相交线,垂线知识讲解
解密数学认识相交线与垂线的关系
解密数学认识相交线与垂线的关系相交线与垂线在数学中是两个常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
通过深入理解相交线与垂线的性质和特点，我们可以更好地应用它们于解决数学问题。
本文将探讨相交线与垂线的关系，并探讨它们在几何学和代数学中的应用。
一、相交线与垂线的概念及性质1. 相交线的定义相交线是指在平面上交叉的两条或多条直线。
相交线的交点称为交点。
当两条直线相交于一点时，这两条直线称为相交于该点。
2. 垂线的定义垂线是指与其他线段或直线相交成90度角的线段或直线。
垂线的性质是其与被垂线所交的线段或直线是垂直的。
3. 相交线与垂线的关系相交线与垂线的关系是指当两条相交线至少有一条是垂直于另一条时，这两条直线就存在着垂直关系。
二、相交线与垂线的应用1. 相交线与垂线在几何学中的应用在几何学中，相交线与垂线常常用于求解图形的性质和证明定理。
以垂线的性质为例，通过垂线的作图方法可以证明两条直线平行、垂直或者过一点的性质。
同时，在求解三角形的内切圆、外接圆和垂心时，也需要运用到相交线与垂线的概念。
2. 相交线与垂线在代数学中的应用在代数学中，相交线与垂线也有着广泛的应用。
例如，在平面直角坐标系中，两条直线的斜率乘积为-1时，可以推断这两条直线是互相垂直的。
此外，通过解线性方程组时，相交线与垂线的关系也被用于求解方程的解集。
三、相交线与垂线的实际应用除了在数学理论中的应用，相交线与垂线的概念也有着实际生活中的应用。
在建筑设计中，如何使得墙壁垂直、水平或者平行是非常重要的。
通过运用相交线与垂线的知识，建筑师可以确保建筑物的结构坚固稳定。
此外，在GPS导航系统中，相交线与垂线的概念也被用于求解车辆与道路的交点，从而确定车辆的行进方向。
总结：相交线与垂线是数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
通过深入理解相交线与垂线的性质和特点，可以更好地应用于解决数学问题。
相交线与垂线在几何学和代数学中有着广泛的应用，对于证明定理、解决方程和求解几何问题都起到了重要的作用。
平面几何中的相交线与垂直线
平面几何中的相交线与垂直线相交线和垂直线是平面几何中常见的概念，它们在几何图形的性质和推导中起着重要的作用。
本文将分析相交线和垂直线的定义、性质以及相关的定理，帮助读者更好地理解和应用于解题中。
1. 相交线相交线是指在平面上两条直线（或线段）共同的交点。
根据相交线的性质，我们可以得出如下的结论：（1）两条相交线的交点只有一个。
（2）交点将两条相交线分成四个角。
（3）相交线上的点可以在两条线的内部或外部。
在平面几何中，相交线经常与平行线共同出现，从而形成各种角度关系和几何形状。
例如，当两条直线相交于一点时，形成的两个角称为相邻角或补角，它们之和为180度；当两条直线相交时，形成的两组相对角度相等，称为对顶角。
2. 垂直线垂直线是指与另一条线段或直线呈直角的直线。
垂直线与水平线是垂直的关系，它们的交点形成了直角。
垂直线的特点如下：（1）垂直线和直线的交点形成90度的角度。
（2）垂直线之间的角度差为180度。
在平面几何中，垂直线的概念与正交、直角等有关，常常用于判断和推导各种几何性质。
例如，在矩形中，对角线相交于一个点，并且互相垂直。
3. 相交线与垂直线的关系相交线和垂直线在平面几何中相互交织，它们之间存在以下关系：（1）两条相交线所形成的角度可能是垂直的，也可能不是垂直的。
只有当两条直线互相垂直时，它们所形成的角度为90度。
（2）有时，两条相交线会形成一对垂直线段。
这表明两条线段之间的交点将线段分成垂直的两部分。
（3）相交线与垂直线的组合可以应用于解决平面几何中的各种问题，例如角度求解、图形分类等等。
在解题过程中，我们可以利用相交线和垂直线的性质，应用相关的定理来推导各种几何形状和角度关系。
例如，在证明两条直线垂直时，可以根据垂直线的性质，推导出两个对应角度相等或互补。
总结起来，相交线和垂直线是平面几何中重要的概念，它们在求解几何问题和理解图形性质中发挥了关键作用。
通过深入学习和掌握相交线和垂直线的定义、性质以及相关的定理，我们能够更好地理解和应用几何知识，提高解题能力。
相交与垂直的知识点
相交与垂直的知识点相交与垂直是几何学中常见的概念，它们描述了图形之间的关系和性质。
相交与垂直的概念对于解决几何问题和理解空间关系非常重要。
本文将详细介绍相交和垂直的定义、性质以及应用。
一、相交的定义与性质相交是指两个或多个线、线段、射线、直线或曲线在一个点或一条线上相遇的情况。
相交的概念是几何学中最基本的概念之一。
1. 直线相交：当两条直线交于一个点时，它们被称为相交直线。
相交直线的性质包括：相交直线上的点是两条直线的公共点；相交直线上的点将两条直线分成两个相邻的角，这两个角被称为相邻角。
2. 平行线相交：当两条平行线被一条直线截断时，它们被称为相交平行线。
相交平行线的性质包括：两条相交平行线的交点与这两条平行线上的任意一点连线，这条连线既垂直于这两条平行线，也垂直于它们的公共垂线。
3. 线段相交：当两个线段有公共点时，它们被称为相交线段。
相交线段的性质包括：如果两个线段相交，那么它们的交点是两个线段的公共点。
4. 射线相交：当两个射线有公共点时，它们被称为相交射线。
相交射线的性质包括：如果两个射线相交，那么它们的交点是两个射线的公共点。
