浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

浙江省宁波市镇海中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()C U A B =()A ．{}12x x <<B ．{}12x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}011x <≤2．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()f x =与()g x =B ．()f x =()g x =C ．2()lg f x x =与()2lg g x x = D ．0()f x x =与01()g x x=4．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<5．关于函数()2145f x x x =++的说法，正确的是()A ．()f x 最小值为1B ．()f x 的图象不具备对称性C ．()f x 在[]2,-+∞上单调递增D ．对x ∀∈R ，()1f x ≤6．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为( ) A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．设a 为实数，若函数()22f x x x a =-+有零点，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦零点的个数是（ ）8．已知函数()x xf x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 9．函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( ) A ． B ． C ．D ．10．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A ．()3,3e B ．(]3,3e +C ．(]3,3eD ．[)3,3e +二、双空题11．已知集合123A x y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭ΝZ ，则列举法表示集合A =________，集合A 的真子集有________个．12．函数y =________，值域是________． 13．已知函数(),0x x f x x ⎧≤⎪=>，则()()2f f -=_______；若()2f a =，则实数a =_____.14．已知集合{}1,2,3A B ==，设:f A B →为从集合A 到集合B 的函数，则这样的函数一共有________个，其中函数的值域一共有________种不同情况．三、填空题15．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．16．若12x ≤且0x ≠时，不等式22ax x a x --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．17．已知集合{}210A x Z x =∈->，{}2210B x x tx =--≤，若{}12,A B x x =，则t 的取值范围________．四、解答题 18．计算求值：（1）()1122330213129.60.134864--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1lg3lg94lg81lg 27+-- 19．已知集合{}2|21A x a x a =≤≤+，()(){}2|312310B x x a x a =-+++≤，其中a R ∈．（1）若4A ∈，3A ∉，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．20．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩． （1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）若对任意的[]1,x m m ∈-，不等式()()2f x f x m -≤+恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数()33x x af x b+=+．（1）当5a =，3b =-时，求满足()3xf x =的x 的值；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()()333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值．22．已知函数()21f x x a =-+，()1g x x a =-+，x ∈R ． （1）若2a =且[]2,3x ∈，求函数()()()eef xg x x ϕ=+的最小值；（2）若()()g x f x ≥对于任意[),x a ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若[]1,6x ∈，求函数()()(){}max e ,ef xg xh x =的最小值．参考答案1．D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得. 【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<, 由{|1}B x x => 得{|1}U C B x x =≤, 所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题. 2．B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 3．D 【解析】在A 选项中，前者的y 属于非负数，后者的0y ≤，两个函数的值域不同；在B 选项中，前者的定义域为1x >，后者为1x >或1x <-，定义域不同；在C 选项中，两函数定义域不相同；在D 选项中，()0f x x =定义域是{}()01|0,x x g x x ≠=的定义域为{}|0,x x ≠，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D. 4．A 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小． 【详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 5．D 【分析】将函数()f x 变形为21()(2)1f x x =++,根据2(2)0x +≥可知函数()f x 的最大值为1,所以A 不正确;D 正确;根据()(4)f x f x =--,可知函数图象关于直线2x =-对称,所以B 不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 【详解】因为2245(2)11y x x x =++=++≥, 所以函数2211()145(2)1f x x x x ==≤++++,所以函数()f x 的最大值为1 因此选项A 不正确; 因为2211(4)()(42)1(2)1f x f x x x --===--++++,所以函数()f x 的图象关于直线2x =-对称,所以选项B.不正确;因为函数2245(2)1y x x x =++=++ 在[2,)-+∞上是单调递增,且0y >恒成立,所以函数()f x 在[2,)-+∞上单调递减,所以C 不正确. 故选D. 【点睛】本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若()0f x >,则函数()f x 在区间[,]a b 上的单调性与函数1()f x 在[,]a b 上的单调性相反;②若函数(2)()f a x f x -=恒成立,则函数()y f x =的对称轴为22a x xx a -+==对称. 本题属于中档题. 6．C 【分析】先利用复合函数同增异减法得出函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，于此得出()()32,22,5m m -+⊆，然后列不等式组可解出实数m 的取值范围. 【详解】由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5． 要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增， 则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<，故选C.