解二元一次方程组(3)
二元一次方程组的解法(3
应用举例
应用举例
2x+y 5xห้องสมุดไป่ตู้2y
x+2y+1
已知 2 = 4 =1，求 2x-3y+7的值。
{ 2x+y=2
解原方程组变形为 5x+2y=4
解得x=？y=？
练习。用加减消元法解方程组 3x+2y 2x+y x-y+1
4 =5= 6
x+y x-y
例题2，解方程组4{ （2 x++3y）=6-5（x-y）=2
二元一次方程组的解法（3）
一。诊断测试
1。解二元一次方程组的基本思路是
2。用加减法解方程组{ 2x-5y=7① 由①与②——
直接消去——
2x+3y=2②
3①。与用②加—减—法，解可方直程接组消{去46—xx-+—55y—y==—1228②① 由
3x+4y=16①
4若。要用消加去减Y法，解则方应程由组①{×5x？-6，y②=3×3②，？ 再相
3x+2y=11
ax+by=-1
{ 2ax+3by=3
练习
• 已知方程组{ 3x+2y=k 的解中x与y的和 为8，求k的值2x。+3y=k+3
若|x-y-5| 与（2x+3y-15）2是相反数， 求x，y
作业
解原方程组变形为{ 5x+y=36① -x+9y=2②
x-y x+y 1 练习，解方程组{ 7 - 10 = 2
2（x-y）-5（x+y）+11=0
例3。已知关于X，Y的方程组 {a，2axx-+b3byy的==3-1值和。{32xa+x2+y3=b1y1=3的解相同，求
8.2(3)二元一次方程组解法总结
3X-4Y=10 ① 5X+6Y=42 ② 分析：必须设法使同一未知数的系数的绝对值相等。
（1）若消Y，两个方 程未知数Y系数的绝对 值分别为4，6。只要 使它们变成12（4，6 的最小公倍数），只 要 （2）若消X，只要使 两个方程未知数X系 数变成15（3，5的最 小公倍数），只要 ①×5，②×3得： 15X-20Y=50 15X+18Y=126
∴
x=2 y = -4
答：x 的值是2，y 的值是 -4.
x=2
8.思 考 练 习 题
x = -1， x = 2， 若 和 是方程 mx + ny = 10 的两个解， y = 2， y = -2， 求 m 、n 的值.
x =-1，
5.思
考
题
-a – 2b = 1
a = -2b - 1 ③ 由②得： 把③代入①得：
②
把b = -4/7 代入③，得： a = -2b - 1 = -2×（-4/7）-1 a = 1/7 ∴ a = 1/7
-2 + 2（-2b – 1）= 3b -2 – 4b – 2 = 3b -4b – 3b = + 2 + 2 -7b = 4 b = -4/7
把m = 3/7 代入③，得： n = 1 –2m
3 1 1 2 7 7
1 n 7 3 m 7
2x + ay = 3b 2、已知 y = 2， 是关于 x、y 的方程组 ax - by = 1 的解， 求 a 、 b 的值. 2x + ay = 3b 解： 把 x = -1，y = 2 代入方程组 ax - by = 1 得： -2 + 2a = 3b ①
把③代入①得： 3（2 + y）- 2y = 6
7.2 二元一次方程组的解法(3)
解方程组
3x + 7y = 9 ① 4x - 7y = 5 ②
解： 把 ① + ②，得
(3x + 7y ) + ( 4x - 7y ) = 9 + 5 3x + 7y + 4x - 7y = 14
7x = 14
x = 2 把 x = 2 代入 ① ，得 3 ×2 + 7y = 9 6 + 7y = 9 y = 3 7 x = 2 所以 y =
{ y=2
x=-1.5
已知方程组
{ ax+by=2 与方程组{4x-5y=6
4x+3y=4
ax-by=4
的解相同，求a，b
①解方程组
{ 4x-5y=6
4x+？
②将X=？Y=？代入 ax+by=2
{
ax-by=4
③由此可求出a=？ b=？
快乐随堂练
解下面的方程
2X+5Y=12
3 7
归纳：通过以上两个例子：
将两个方程相加（或相减），
消去一个未知数， 将方程组转化为一元一次方程来解，
这种解法叫做加减消元法，
简称加减法。
解方程组{
2（2x+1）=6-5y 3（y+1）=3-4x
解原方程组变形为
{ 4x+3y=0
4x+5y=4
①
②
①－ ②得：2y=4 y=2代入①得x=-1.5
二元一次方程
一元一次方程
爱学数学 爱数学周报 再见
①
②
(3x + 5y) – (3x – 4y ) = 5 - 23
3x + 5y - 3x + 4y = - 18 9y = -18 y = -2
二元一次方程组解应用题3
二元一次方程组解应用题（分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人题中的两个相等关系：1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9=2、抽5人后到甲工厂的人数=可列方程为：（金融分配问题）小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，问10分与20分的邮票各买了多小？解；设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票题中的两个相等关系：1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数可列方程为：2、10分邮票的总价+ =全部邮票的总价可列方程为：10X+ =（做工分配问题）小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分，做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分，平均做1个小狗、1个小汽车各用多少时间？题中的两个相等关系：1、做4个小狗的时间+ =3时42分可列方程为：2、+做6个小汽车的时间=3时37分可列方程为：（行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：（倍数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系：1、现在城镇人口+ =现在全市总人口可列方程为：2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口可列方程为：（1+0.8％）x+ =（分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+可列方程为：2、萍果总数=可列方程为：（浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。
