒子的能量和 速度？
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狭义相对论习题课 解：
0
M0; 0
1 m1; v1
2 m2; v2
动量守恒 能量守恒
0 p1 p2
E0 E1 E 2
狭义相对论习题课 教学要求
1.掌握爱因斯坦两条基本假设
2.掌握洛伦兹变换；熟练掌握狭义相对论的时空观解决 问题。 3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，掌握能量和 动量的关系。
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狭义相对论习题课
一、基本概念
狭义相对论时空观 1.相对论的长度收缩效应: L L0
1 u 2 / c2
2 0 2 10
2 20
(M m m ) 2 E1 c 2M 0
2 0 2 10 2 20
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狭义相对论习题课
E E ( P1c )
2 1 2 10
2
p
2 E12 E10 2 c
2 E12 E10 vc 2 E1
2 2 2 2 2 ( M 0 m10 m 20 ) 2 4 M 0 m10 vc 2 2 2 ( M 0 m10 m 20 ) 2
t2 t1 ( x2 x1 )u / c 9.26 10
2
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2
14
s
狭义相对论习题课
例3.火箭相对地面以 v = 0.6c 的匀速度向上飞离地球，在 火箭发射 t´= 10s 后（火箭上的钟），该火箭向地面发 射一导弹，其相对地面的速度为v1=0.3c.问：火箭发射多 长时间后，导弹到达地面？（地面上的钟，计算中假设 地面不动）
狭义相对论习题课
解：
eU E E 0
E0 v2 1 2 c E0
eU
vc
( eU ) 2 2 E 0 eU E 0 eU
L0 =4.610-8s t v
L L0 v2 1 2 c
=6.7m
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狭义相对论习题课 例9. （作业109）地球上的观察者发现一只以速率0.6c向东 航行的宇宙飞船将在5s后同一个以速率0.8c向西飞行的彗 星相撞。 （1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。 （2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航 线避免碰撞。
d/2
h d
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L
狭义相对论习题课 解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不 变。隧道长度为 2
v L L 1 2 c
(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列 车全长所需时间为
L l0 t v v
L 1 (v / c) 2 l0 v
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
S 2ay a 0.6a 60 Cm2 x
2
y
y
v
x
x
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狭义相对论习题课 例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪 电同时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观 察者观测得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端 的时间间隔为多少？
E mc 2 1.67m 0 c 2
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狭义相对论习题课 例8.一 静止电子（静止能量为0.51MeV）被0.13MV的 电势差加速，然后以恒定速度运动 （1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要的时 间？ （2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少
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x
x vt v 1 2 c
2
v t 2 x c t 2 v 1 2 c
y y z z
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v t 2 x x vt c x t 2 2 v v 1 2 1 2 c c y y z z
狭义相对论习题课 洛仑兹速度变换式 逆变换 正变换
2
p1 mv
m0 v
0.58m 0 c
E mc
2
m0c
2
1 2
1.15 m 0 c 2
v x
v v 1 c 2 1.25 v 1 2 c
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狭义相对论习题课
p mv x m0v x v2 x 1 c2 1.33m 0 c
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狭义相对论习题课 5.相对论的质量
m0 / 1 v 2 / c 2 m 6.相对论的 动量 mv0 p v2 1 2 c
7.相对论的 动能
Ek mc m0c
2
2
二、基本定律和定理
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狭义相对论习题课 1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同 的，即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。 2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向 相同的量值c ,与光源的运动无关。 逆变换 正变换
狭 义 相 对 论
运动学
时间膨胀 长度收缩
v x
t
t
vx u u 1 2 vx c
1 u 2 / c2
L L0 1 u 2 / c 2
2 2
动力学
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m m0 / 1 v / c dv dm F dP / dt m v E mc 2 E 0 m 0 c 2 dt dt 2 E K E E0 E mc 2 E 2 E0 P 2c 2
2.相对论的时间膨胀效应:
t2 t1
t2 t1 1 u / c
2
2
2
3.相对论中同地的相对性: x2 x1
( x2 x1 ) u (t2 t1) 1 u / c
2
u (t 2 t1 ) ( x2 x1 ) 2 c 4.相对论中同时的相对性: t 2 t1 2 2 1 u / c
t 2 S / v 1 25 sec
所以火箭发射到导弹到达地球所需时间为
t t 1 t 2 37.5 sec
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狭义相对论习题课 例4. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如 图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道， 若从列车上观测， (1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？
2 1 2 10 2 2 2 20 2
利用能量与动量的关系
E E ( P2 c )
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2
狭义相对论习题课
E E E E
2 1 2 2 2 10 2 1 2
2 20 2 20
E ( E0 E1 ) E E
2 10
E E E E1 2E 0
vx u v x u 1 2 vx c
2 vy u vy 1 2 u c 1 2 vx c
v u x vx u 1 2 v x c v u2 y vy 1 2 u c 1 2 vx c
u 1 2 c
2
vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c
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2
v z vz u 1 2 v x c
狭义相对论习题课
3.动力学定律
dv dm F m v dt dt
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狭义相对论习题课
狭义相对论小结
洛沦兹变换
x x ut 1 y y z z u c2
2
t
t
u x 2 c u2 1 c2
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到 的，闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
1 u / c t1 ( x2 x1 )u / c 2 9.261014 s t2
2 2
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t2 t1
(t2 t1 ) ( x2 x1 )u / c 2
