比例线段及有关定理ppt
比例及平行线分线段成比例定理
一、比例1、比例的基本性质：1),a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4)a c a b c d b d b d ++=⇔=(合比定理);5)a c a b c d b d b d --=⇔=(分比定理);6)a c a b c d b d a b c d ++=⇔=--(合分比定理);7)(0)a c m a c m a b d n bdn b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).2、比例中项：若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A二、平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容 难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡板块一、比例的基本性质【例1】 已知：a c b d=，求证：ab cd +是2222a cb d ++和的比例中项。
【例2】 已知：234x y z==。
求33x y z x y-+-. 【例3】 设14a c e b d f ===，则a c e b d f+-=+-_______板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
比例性质与平行线分线段成比例定理PPT讲稿
图6-1-3
【解析】根据两点之间最短， 只需求出AD的长，分别延长AD、 BC相交于E点，由CD∥AB得CD/AB=CE/BE 2/8=CE/(CE+8) CE=8/3. 根据勾股定理得DE=10/3，AE=40/3 AD=10
米.即小鸟至少飞了10米.
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，P是BC上一点， PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P 点在BC边上移动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值， 并说明理由.
cm.
3
➢ 课时训练
3.(2004·贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯光
下
()
A.小明的影子比小强的影子长
D
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
➢ 课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,
E、F分别是AB、CD的中点，EF
五、中考要求
(1)会利用比例性质求比例中项、第四比例项 及代数式的值.
(2)会求比例尺.
(3)能灵活运用平行线分线段成比例定理及推论 证明线段成比例，并会利用推论的逆定理证明 两直线平行.
➢ 课前热身
1．(2003·南京市)在比例尺是1∶38000的南京交通游
览图上，玄武湖隧道长约7cm它的实际长度约为 ( )
➢ 课时训练
6.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项 c= cm. 6
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3，AE交BD于点F，
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
比例线段和平行线分线段成比例定理
2. 相似三角形的性质：
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
解：1Q b是a、c的比例中项，a : b c : d
b2 ac，b ac 4 9 6 (2)Q MN是线段 MN 0 Q 线段MN是AB,CD的比例中项， AB : MN MN : CD
MN 2 AB CD, MN AB CD 4 5 2 5cm
A
B
C
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC k,
A1B1 B1C1
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
你能证明吗？
B1
C1
知识要点
H
√ 判定三角形相似的定理之四 L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
用平行线判定三角形相似 （判定三角形相似的预备定理）
如图，D、E、F分别是ABC的边AB、AC、BC上
的点，且DE∥BC，EF∥AB。
A
求证：ADE∽EFC.
D
E
B
F
C
相似三角形具有传递性， 另外还有反身性，对称性。
如图，已知平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点,
比例性质和平行线分线段成比例定理
图6-1-3
【例3】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD=3，P是BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F， 设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P点在BC边上移 动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若 不变，求出x的值，并说明理由.
EF (3) AB
AB AD (2) = BC BF AE CE (4) = CF BF
DE = BC
其中正确的比例式的个数是( B ) A．4个 B.3个 C. 2个 D.1个
4.如图6-1-2，若
AB ( DE ) AM ( DM )
，则 l]∥l2
图6-1-2
x y z ≠0，那么 x y z = = 【例1】如果 x yz 2 3 4 的值是( C )
课时训练
3.(2004· 贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强 的影子长，那么在同一路灯光下 ( D) A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长
课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC, E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于G、H，设 BC-AD=m,则GH的长为 ( D ) A.2m B.m C.2m/3 D.m/2
课时训练
1.(2004· 北京市)如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点， 作EF//BC交AC于点F。如果EF=4,那么CD的长为( D ) A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2004· 陕西省)如图，在平行 四边形ABCD中，AB=4cm,AD= 7cm,∠ABC的平分线交AD于点E， 交CD的延长线于点F，则DF= 3 cm.
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
九年级数学平行线分线段成比例课件
L1//L2//L3
AB BC
=
DE EF
A B
C
D E
L1
L2
F L3
(平行线分线段成比例定理)
! 注意:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
基本图形：“8”字形
(1) AB DB BC BF
ab
A
D
l1
B
（E） l2
(2) AB DB
AC DF
C
F
l3
(3) BC BF AC DF
D=E1∥8BC，,D
AE = 10，
求：AD的长。
B
(B组)
A
2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。
求证：—AECC— ＝ —BDC—C
E C
C
D
E
课堂小结，归纳提炼
1、平行线分线段成比例定理，三 条平行线截两条直线所得的对应 线段 成比例。
2、定理的形象记忆法。
3、定理的变式图形。
平行于三角形一边的直线与其
他两边相交，截得的对应线段
成比例
数学符号语言
DE //BC
AD AB
AE =AC
B
D
A
E
C
思考：
平行于三角形ห้องสมุดไป่ตู้边的直线 E
截其他两边的延长线，所 A
得的对应线段成比例。成
立吗？ 推论的数学符号语言：
B
∵ DE∥BC
∴ —AA—DB ＝ —AA—CE
D C
例：如图：在△ABC中E,F分别是AB和CD上的两点且
4、定理的初步应用。
自己活着，就是为了使别人过得更美好。
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黄金比例何谓其“黄金”
一个健壮中年男子， 两臂微斜上举，两腿叉开， 以他的头、足和手指各为端 点，正好外接一个圆形。同 时在画中清楚可见叠着另一 幅图像：男子两臂平伸站立， 以他的头、足和手指各为端 点，正好外接一个正方形。 这就是名画《维特鲁威人》， 出自文艺复兴艺术巨匠达芬 奇之手。
地图上2爬550的00，=其5实010只0爬. 了5cm而已。求比例尺比例尺为1：5000.