二、垂直的定义与性质垂直是指两条直线、线段、射线或曲线在一个点上相交，并且交角为90度。
垂直的概念是几何学中常见的关系之一。
1. 垂直直线：当两条直线相交且交角为90度时，它们被称为垂直直线。
垂直直线的性质包括：垂直直线上的点将两条直线分成两组相等的相邻角，这两组相邻角互补。
2. 垂直线段：当两个线段相交且交角为90度时，它们被称为垂直线段。
垂直线段的性质包括：垂直线段的交点是两个线段的公共点，垂直线段的长度相等。
3. 垂直射线：当两个射线相交且交角为90度时，它们被称为垂直射线。
垂直射线的性质包括：垂直射线的交点是两个射线的公共点，垂直射线的角度相等。
三、相交与垂直的应用相交与垂直的概念在几何学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 建筑设计中的垂直：在建筑设计中，垂直是指墙壁与地面垂直相交。
相交线,垂线知识讲解
相交线,垂线(基础)知识讲解撰稿:孙景艳审稿: 赵炜【学习目标】1、了解两直线相交所成的角的位置与大小关系,理解邻补角与对顶角概念,掌握对顶角的性质;2、理解垂直作为两条直线相交的特殊情形,掌握垂直的定义及性质;3、理解点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离;4、能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质,进行简单的计算、【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释:(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指的就是位置相邻,“补”指的就是两个角的与为180°.(2)邻补角就是成对出现的,而且就是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件:①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线、2、对顶角及性质:(1)定义:由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.(2)性质:对顶角相等.要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件:①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边就是另一角两边的反向延长线、3角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角;②有一个公共顶点;③没有公共边、对顶角相等、①都就是两条直线相交而成的角;②都有一个公共顶点;③都就是成对出现的、①有无公共边;②两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对、邻补角①两条直线相交而成;②有一个公共顶点;③有一条公共边、邻补角互补、【高清课堂:相交线两条直线垂直】要点二、垂线1.垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.要点诠释:(1)记法:直线a 与b 垂直,记作:a b ⊥;直线AB 与CD 垂直于点O,记作:AB⊥CD 于点O 、(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:90AOC ∠=°垐垐?噲垐?判定性质CD ⊥AB. 2.垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法就是使直角三角板的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释:(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的就是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短. 要点诠释:(1)性质(1)成立的前提就是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性与唯一性.(2)性质(2)就是“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点与直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.要点诠释:（1） 点到直线的距离就是垂线段的长度,就是一个数量,不能说垂线段就是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,M、N就是直线AB上两点,∠1＝∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4就是对顶角不? ∠1与∠5,∠3与∠6就是邻补角不？【答案与解析】解:∠1与∠2,∠3与∠4都不就是对顶角.