最新二次函数专题复习全面说课材料

二次函数专题复习

考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：

1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2

（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a

；当a

＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－

2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b

，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b

，y 随x 的增大而减小，x ＜－

，y 随x 的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线

21x x x +=

。

⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b

时，函数有最大值244ac b a -。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．

⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”

考点二：二次函数图象上点的坐标特点

1 （2012?常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（）

A ．y 3＜y 2＜y 1

B ．y 1＜y 2＜y 3

C ．y 2＜y 1＜y 3

D ．y 3＜y 1＜y 2 2、（2012?衢州）已知二次函数y=12-

x 2-7x+15

，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（）

A ．y 1＞y 2＞y 3

B ．y 1＜y 2＜y 3

C ．y 2＞y 3＞y 1

D ．y 2＜y 3＜y 1 3、（2012?咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是． 4、.抛物线y =-4(x +2)2+5的对称轴是______ 2、函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（）

5、如果将抛物线2

2x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（ 6、已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（） 7、抛物线y=x 2－４x ＋5的顶点坐标是（）．直线y=x+2与抛物线y=x 2 +2x 的交点坐标为____．

8、二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 9、已知点P (a ，m ）和 Q(0，m ）是抛物线y=2x 2+4x －3上的两个不同点，则a+b=______ 10．已知二次函数c bx ax y ++=2

1(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______

11、若直线 y=ax －6与抛物线y=x 2－4x+3只有一个交点，则a 的值为（）

12、已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y= 12x

上，点 N 在直线上，设点M 的坐

标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为___. 考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系一、考点讲解：

1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；抛物线开口向下，则a ＜0．

2、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2b a ＜0，即2b a ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2b

a ＞0，即

＜0．则a 、b 异号．即“左同右异”． 3．c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线

交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a

－b+c 是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 1、（2012?玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论： ①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，

则正确的结论是（） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④

2．（2012?重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示对称轴为x=1

．下列结论中，正确的是（） A ．abc ＞0 B ．a+b=0 C ．2b+c ＞0 D ．4a+c ＜2b

3．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 4、（2012?孝感）二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc ＜0；②a-b+c ＜0； ③3a+c ＜0；④当-1＜x ＜3时，y ＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．

1题图 2题图 4题图考点4：二次函数解析式求法二次函数表达式的求法：

⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2

；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2

()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)，对称轴为直线x=h ；

⑶交点式法：若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）。

解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二

次函数的顶点在坐标原点可设2

ax y =；已知顶点（0，c ），即在y 轴上时可设c ax y +=2；已知顶点（h ，0）即顶点在x 轴上可设2)(h x a y -=.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。 1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式． 2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式． 3．已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．

4、已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2

－1 (n 为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；

②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 考点5：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、考点讲解：

1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2

当函数y 的值为0时的情况．

（2）二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有

交点；当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．

（3）当二次函数c bx ax y ++=2的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2

有两

个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元

二次方程c bx ax y ++=2

没有实数根．

解题小诀窍：抛物线与x 轴的两个交点间的距离可以用| x 1－x 2|来表示。 1．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（） 2．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（）

A ．在x 轴上方

B ．与x 轴只有一个交点

C ．与x 轴有两个交点

D ．在x 轴下方 3．已知二次函数y =x 2－x －6· （1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；（2）画出函数图象（3）观察图象，指出方程x 2－x —6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积（5）x 取什么值时，函数值大于0？（6）x 取什么值时，函数值小于0？【备考真题过关】 1．（2012?白银）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则函数值y ＜0时x 的取值范围是（）

A ．x ＜-1

B ．x ＞3

C ．-1＜x ＜3

D ．x ＜-1或x ＞3 2．（2012?兰州）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，若|ax 2+bx+c|=k （k≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＜-3 B ．k ＞-3 C ．k ＜ 3 D ．k ＞3

3．（2012?德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总

有y≤0，那么c 的取值范围是（） A ．c=3 B ．c≥3 C ．1≤c≤3 D ．c≤3

4、（2012?西宁）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个 A ．当x=0时，y 的值大于1 B ．当x=3时，y 的值小于0 C ．当x=1时，y 的值大于1 D ． y 的最大值小于0

（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc ＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．（2012?乐山）二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（）

A ．0＜t ＜1

B ．0＜t ＜2

C ．1＜t ＜2

D ．-1＜t ＜1 7．（2012?陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 8、（2012?长春）在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a （x-3）2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为．

9、（2010湖北孝感，）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12??

???，

下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2

=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

9题图 10题图 11题图 12题图

11、（2009年甘肃庆阳）如图为二次函数2

y ax bx c =++的图象，给出下列说法：

①0ab <；②方程2

0ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有．（写出序号）

12、（2012泰安）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2

0ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（） A ．3- B ．3 C ．6- D ．9

（2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++= >的两个实数根1x 、2x 满足

124x x +=和123x x =g ，那么二次函数2(0)y ax bx c a =++ >的图象有可能是（）

13、（2011广西崇左，18，3分）已知：二次函数y =ax 2+bx +c

示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a +c ）＜b ；⑤a

＞1.其中正确的项是（） A ．①⑤ B ．①②⑤ C ．②⑤14、（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2

)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 15、（2010安徽蚌埠）已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则实数b a n m ,,,的大小关系可能是

A ．n b a m <<<

B ．b n a m <<<

C ．n b m a <<<

D ．b n m a <<< 16、（2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x －1）（x －2）=m(m >0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足 A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2 17、（2010安徽蚌埠）已知抛物线bx x y +=

1经过点A(4,0)。设点C （1，-3）

，请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

18、抛物线y = –(x –1)2

+2关于x 轴对称的抛物线的解析式是______________

关于y 轴对称的抛物线的解析式是________关于原点中心对称的抛物线的解析式是__________ 关于顶点中心对称的抛物线(或绕顶点旋转180°)的解析式是________ 解答题