人教初中数学七下 8.2 消元 解二元一次方程组(第3课时)课件 【经典初中数学课件】
8
三、研读课文
一
元
一
知次
不
识等
式
点的
三
解 法
及
练
习
注意：当不等式的两边都乘或除以同一个负数时， 不等号的方向 改变 .归纳：解一元一次方程，要根 据等式的性质，将方程逐步化为 X=a的形式；而解
一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等
式逐步化为 x<a (或 X>a )的形式.
一
元
一
知
次 不
四、归纳小结
3、解一元一次不等式的一般步骤： ① 去分母 ② 去括号 ③ __移__项___ ④ 合__并__同__类__项__⑤ 系数化为1 .
4、学习反思___________________.
五、强化训练
1、下列式子中，属于一元一次不等式的
是（ D ）
A. 4＞3
B. C.C. 3x-2＜y+7
解得 y= 14
11
把y=
14 11
代入①得2x+ 解得y= 9
70 11
=8
11
所以方程组的解是
x
=
70 14
y= 9
11
四、归纳小结
四、归纳小结 1、加减消元法的步骤： （1）将原方程组的两个方程化为有一个未知数
的系数_相__反或相等 的两个方程； （2）把这两个方程相加或_相__减___，消去一个
4
这个不等式的解集在数轴上的表示：
5
04
四、归纳小结
1、含有 一 个未知数，未知数__次__数_是__1____的 不等式，叫做一元一次不等式.
2、解一元一次方程，要根据等式的性质，将方 程逐步化为 X=a 的形式；而解一元一次 不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐 步化为 x<a (或 X>a )的形式.
第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)
第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。
二元一次方程的三种解法例题
案例名称二元一次方程组的解法教学目标1.知识与技能：理解二元一次方程的基本概念，掌握二元一次方程的特点，识别二元一次方程组2.过程与方法：掌握解二元一次方程组的多种方法，学会利用二元一次方程的知识去解决实际生活之中的相关问题3.情感态度与价值观：养成多维思考和解决问题的习惯，形成多方面对事物进行考虑的观念教学重点能够针对现实问题列出方程组表达两种相关量的等量关系教学难点能够通过多种解题方式对二元一次方程组进行计算教学过程在学生学习二元一次方程之前，教师首先可以带领学生对一元一次方程进行复习，让学生在回顾以往知识的过程之中能够潜移默化地形成解未知数这一观念。
然后，我们再为学生提供几个二元一次方程，如3x+2y=5、4x-2y=1等等，要求学生在对二元一次方程的示例进行观察的过程之中对一元一次方程和二元一次方程之间的区别进行探究总结，从而在对二元一次方程进行学习的最初阶段形成最基本的认识，即二元一次方程具有无数个解、表达式中有两个未知数。
之后，我们再为学生提供几个简单的二元一次方程组，要求学生在小组中通过合作进行计算，以此让学生在探究之中掌握二元一次方程组的解题方法。
1.代入法在对学生进行代入法的教学中，教师可以为学生提供较为简单的方程组，促使学生在对方程组进行仔细观察的过程中通过探究解得正确答案。
比如我为学生提供的方程组为x+2y=7、x+y=4，我们可以引导学生通过对两个式子之中的x进行表达来获得答案，此时学生能够通过探究得出7-2y=4-y，并根据一元一次方程的解法得出y=3，代入x+y=4中可以得到x=1，从而得出答案。
在学生初步掌握了代入法解二元一次方程组的“精髓”时，教师需要为学生提供一些练习，让学生拥有实践运用的机会，以此来加深学生对于代入法的认识与掌握。
值得注意的是，学生此时对于二元一次方程组代入解法的认识基本上是“将其中一个未知数表示出来，再利用一元一次方程的解法进行计算”。
因此，教师在为学生提供方程组的过程中最好选择某一未知数的系数为1，这样能够有效促进学生的理解。
《消元—解二元一次方程组》第3课时参考教案
8.2 消元—解二元一次方程组（3）【教学目标】知识与技能：掌握用加减法解二元一次方程组.过程与方法：使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.情感态度与价值观：体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.【教学重难点】教学重点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组.教学难点：用“加减法“解二元一次方程组.教具准备：小黑板教法：引导-讲授学法：探究课时：第3课时课型：新授课授课时间：【教学过程】一、创设情境王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．二、探究新知1.解方程组 ⎩⎨⎧=--=+752132y x y x （由学生自主探究，并给出不同的解法）解法一：由①得：x=231y --y 代人方程②，消去x.解法二：把2x 看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：问题1.观察上述方程组，未知数z 的系数有什么点？