∠1与∠5,∠3与∠6也都不就是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角就是对顶角、 ( )(2)如果两个角相等,那么这两个角就是对顶角、( )(3)有一条公共边的两个角就是邻补角、 ( )(4)如果两个角就是邻补角,那么它们一定互补、 ( )(5)有一条公共边与公共顶点,且互为补角的两个角就是邻补角、( )【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×,反例:∠AOC为120°,射线OB为∠AOC的角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不就是邻补角、2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1＝65°,求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解:∵∠1就是∠2的邻补角,∠1＝65°,∴∠2＝180°－65°＝115°.又∵∠1与∠3就是对顶角,∠2与∠4就是对顶角∴∠3＝∠1＝65°, ∠4＝∠2＝115°.【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出∠2后用“对顶角相等”,求∠3与∠4.举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知∠l与∠2的度数之比为3:2,求∠1与∠2的度数.【答案】解:设∠1与∠2的度数分别为3x与2x.根据题意,得3x+2x＝180°.解这个方程得x＝36°,所以3x＝108°,2x＝72°.答:这两个角的度数分别就是108°,72°.3、任意画两条相交的直线,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们的位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角的两边互为反向延长线.这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1＝∠3,∠2＝∠4,∠1+∠2＝180°,∠3+∠4＝180°,∠1+∠4＝180°,∠2+∠3＝180°.在位置上∠1与∠3,∠2与∠4就是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3就是邻补角.【总结升华】两条相交的直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4.下列语句中,正确的有()①一条直线的垂线只有一条;②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两直线相交,则交点叫垂足;④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都就是直角.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】正确的就是:②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质、举一反三:【变式1】直线l外有一点P,则点P到直线l的距离就是( )、A.点P到直线l的垂线的长度、B.点P到直线l的垂线段、C.点P到直线l的垂线段的长度、D.点P到直线l的垂线、【答案】C5、 (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠C OE＝55°.则∠BOD的度数为()、A.40°B.45°C.30°D.35°【答案】D【解析】要求∠BOD,只要求出其对顶角∠AOC的度数即可.为此要寻找∠AOC与∠COE的数量关系.因为EO⊥AB,所以∠AOE＝90°,所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°,所以∠BOD＝AOC＝35°.【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质、【高清课堂:相交线403101经典例题3】举一反三:【变式】如图, 直线AB与CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______、【答案】130°.6、如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.【答案与解析】解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因就是从直线外一点到直线上所有各点的连线中,垂线段最短.【总结升华】“如何开沟、使沟最短”,实质上就是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就就是最熟悉的垂线的性质的应用.举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条? 【答案】解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.。
第1节课——相交线的概念以及垂线的定义
教学重点
1.邻补角、对顶角的概念,及其性质与应用.； 2.垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用（垂 线段最短的应用）.
教学难点
1.理解等角或同角的对顶角相等的性质； 2.垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的理解.
