2018届广东省广州市高三年级第一学期期末调研测试(文科数学)答案

数学（文科）试题A 第 1 页 共 8 页2018届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题二.填空题13.10 14.21-15.1ln 2+ 16.1三、解答题17. 解:(1)当1n =时,114a =.………………………………………………………………………1分 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n --++++=∈N L , ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥L . ②……………………………………3分 ①－②得1144n n a -=.……………………………………………………………………………………4分所以()*1=2,4n n a n n ≥∈N .……………………………………………………………………………5分由于114a =也满足上式,故*1=()4n n a n ∈N .…………………………………………………………6分(2)由(1)得421n n n a b n =+=121n +.………………………………………………………………………7分所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭.………………………………………………9分数学（文科）试题A 第 2 页 共 8 页故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L ……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………………………………………………………………………………11分 69nn +=.…………………………………………………………………………………………12分18.(1)证明:连接 BD ,交 AC 于点O ,设PC 中点为F , 连接OF ,EF .因为O ,F 分别为AC ,PC 的中点, 所以OF PA ,且12OF PA =, 因为DE PA ,且12DE PA =, 所以OFDE ,且OF DE =.…………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形,所以OD EF ,即BD EF .………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥. 因为ABCD 是菱形,所以BD AC ⊥. 因为PA AC A =,所以BD ⊥平面PAC .…………………………………………………………4分因为BDEF ,所以EF ⊥平面PAC .………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ,所以平面PAC ⊥平面PCE . ………………………………………………6分 (2)解法1:因为60ABC ∠=,所以△ABC 是等边三角形,所以2AC =.………………………7分又因为PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以PA AC ⊥.所以122PAC S PA AC ∆=⨯=.……………………………………………………………………………8分 因为EF ⊥面PAC ,所以EF 是三棱锥E PAC -的高. ……………………………………………9分因为EF DO BO ===……………………………………………………………………………10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分123=⨯=.………………………………………………………………………12分 解法2:因为底面ABCD 为菱形,且︒=∠60ABC ,所以△ACD 为等边三角形.………………7分数学（文科）试题A 第 3 页 共 8 页取AD 的中点M ,连CM ,则AD CM ⊥,且3=CM .………………………………………8分 因为⊥PA 平面ABCD ,所以CM PA ⊥,又A AD PA = ,所以CM ⊥平面PADE ,所以CM 是三棱锥C PAE -的高.………………………………………9分因为122PAE S PA AD ∆=⨯=.…………………………………………………………………………10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分1233=⨯=.…………………………………………12分19.解:(1)由已知数据可得2456855x ++++==,3444545y ++++==.…………………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==……………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑.………………5分因为0.75r >,所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. …………………………………………6分 (2)记商家周总利润为Y 元,由条件可得在过去50周里:当X >70时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元. …………………………………………………………………8分 当50≤X ≤70时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元. …………………………………………………………………9分 当X<50时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,周总利润Y =3×3000=9000元. …………………………………………………………………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元,数学（文科）试题A 第 4 页 共 8 页所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元. ………………………………………………12分20. 解:(1)抛物线的准线方程为2p x =-, 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=.…………………………………………………………1分 解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.………………………………………………………………………2分 (2)解法1:设直线l 的方程为()10x my m =->.………………………………………………………3分将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=,………………………………………………4分 由()24160m ∆=->,解得1m >.……………………………………………………………………5分 设()11,A x y , ()22,B x y , ()11,D x y -,则124y y m +=, 124y y =,……………………………………………………………………………6分 因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-,………………7分 因为FA FB ⊥,所以0FA FB =.即2840m -=,又0m > ,…………………………………………………………8分所以直线l 的方程为 设AB 的中点为()00,x y , ,0013x my =-=,……………………………………………………9分 所以直线AB 的中垂线方程为因为AD 的中垂线方程为0y =,所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0.……………………………………………………………10分因为圆心()5,0到直线l 的距离为数学（文科）试题A 第 5 页 共 8 页……………………………………………………………11分所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=.…………………………………………………12分解法2:依题意可设直线()():10l y k x k =+>.……………………………………………………3分 将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2222=+-+k x k x k .………………………………………4分 由04)42(422>--=∆k k ,解得10<<k .………………………………………………………5分 设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4221221=+-=+x x k x x .…………………………………………………………………………6分 所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y , 因为12121224()18FA FB x x x x y y k⋅=-+++=-,…………………………………………………7分 因为FA FB ⊥,所以0FA FB =. 所以2480k -=,又0k > ,解得22=k .…………………………………………………………8分 以下同解法1.21.解:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞.当2b =时,()2ln f x a x x =+,所以()222a x af x x x x+'=+=.………………………………1分① 当0a >时,()0f x '>,所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增.………………………………2分 ② 当0a <时,令()0f x '=,解得x =当0x <<时,()0f x '<,所以函数()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >,()0f x '>,所以函数()fx 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.………………………3分 综上所述,当2b =,0a >时,函数()f x 在()0,+∞上单调递增；数学（文科）试题A 第 6 页 共 8 页当2b =,0a <时,函数()f x在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.………4分 (2)因为对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()e 1f x ≤-成立,所以()max e 1f x ≤-.……………………………5分 当0a b +=即a b =-时,()ln bf x b x x =-+,()()11bb b x bf x bx x x---'=+=. 令()0f x '<,得01x <<；令()0f x '>,得1x >.所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在(]1,e 上单调递增,…………………………………………7分()max f x 为1e e b f b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e b f b =-+中的较大者.…………………………………………8分设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >, 则()e e220bbg b -'=+->=,所以()g b 在()0,+∞上单调递增,故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+.………………………………………………………………………9分 所以e e 1bb -+≤-即e e 10bb --+≤.设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >,则()=e 10bb ϕ'->.…………………………………………………10分所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增.又()10ϕ=,所以e e 10bb --+≤的解为1b ≤.……………………………………………………11分因为0b >,所以b 的取值范围为(]0,1.………………………………………………………………12分22.解:(1)因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，,则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，.………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=.……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点,半径为2的圆.…………………………………………………………………4分数学（文科）试题A 第 7 页 共 8 页所以2C 的极坐标方程为24ρ=,即2ρ=.…………………………………………………………5分(2)解法1:直线l 的普通方程为100x y --=.…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==.…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时,d2-.……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时,d+………10分 解法2:直线l 的普通方程为100x y --=.…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2,且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ,…………………………7分因为225>,所以圆2C 与直线l 相离.………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ,最小值为225-=-r d .…10分23.解:(1)当1=a 时,()|1|=+f x x .…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时,原不等式可化为122x x --≤--,解得1≤-x .…………………………………2分 ②当112x -<<-时,原不等式可化为122+≤--x x ,解得1≤-x ,此时原不等式无解.……3分 ③当12x ≥-时,原不等式可化为12+≤x x ,解得1≥x .…………………………………………4分 综上可知,原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x .…………………………………………………5分(2)解法1:①当3a ≤时,()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--,数学（文科）试题A 第 8 页 共 8 页因为[2,1]-⊆A ,所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤.………………………………………………………7分②当3a >时,()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--, 因为[2,1]-⊆A ,所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥.………………………………………………………9分综上可知,a 的取值范围是(][),15,-∞+∞.………………………………………………………10分解法2:因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-,……………………………………………7分所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a .所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---.…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ,所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥.所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞.………………………………………………………………10分。