作业51

题组层级快练(五十一)1．(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④答案 D解析①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是()A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.3．(2018·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案 A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对答案 D解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β与α垂直，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线，此垂线与b确定的平面β与α垂直．故选D.5．(2018·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC答案 D解析因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案 C解析AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.8.(2017·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF 为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D. 9．(2018·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有() ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE 内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD 内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE ＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE是锐角矛盾，故④错误．10．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．答案②③④解析对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则l ∥n ，由m ⊥α知m ⊥l ，从而m ⊥n ，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．11.(2017·泉州模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DB ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，V A －D 1PC ＝VP －AD 1C 点P 到面AD 1C 的距离，即为线BC 1与面AD 1C 的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A 1C 1B ∥面AD 1C ，所以线A 1P ∥面AD 1C ，故②正确，对于③，DB 与BC 1就成60°角，故③错．对于④，由于B 1D ⊥面ACD 1，所以面B 1DP ⊥面ACD 1，故④正确．12．(2018·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________． 答案 43π解析 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.13．(2018·辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为________． 答案26解析 因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF ，又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB ，又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D －AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D －AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．14.(2018·湖北宜昌模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝2BB 1，E ，F ，M 分别为A 1C 1，AB 1，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； (2)求证：EF ⊥平面AB 1M. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)连接A 1B ，BC 1.因为E ，F 分别为A 1C 1，AB 1的中点， 所以F 为A 1B 的中点．所以EF ∥BC 1. 因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，EF ⊄平面BB 1C 1C ， 所以EF ∥平面BB 1C 1C.(2)在矩形BCC 1B 1，BC ＝2BB 1， 所以tan ∠CBC 1＝22，tan ∠B 1MB ＝ 2. 所以tan ∠CBC 1·tan ∠B 1MB ＝1.所以∠CBC 1＋∠B 1MB ＝π2.所以BC 1⊥B 1M.因为EF ∥BC 1，所以EF ⊥B 1M.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥平面BB 1C 1C. 因为M 为BC 的中点，AB ＝AC ，所以AM ⊥BC. 因为平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ， 所以AM ⊥平面BB 1C 1C.因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AM ⊥BC 1 因为EF ∥BC 1，所以EF ⊥AM.又因为AM ∩B 1M ＝M ，AM ⊂平面AB 1M ，B 1M ⊂平面AB 1M ，所以EF ⊥平面AB 1M.15．(2018·广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2，N 为线段PB 的中点．(1)证明：NE ⊥PD ；(2)求三棱锥E －PBC 的体积． 答案 (1)略 (2)23解析 (1)证明：连接AC ，与BD 交于点F ，连接NF ，则F 为BD 的中点．∴NF ∥PD ，且NF ＝12PD.又EC ∥PD 且EC ＝12PD ，∴NF ∥EC 且NF ＝EC.∴四边形NFCE 为平行四边形， ∴NE ∥FC ，即NE ∥AC.又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PD.∵NE ∥AC ，∴NE ⊥PD.(2)解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD.∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE.∴三棱锥E －PBC 的体积V E －PBC ＝V B －PEC ＝13S △PEC ·BC ＝13×(12×1×2)×2＝23.16．(2018·安徽马鞍山一模)如图①，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝4，BC ＝3，E 为AD 的中点，EF ⊥BC ，垂足为F.沿EF 将四边形ABFE 折起，连接AD ，AC ，BC ，得到如图②所示的六面体ABCDEF.若折起后AB 的中点M 到点D 的距离为3.(1)求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ； (2)求六面体ABCDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)如图，取EF 的中点N ，连接MN ，DN ，MD. 根据题意可知，四边形ABFE 是边长为2的正方形， ∴MN ⊥EF.由题意，得DN ＝DE 2＋EN 2＝5，MD ＝3， ∴MN 2＋DN 2＝22＋(5)2＝9＝MD 2， ∴MN ⊥DN ，∵EF ∩DN ＝N ， ∴MN ⊥平面CDEF.又MN ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE ⊥平面CDEF.(2)连接CE ，则V 六面体ABCDEF ＝V 四棱锥C －ABFE ＋V 三棱锥A －CDE . 由(1)的结论及CF ⊥EF ，AE ⊥EF 得， CF ⊥平面ABFE ，AE ⊥平面CDEF ， ∴V 四棱锥C －ABFE ＝13·S 正方形ABFE ·CF ＝43，V 三棱锥A －CDE ＝13·S △CDE ·AE ＝43，∴V 六面体ABCDEF ＝43＋43＝83.17.(2018·潍坊质检)直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2. (1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论． 答案 (1)略(2)P 为A 1B 1的中点时，DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行．解析 (1)∵直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC. 又∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，∠CAB ＝45°.∴BC ＝ 2.∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC. 又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ， BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C. (2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点．由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB.又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1.∴DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP. 又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1， ∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.1．(2017·温州模拟)正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′C ′的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．A ′C ′ B ．BD C ．A ′D ′ D ．AA ′答案 B解析 连接B ′D ′，∵B ′D ′⊥A ′C ′，B ′D ′⊥CC ′， 且A ′C ′∩CC ′＝C ′， ∴B ′D ′⊥平面CC ′E. 而CE ⊂平面CC ′E ， ∴B ′D ′⊥CE.又∵BD ∥B ′D ′，∴BD ⊥CE.2．(2018·四川成都检测)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF.在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK ＝t ，则t 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(12，1)C ．(32，2) D ．(32，1) 答案 B解析 当点F 与点E 无限接近时，不妨令二者重合，可得t ＝1， 当点C 与点F 无限接近时，不妨令二者重合，此时有CD ＝2， ∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于CD ＝2，BC ＝1，在直角三角形CBD 中，得BD ＝3， 又AD ＝1，AB ＝2，由勾股定理可得∠BDA 是直角，∴AD ⊥BD. 由DK ⊥AB ，可得△ADB ∽△AKD ，可得t ＝12，∴t 的取值范围是(12，1)，故选B.3.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)连接AC ，∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点．∴AN ＝12PC.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC. 又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB.从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC.∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形．又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD. (2)∵∠PDA ＝45°，PA ⊥AD ，∴AP ＝AD. ∵ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC. 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC. 由(1)知MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD.4．(2018·四川成都一诊)如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BRRH.将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图②所示．(1)求证：GR ⊥平面PEF ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 答案 (1)略 (2)12解析 (1)依题意，得在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 两两垂直． ∴PD ⊥平面PEF.∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PRRH ，∴在△PDH 中，GR ∥PD. ∴GR ⊥平面PEF.(2)由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝2 5. ∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4，S △DEF ＝12×22×（25）2－（2）2＝6.设三棱锥P －DEF 的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V P －DEF ＝V D －PEF ＝13×12×2×2×4＝13(S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF )·r ，解得r ＝12.∴三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.5.(2018·河南郑州一中月考)如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点． (1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 答案 (1)略 (2)略 (3)略解析 (1)由ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，得BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以B 1D 1∥BD.又BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD.(2)因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC.因为BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D. 而MD ⊂平面BB 1D 1D ，所以MD ⊥AC.(2)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 证明如下：取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1， 连接NN 1交DC 1于点O ，连接BN ，OM ，如图． 因为N 是DC 的中点，BD ＝BC ，所以BN ⊥DC. 因为DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线， 而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，所以BN ⊥平面DCC 1D 1. 易得O 是NN 1的中点， 所以BM ∥ON 且BM ＝ON ，所以四边形BMON 是平行四边形，所以BN ∥OM ，所以OM ⊥平面CC 1D 1D. 因为OM ⊂平面DMC 1，所以平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.。