（相等）问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x ，得到一个一元一次方程． 解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1Y=－1代人①或②，得到x=1所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==11y x 2.变式一 ⎩⎨⎧=--=+-752132y x y x 问题1.观察上述方程组，未知数x 的系数有什么特点？（互为相反数） 问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x ，得到一个一元一次方程．）从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.3.变式二：⎩⎨⎧=-=+752134y x y x 观察：本例可以用加减消元法来做吗？启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x 的系数成整数倍数关系．因此：②×2，得4x －10y=14③由①－③即可消去x ，从而使问题得解．（追问：③－①可以吗？怎样更好？）4.变式三：⎩⎨⎧=--=+-753132y x y x想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？分析得出解题方法：解法1：通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．解法2：通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．怎样更好呢？通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．归纳：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．三、巩固新知完成教科书第97页练习四、课堂小结回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？五、布置作业必做题：习题8.2第3题选做题：习题8.2第6题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10.3 解二元一次方程组（3）
学习目标：会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点灵活选用适当的方法。
课前预习：
按要求解下列方程组． （代入法） （加减法）
学习过程：
一、展示交流： 二、合作探究：
1．解方程组：3(2)4(2)872(3)3()82x y x y x y x y -+-=⎧⎨---=⎩ 2．解方程组：171163
111721x y x y +=⎧⎨+=⎩
3．已知关于x ，y 的方程组2101x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组6
25bx ay x y +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求出
这个解及a ，b 的值。
23(1)21x y x y -=⎧⎨+=-⎩231(2)325x y x y -=-⎧⎨+=⎩
三、质疑反馈：
1、解下列方程组：
（1）
524
27
x y
y x
+=
⎧
⎨
=-
⎩
（2）
235
280
x y
x y
-=
⎧
⎨
++=
⎩
（3）
43
871
x y
x y
-=-
⎧
⎨
-=
⎩
（4）
6
23
4()5()2
x y x y
x y x y
+-
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+--=
⎩
（5）
331783
173367
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（6）
23
2
35
x y x y
++
==
课后作业：
1．已知满足二元一次方程组2320
5x y y x +=-⎧⎨=-⎩的x 的值是x=-1，应把x=-1代入
方程______，• 求出y=_______，得方程组的解为________．
2．方程组2352715x y x y +=⎧⎨-=-⎩中x 的系数特点是________；方程组357
6511x y x y -=⎧⎨+=⎩中y
的系数特点是_______；•这两个方程组用______法解较简便．
3．方程组3210______,
526______.y x x y x y +==⎧⎧⎨⎨
+==⎩⎩的解是 4．用适当的方法解下列方程组．
528(1)7640x y x y -=-⎧⎨
-=⎩ 1
(4)2362(1)3()6
x y x x y ⎧+=
⎪⎨⎪-+-=⎩
（3）4()5()33()2()8x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩
（4）2
230.20.3 2.8
m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
5．已知方程组
53
54
x y
ax y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
与
25
51
x y
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
有相同的解，求a，b的值。
6、解关于x，y的方程组
2
78
ax by
cx y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，甲正确地解出
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，乙因把c抄错
了，解得
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，求a，b，c的值。