P mv m 0 v / 1 v 2 / c 2
狭义相对论习题课 四. 典型习题 例1. 在S参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角 线运动．求O＇所测得的该图形的面积．
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狭义相对论习题课 解：令S系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向 (如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
min
固有时间
50min
地面的观察者
t
t
u2 1 2 c
12:50 (2)
s s´
s´ u
o o ut 0.8c 50 60
7.21011m
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o
o´
狭义相对论习题课 (3)
t 1
o o 2.4 10 3 c
s
40min
1:30
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狭义相对论习题课 解：（1）选取两惯性参照系 （2）根据所选坐标系确定已知物理量
u 0 .6 c
vx 0.8c
（3）根据所选坐标系确定要求物理量
vx u v x u 1 2 vx c 0.8c 0.6c 1 ( 0 .8 0 . 6 ) 0.95c
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狭义相对论习题课 例7. 两个质子以0.5c的速率从以共同点反向运动，求（1） 每个质子对于共同点的动量和能量；（2）一个质子在另 个质子处于静止的参考系中的动量和能量。（质子的静止 质量为m0)
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狭义相对论习题课
解：由题意有：
1 m0 v p2 mv 0.58m 0 c 2 1
o´
狭义相对论习题课 例6. 静止质量为M0的粒子，在静止时衰变为静止质量为 m10和m20的粒子。试求出静止质量为m10的粒子的能量和 速度？
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狭义相对论习题课 解：
0
M0; 0
1 m1; v1
2 m2; v2
动量守恒 能量守恒
0 p1 p2
E0 E1 E 2
狭义相对论习题课 教学要求
1.掌握爱因斯坦两条基本假设
2.掌握洛伦兹变换；熟练掌握狭义相对论的时空观解决 问题。 3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，掌握能量和 动量的关系。
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狭义相对论习题课
一、基本概念
狭义相对论时空观 1.相对论的长度收缩效应: L L0
1 u 2 / c2
2 0 2 10
2 20
(M m m ) 2 E1 c 2M 0
2 0 2 10 2 20
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狭义相对论习题课
E E ( P1c )
2 1 2 10
2
p
2 E12 E10 2 c
2 E12 E10 vc 2 E1
2 2 2 2 2 ( M 0 m10 m 20 ) 2 4 M 0 m10 vc 2 2 2 ( M 0 m10 m 20 ) 2
t2 t1 ( x2 x1 )u / c 9.26 10
2
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2
14
s
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例3.火箭相对地面以 v = 0.6c 的匀速度向上飞离地球，在 火箭发射 t´= 10s 后（火箭上的钟），该火箭向地面发 射一导弹，其相对地面的速度为v1=0.3c.问：火箭发射多 长时间后，导弹到达地面？（地面上的钟，计算中假设 地面不动）
狭义相对论习题课
解：
eU E E 0
E0 v2 1 2 c E0
eU
vc
( eU ) 2 2 E 0 eU E 0 eU
L0 =4.610-8s t v
L L0 v2 1 2 c
=6.7m
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d/2
h d
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L
狭义相对论习题课 解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不 变。隧道长度为 2
v L L 1 2 c
(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列 车全长所需时间为
L l0 t v v
L 1 (v / c) 2 l0 v
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
S 2ay a 0.6a 60 Cm2 x
2
y
y
v
x
x
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狭义相对论习题课 例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪 电同时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观 察者观测得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端 的时间间隔为多少？
E mc 2 1.67m 0 c 2
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狭义相对论习题课 例8.一 静止电子（静止能量为0.51MeV）被0.13MV的 电势差加速，然后以恒定速度运动 （1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要的时 间？ （2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少
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x
x vt v 1 2 c
2
v t 2 x c t 2 v 1 2 c
y y z z
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v t 2 x x vt c x t 2 2 v v 1 2 1 2 c c y y z z
狭义相对论习题课 洛仑兹速度变换式 逆变换 正变换
2
p1 mv
m0 v
0.58m 0 c
E mc
2
m0c
2
1 2
1.15 m 0 c 2
v x
v v 1 c 2 1.25 v 1 2 c
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p mv x m0v x v2 x 1 c2 1.33m 0 c
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m0 / 1 v 2 / c 2 m 6.相对论的 动量 mv0 p v2 1 2 c
7.相对论的 动能
Ek mc m0c
2
2
二、基本定律和定理
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狭义相对论习题课 1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同 的，即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。 2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向 相同的量值c ,与光源的运动无关。 逆变换 正变换
狭 义 相 对 论
运动学
时间膨胀 长度收缩
v x
t
t
vx u u 1 2 vx c
1 u 2 / c2
L L0 1 u 2 / c 2
2 2
动力学
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m m0 / 1 v / c dv dm F dP / dt m v E mc 2 E 0 m 0 c 2 dt dt 2 E K E E0 E mc 2 E 2 E0 P 2c 2
2.相对论的时间膨胀效应:
t2 t1
t2 t1 1 u / c
2
2
2
3.相对论中同地的相对性: x2 x1
( x2 x1 ) u (t2 t1) 1 u / c
2
u (t 2 t1 ) ( x2 x1 ) 2 c 4.相对论中同时的相对性: t 2 t1 2 2 1 u / c
t 2 S / v 1 25 sec
所以火箭发射到导弹到达地球所需时间为
t t 1 t 2 37.5 sec
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狭义相对论习题课 例4. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如 图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道， 若从列车上观测， (1) 隧道的尺寸如何？ (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？