教学过程
一、课堂导入(3 分钟)
1.回忆生活中常见的相交线，比如剪刀，交叉的两根筷子，英国国旗等两条或多 条相交的直线所组成的图形，从而引出本节课的主要图形——两条相交的直线。
五、课堂练习（30分钟）
1.下列说法中，正确的是（
）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B、P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则 点P到l的距离一定是1 C、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角
【答案】D 【解析】 根据角平分线的定义及点到直线的距离的概念及对顶角的概念等定义 分析．A、一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分 线． 故此选项错误； B、 P是直线l外一点， A， B， C分别是l上的三点， 已知PA=1， PB=2，PC=3，则点P到l的距离不大于1．故此选项错误； C、相等的角不一定
例题精讲（10 分钟）
【例题 1】 如图， 直线 AB， CD 相交于点 O， 射线 OM 平分∠AOC， ON⊥OM， 若∠AOM=35° ，则∠CON 的度数为（ ）
A． 35° 【答案】 C
B． 45°
C． 55°
D． 65°
【解析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35° ，得出∠MOC=35° ，由ON⊥OM， 得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案． ∵射线OM平分∠AOC， ∠AOM=35° ， ∴∠MOC=35°， ∵ON⊥OM ， ∴∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON ﹣
相交与垂直 知识点总结
相交与垂直知识点总结一、相交的概念相交是指两条线段、两条直线或者一个线段和一个直线在空间中相互交叉或者相互穿过的关系。
在几何学中，我们通常将相交分为两种情况：相交和无公共点交。
1.相交两条线段或两条直线在空间中有一个或多个交点时，我们称它们相交。
比如两条相交的直线在所在平面上有一个交点，两条相交的线段在空间中也会有一个交点。
2.无公共点交当两条线段或两条直线在空间中没有任何交点时，我们称它们为无公共点交。
比如两条在不同平面上的直线，它们在三维空间中是不会相交的。
相交的概念是描述线段和直线之间的关系的基础，它在几何证明和问题求解中都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断不同线段或者直线之间是否相交，来进行相关的计算和推导。
二、相交的性质1.相交线段的性质相交线段的性质是指两个线段在空间中相互交叉的一些特点和规律。
其中最重要的性质是相交线段的交点只能是线段本身或者线段的延长线上的点。
这个性质在几何证明和问题求解中经常被用到。
2.相交直线的性质相交直线的性质是指两个直线在同一平面内相互交叉的一些规律。
在同一平面内的两条相交直线必然会有一个交点，而且相交直线之间的夹角不一定相等。
这些性质对于相关定理的证明和问题求解都有着重要的作用。
三、垂直的概念垂直是指两条线段或两条直线在空间中互相垂直交叉的关系。
在几何学中，垂直通常是用来描述两条直线或者线段之间的特殊关系，而这个关系在许多几何定理和问题中都有着重要的作用。
1.垂直线段两条线段如果相互垂直交叉，我们就称它们为垂直线段。
垂直线段之间的夹角通常为90度，而且它们所在的直线也是相互垂直交叉的。
2.垂直直线两条直线如果相互垂直交叉，我们就称它们为垂直直线。
垂直直线之间的夹角也通常为90度，而且它们在同一平面内相互交叉。
垂直是一种特殊的相交关系，在几何学中有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断不同直线或者线段之间是否垂直，来进行相关的计算和推导。
相交线,垂线(基础)知识点及典型例题举一反三讲解,总结升华
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定AOC90CD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
小学数学易考知识点平行线垂直线和相交线
小学数学易考知识点平行线垂直线和相交线小学数学易考知识点：平行线、垂直线和相交线在小学数学中，平行线、垂直线和相交线是一些重要且易于考察的知识点。
掌握这些概念对于理解几何形状、解题和日常生活都具有重要意义。
本文将详细介绍平行线、垂直线和相交线的定义、性质和应用。
一、平行线平行线指两条直线在平面上永不相交的线。
在平行线的概念中，有几个重要的关键术语：1.1 定义当两条直线在平面上无交点，且它们的方向相等或相反时，我们称这两条直线为平行线。
1.2 性质平行线的性质包括以下几个方面：- 平行线之间的距离始终保持相等。
- 平行线与平面上其他直线的交点之间的夹角相等。
1.3 应用平行线的应用广泛，特别是在解题时。
例如，当我们利用平行线的性质来求解已知线段之间的关系、图形的对称性等问题时，平行线的概念就会发挥重要作用。
二、垂直线垂直线指两条直线在平面上相交，且交角为直角的线。
垂直线的理解需要掌握以下几个关键点：2.1 定义当两条直线在平面上相交，且交角为90度（直角）时，我们称这两条直线为垂直线。
2.2 性质垂直线的性质包括以下几个方面：- 垂直线之间的夹角始终为90度。
- 垂直线与平面上其他直线的交点之间的夹角为直角。
2.3 应用垂直线在几何学中有广泛的应用。
例如，在研究四边形的性质时，垂直线的存在可以帮助我们判断是否为长方形或正方形等。
三、相交线相交线指两条直线在平面上交于一点的线。
相交线的概念和特点如下：3.1 定义当两条直线在平面上交于一点时，我们称这两条直线为相交线。
交点即为相交线的共同点。
3.2 性质相交线的性质包括以下几个方面：- 相交线的交点只有一个。
- 相交线之间的夹角可以是任意大小。