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性与参数，解本题的关键在于将区间转化为函数单调区间的子集，利用集合的包含关系求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．C 【分析】令()f x t =，得到()()22y f f x f t t t a ===-+⎡⎤⎣⎦，函数()22f x x x a =-+有零点，则方程220x x a -+=有根，考虑方程有一个根、两个根两种情况，分析对应的零点个数. 【详解】令()f x t =，所以()()22y f f x f t t t a ===-+⎡⎤⎣⎦，因为()22f x x x a =-+有零点，所以方程220x x a -+=有根，当220x x a -+=仅有一根时，180a ∆=-=，所以18a =， 此时()2124f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()0f t =，则有14t =是方程21208t t -+=的解，即()14f x =，此时有2解，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦有2个零点； 当220x x a -+=有两个不等实根时，180a ∆=->，所以18a <， 记两根为()1212,x x x x <，所以1212x x +=，所以20x >，此时2t x =是方程220t t a -+=的解，即()22,0f x x x =>，此时有2解，又因为1x =()min 1148f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，())21min 1108f x x ---=<，所以()1min x f x >，所以1t x =是方程220t t a -+=的解， 即()()()11min ,f x x f x f x =>，此时有2解，所以当220x x a -+=有两个不等实根时，共有4解，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦有4个零点. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，难度一般.函数()f x 的零点个数也是方程()0f x =根的数目.讨论 “嵌套”的函数()f f x ⎡⎤⎣⎦的零点个数，可采用换元法令()t f x =，考虑()f x 的零点与t 的关系，分析出对应方程根的数目，即为函数零点的个数. 8．D【分析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错；B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错；C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R 上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e ee eeeeee e -------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选D. 【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 9．C 【解析】对于A ，当0a =时，()f x x =，且0x ≠，故可能；对于B ，当0x >且0a >时，()a f x x x =+≥当0x <且0a >时，()a f x x x=-+在,0为减函数，故可能；对于D ,当0x <且0a <时，()a f x x x =-+≥=0x >且0a <时，()af x x x=+在0,上为增函数，故可能，且C 不可能.故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 10．B 【分析】作出函数()f x 图象，根据图象求解出a 的取值范围，然后将1234x x x x -++用含a 的式子表示出来，根据a 的取值范围，即可求解出1234x x x x -++的取值范围. 【详解】作出函数图象如下图：根据图象可知：(]1,a e ∈，因为()()221211,x x e a e a ++==，所以()()22121ln ,1ln x a x a +=+=，又由图象可知：122x x +=-，所以()()2212112ln x x a +++=，所以12ln 1x x a -=-， 又因为3434443,3x a x a x x +-=+-=，所以()2340x a x -++=的两解为34,x x，所以343x x a +=+，所以(]1234ln 23,3a x x x x a e =++∈+++-.故选：B.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.（1）函数的()()()h x f x g x =-的零点⇔方程()()f x g x =的根⇔()f x 与()g x 图象交点的横坐标；（2）利用数形结合思想的应用：判断函数的零点个数或者方程根的数目、求解参数范围或解不等式、研究函数的性质等.11．{}0,1,3,9 15【分析】 根据123y x =∈+Z 以及x ∈Ν，求解出可能的x 值，然后用列举法表示出集合A 即可；根据集合A 中的元素个数，利用真子集个数的计算公式求解真子集个数即可.【详解】 因为123y x =∈+Z 且x ∈Ν，所以0x =或1或3或9， 所以列举法表示集合A 为：{}0,1,3,9，所以集合A 的真子集个数为：42115-=个，故答案为{}0,1,3,9；15.【点睛】（1）用列举法表示集合时，将集合中的所有元素放在{}中即可；（2）集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集个数为：2n ；真子集、非空子集个数为21n -；非空真子集个数为：22n -.12．[]1,7- []0,4【分析】根据根号下被开方数大于等于零求解出定义域，再利用二次函数并注意2760x x +-≥求解出276x x +-的范围，即可求解出值域.【详解】因为2760x x +-≥，所以2670x x --≤，所以17x -≤≤，所以定义域为：[]1,7-，又因为()2276631x x x =--++-，[]1,7x ∈-， 所以()[]2231660,167x x x =--+∈+-，所以[]0,4y =，即值域为[]0,4.故答案为[]1,7-；[]0,4.【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求解，难度较易.常见的函数的定义域求解：（1）分式的分母不为零；（2）根号下的被开方数大于零；（3）函数0y x =中的0x ≠.13 -2或4【分析】先根据2-满足0x <,利用分段函数的第一段解析式,可求得(2)|2|2f -=-=,再根据2满足0x >,利用分段函数的第二段解析式,可求得(2)f =即((2))f f -=对a 分两种情况求得()f a ,再将()f a 代入()2f a =可以解得a 即可.【详解】因为(2)|2|2f -=-=,所以((2))(2)f f f -==当0a ≤时,()||2f a a ==,解得2a =-,或2a = (舍去);当0a >时,()2f a ==,解得4a =.综上2a =- 或4a =.故答案为; 2a =- 或4a =.【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.14．27 7【分析】分析函数个数时，利用定义域中的任意一个元素都可以对应集合B 的任何一个元素，由此计算出函数的个数；分析函数的值域时，考虑对应关系为一对一、多对一的情况，由此得到值域的种数.【详解】因为定义域中有三个元素：1,2,3，其中每个元素都可以对应到集合B 中的三个元素中的任意一个，所以对应关系共有：33327⨯⨯=种，所以函数的个数为：27；将对应关系分为：一对一，多对一（二对一、三对一）若为一对一，值域有：{}1,2,3，共1种情况，若为二对一，值域有：{}{}{}1,2,1,3,2,3，共3种情况，若为三对一，值域有：{}{}{}1,2,3，共3种情况，所以值域有7种.故答案为27；7.【点睛】本题考查根据函数的对应关系计算函数和值域的种数，难度一般.根据“:f A B →为从集合A 到集合B 的函数”去计算函数或者值域的种数时，注意：函数的定义域为集合A ，但是值域是集合B 的子集.15．17(2,]8【解析】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩， 故答案为：172,8⎛⎤ ⎥⎝⎦。