一、What is it
2 四条线段成比例：
(1) 定义： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外
两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段. 如 a=9cm, b=6cm, c=6cm, d=4cm.
一、What is it
1 两条线段的比：
(1) 定义：
同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，那么就写
成
a:b= m:n 或 a = m.
bn
(2)前项、后项：
a叫比的前项，b叫比的后项.
前后项交如换，a 比= 值3，要则交换b.= 2 .
b2 a3
(3)比例尺：
一只蜗牛在1分钟里爬过了250m，怎么会这样呢，因为它是在
一条线段有两个黄金分割点
A
C
B
黄金比例何谓其“黄金”
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过 铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，他发现铁匠打铁节 奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达 出来。开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。
计算黄金分割最简单的方法，是计算 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13， 21，……第二位起相邻q a、r … 、 as
从 a1 到 an中任取
一、What is it
(4)黄金分割：
点C把线段AB分成两条线段AC和
BC,如果
AC BC AB AC
,那么称线段
AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与
AB的比叫黄金比。
其值为 5 1
2
，近似为0.618
在艺术创作中，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大 多在画面的0.618处。黄金矩形的长宽之比为黄金分割率。黄金分 割率和黄金矩形能够给画面带来美感， 《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎 的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。 艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔 和甜美。
B
F
A
一、What is it
※黄金三角形 什么是黄金三角形？ 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长 度比为黄金比
？
证明：角平分线定理
二、平行线分线段成比例定理
1 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
黄金比例何谓其“黄金”
一个很能说明问题的例子是五角星。五 角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还 有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因 为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关 系都是符合黄金分割比的。
多虽么然美完丽全的无图法形理啊解！
黄金比例何谓其“黄金”
这个数字在自然界和人们生活中到处可见： 它在造型艺术但中这具就有是美人学们价的值审，美在方工式艺…美…术…和…日用品 的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感。
bd
ab cd
一、What is it
(3) 等比性质：
如 a = c = L = m (b+ d+ L + n ? 0), 则 a+c+L +m a .
bd
n
b+d+L +n b
推广：
如果
a1 b1
a2 b2
ab33qie ，不 过abnn是个，k纸则老虎
m1ap m2aq m3ar ml as a1 k m1bp m2bq m3br mlbs b1
从图中看到 从人体中能 找到三角形、四边形、五 边形、等边三角形、圆 形
“永远吃不完”的巧克力
一块成黄金比例的巧克力经过多次黄金分割 和位移得到一个等比例的黄金比例图形。这块小的 巧克力再进行分割，无穷无尽啊。
咋会这样？障眼法么？
一、What is it
※如何用尺规作出黄金分割点： （1）作出线段BA的中点C （2）过A作线段BA的垂线，在垂线上截取线段AD，使 AD=AC （3）联结BD，在BD上截取DE=DA，在线段AB上截取 BF=BE，则点F为线段BA的黄金分割点
黄金比例何谓其“黄金”
黄金分割与人的关系相当密切。地球表面 的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则 34.38°—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平 均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面 都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这 一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。
人体美学观察受到种族、社会、个人各方 面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的 辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得 上一种完整的美。
3 比例的性质：
(1) 比例的基本性质：
a : b=c : d ad=bc.
a : b=b : c b2=ac.
(2)合比性质、分比性质：
如a = c，则 a+b = c+d . 类似地还有a - b = c- d .
bd
bd
b
d
合分比定理：
， 如果 a c
则 a b c d (b 0, d 0, a b 0,c d 0)
建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分 割，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者 是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数 据。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果 从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金 分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种 0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少 的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。。
Qa = 3, c = 3, \ a = c.
b 2d 2
bd
则a, b, c, d叫作成比例线段.
(2)名称：
在比例线段a : b=c : d中，a、d叫作比例的外项， b、c叫比例的内项, d叫第四比例项.
若比例内项相同，即a : b=b : d，则b叫a、d的 比例中项.
一、What is it