3.3 应用相交线的应用也很广泛，比如在解析几何中，我们可以通过相交线的交点坐标来求解方程组，进而得到几何形状的特定属性。
结语平行线、垂直线和相交线是小学数学中较为简单且重要的知识点。
掌握这些知识点对于解题、理解几何形状和日常生活中的空间关系都有帮助。
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相交线，垂线(提高)知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位巻和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质：2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的左义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到宜线的距离：4.能依据对顶角、邻补角及垂直的槪念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的列一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释：⑴邻补角的泄义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，"补”指的是两个角的和为180° .(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一泄互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点：②有一条公共边；另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.(2)性质：对顶角相等.要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角：②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.【高清课堂：相交线403101两条直线垂直】知识点二、垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，苴中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.要点诠释：(1)记法：直线&与b垂直，记作：丄b：直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的泄义具有二重性，既可以作垂直的判泄，又可以作垂直的性质，即有：ZAOC = 90°壬〕尼三CD丄AB.性质2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点, 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在宜线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过宜线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质：(1)在同一平而内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条宜线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离：(2)求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后讣算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一.邻补角与对顶角歛.如图所示，AB柯CD柑交于点。
，OM^ZAOCON^ZBOO.试说讪和ON成一条直线。
【答案与解析】解：••• 0M平分ZAOC, ON平分ZBOD （已知），••• ZAOC=2ZAOM, ZBOD=2ZBON （角平分线定义）。
VZAOC=ZBOD （对顶角相等），A ZAOM=ZBON （等量代换）。
VZAON+ZBON=180°（邻补角定义），A ZMON=ZAON+ZAOM=180°（等量代换），••• OM 和ON共线。
【总结升华】要得出0M和ON成一条直线，就要说明ZMON是平角，从图中可以看出Z AON 是ZMON和平角ZAOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即ZAOM 和ZBON 相等，本题得证。
.如图所示，已知宜线AB、CD相交于点O, OE平分ZBOD, OF平分ZCOE, Z2: Zl=4:l,求ZAOF.【答案与解析】解：设Zl=x,则Z2=4x・••• OE 平分ZBOD, ••• ZBOD=2Z 1 =2x.V Z2+ZBOD=180° ,即4x+2x=180° , Z. x=30°・V ZDOE+ZCOE=180° , :. ZCOE=150°・又I OF 平分ZCOE, ••• ZCOF=-ZCOE=75°・V ZAOC=ZBOD=60° , :. ZAOF= ZAOC+ZCOF=60° +75° =135°・【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b=m:n,在解题时设« = nix, b = nx ,这是常用的用方程思想解题的方法.举一反三：2【变式】已知。
的补角是一个锐角，有3人在计算二a时的答案分别是32°、87° . 58。
，其中只有一个答案是正确的，求&的度数.【答案】解法1: •・• a的补角是一个锐角，••• 是一个钝角，即90° <a <180° ,•••36°<-^<72°.5由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58° ,2 可知±« = 58°.•••& = 145°・解法2：由题意可知&是一个钝角，即90°<a<180°.2如果fa = 32°,那么tz = 80\ 不满足90°<a<180°：2 如果-a = 87°,那么a = 217.5°,不满足90°<a<180°：2如果fa = 58。
，那么a = 145°,满足90°<tz<180°,所以此人计算的答案正确.所以a = 145°.【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的a的度数，再验证是否正确.P 3. （1）如图（1）,已知直线緘b相交于点O,则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？（2）如图（2）,已知直线a、b、c、d是经过点0的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）？几对邻补角？图（1）图（2）【答案打解析】解：（1） 2对对顶角，4对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：通过观察图形.不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，对顶角的对数：2x6 = 12 （对）；邻补角的对数：4x6 = 24（对）答：图中共有12对对顶角，24对邻补角【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交・这样移动，可将抽象的问题直观化.因为n条直线两两相交，最多有巴匸12个交点.每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n（n-l）对对顶角，2n（n-l）对邻补角。
举一反三：【变式】若有180条直线相交于一点，则可形成_______ 对对顶角（不含平角）.【答案】32220类型二、垂线^^4.下列语句：①两条宜线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条宜线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是____________________ o【答案】®@【筛析】解此题必须严格按照垂线的左义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平而内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作：对于③只有在“同一平而内”才成立，因为空间内，当这点在宜线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误：④错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】应用垂线的左义及垂线的性质时要把握英中的本质要求：①关于垂线的左义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；②关于垂线的性质：平而内，过任意一点有且仅有一条直线与已知宜线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的"存在性”和“唯一性”，尤苴值得注意的是性质中的"任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的, 是因为（）A.经过两点有且只有一条直线B.两点之问的所有连线中，线段最短C.在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直.D.在同一平而内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质如图，直线AB与CD相交于点0, 0E丄CD, OF丄AB, ZD0F=65° ,求ZB0E与Z AOC 的度数。
【答案与解析】解：TOF丄AB, 0E丄CD(已知)AZB0F=ZD0E=90°(垂直立义)A ZBOD= ZBOF- ZD0F=90° -65° =25°A ZBOE= ZDOE- ZB0D=90° -25° =65°。
••• ZAOC= ZAOB- ZBOE-ZCOE= 180° -65° -90° =25° .【总结升华】利用垂直的泄义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小。
【高清课堂：相交线403101 例4变式(1)]举一反三：【变式】如图，若0M平分ZA0B,且0M丄0N,求证：0N平分ZB0C.【答案】解：如图,TOM 平分ZAOB AZ1=Z2又•••0H 丄ON AZ3=90° -Z2由图可得：Z4=180° -2Z2-Z3=180° -2Z2 一(90° -Z2)二90°— Z2AZ3=Z4••• ON 平分ZBOCaW6•如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄.•N(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹).(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？(分别用文字表述你的结论, 不必说明)【答案与解析】解：⑴过点M作MP丄AB,垂足为P,过点N作NQ丄AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两点，如图所示.(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上, 离村庄M越来越远，离村庄N越来越近.【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法.举一反三：【变式1】如图所示，过A点作AD丄BC,垂足为D点.【答案】解：如图所示【变式2】点P为直线/外一点：点A. B、C为直线/上三点，PA=4cm, PB=5 cm, PC =2 cm,则点P到直线/的距离是()A. 2 cm B・4 cm C・5 cm D・不超过2 cm【答案】D。