1、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求

出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

x =1

-2-A

（第14 ）

B (4,4)A (1,4)

用二次函数解决问题优秀教案

用二次函数解决问题【教学目标】 1．会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值； 2．能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题。【教学重点】运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。【教学难点】如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题。【教学过程】一、温习旧知：二次函数图像与性质二、示标导学：

三、反馈练习：四、拓展练习 (2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）。（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完。在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润。【作业布置】 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2． 3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间。市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．（2014?武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90 售价（元/件）x+4090

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

22.3实际问题与二次函数(1)教案

22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标： 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1) 因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2 ＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22 所以a ＝－0.2 因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。二、引申拓展问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A 和点B (－.与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P .使△CMP 为等腰三角形若存在.请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在.请说明理由． (3) 如图②.若点E 为第二象限抛物线上一动点.连接BE 、CE .求四边形BOCE 面积的最大值.并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时.以C 为圆心CM 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M 为顶点时.以M 为圆心MC 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P 为顶点时.线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二.先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。

二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就就是所含字母x 的二次函数;下面以a ＞0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 二、抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)与点B (－3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上就是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。 ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题(动点)

九年级下二次函数图像与性质教案

第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－1 3时，x 的值．

九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）教学目标: 1.知识与技能：将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 2.过程与方法：通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 3.情感态度：感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 教学重点：利用二次函数解决有关拱桥问题. 教学难点：建立二次函数的数学模型. 教学过程：一、问题导入问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+. （2）P =()()()2 2402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =． ∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

二次函数的概念说课稿(新人教版)

二次函数的概念说课稿（新人教版）依兰二中：王力鹏一、说课内容：I 新人教版九年级上册第二十二章第一节《二次函数》二、教材分析： 1教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。（2 ）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力. （3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心. 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程四、教学过程：（一）复习提问 1什么叫函数？我们之前学过了那些函数?

2. 它们的形式是怎样的？ 3. —次函数（y=kx+b）的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k^0的条件？k值对函数性质有什么影响？【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k^0的条件，以备与二次函数中的a进行比较. （二）引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系例1、（1）圆的半径是r（cm）时，面积s （cm2）与半径之间的关系是什么？例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y（m2）与矩形一边长x（m）之间的关系是什么？例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y （元）与x之间的关系是什么（不考虑利息税）? 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系：（1）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）。（2）自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。（三）讲解新课以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c （a丰0, a, b, c 为常数）的函数叫做二次函数。巩固对二次函数概念的理解： 1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即y是关于x的二次多项式（关于的x 代数式一定要是整式）。 2、在y=ax 2+bx+c中自变量是x，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。（如例1中要求r>0 ） 3、为什么二次函数定义中要求0 ？

人教版九年级上册二次函数全章教案

26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。 5.归纳：一般地，形如，（,,a b c a 是常数，且）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答：。（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

人教版第2套人教初中数学九上 22.3 实际问题与二次函数教案

22.3 实际问题与二次函数教学目标知识和能力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。过程和方法让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。情感态度价值观教学重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式教学准备教师多媒体课件学生“五个一” 课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高 AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y 轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB 2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?

人教版初三数学上册二次函数与动点问题

（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t 由图可知，PF//CE,所以PF CE = PB BC ，即PF 4 = t 5 , PF= 4 5 t, 所以S=1 2 QB?PF= 1 2 ? 4 5 t（8-t）=- 2 5 t2+ 16 5 t =-2 5 （t-4)2+ 32 5 故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5 . （1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=1 2 BQ, 由PF//CE可得，BF BE = BP BC ,即 BF 3 = t 5 ，BF= 3 5 t, 所以3 5 t= 1 2 （8-t），t= 40 11 . 当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.

当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12 t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC ,即，12t 3=8-t 4，t=245 .所以，当t=4011或4或245 时，ΔPQB 为等腰三角形. （2）1.当 EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积， ∴y=12x 2. 2.当2

二次函数图像说课稿(市级一等奖)

二次函数图像说课稿（市级一等奖）汉阴县漩涡中学钱德坤尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。 2、教学目标定位。根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进

行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。 3、教学重难点。重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。为此，我设计了5

二次函数优秀教案

二次函数【教学目标】 1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2．了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。【教学重难点】体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数。【教学过程】一、情景创设 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是____________。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？设长方形的长为x 米，则宽为____________米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为________________________。 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？在这个问题中，地板的费用与______有关，为_______元，踢脚线的费用与有关，为____________元；其他费用固定不变为____________元，所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是________________________。二、新知探索上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？________________________________________________________________。一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。其中____________是自变量，____________函数。一般地，二次函数 c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是____________，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？三、典例分析例1．判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数A ．B ．C 的值。

人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第一课时教案

22.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（1） ※教学目标※ 【知识与技能】 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值. 【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究||，让学生经历数学建模的基本过程||，体会建立数学模型的思想. 【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型||，感受数学的应用价值||，增强数学的应用意识. 【教学重点】通过解决问题||，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题. 【教学难点】分析现实问题中数量关系||，从中构建出二次函数模型||，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※ 一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球||，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时||，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习||，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地||，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时||，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式||，再求出使S 最大的l 值. 矩形场地的周长是60m||，一边长为l m||，则另一边长为 ||，场地的面积S= .化简得S= .当l= 时||，S 有最大值 . 探究2 某商品现在的售价为每件60元||，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格||，每涨价1元||，每星期要少卖出10件；每降价1元||，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元||，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元||，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时||，每星期少卖10x 件||，实际卖出()30010x -件||，销售额为()60x +· ()30010x -元||，买进商品需付()4030010x -元.因此||，所得利润 ()()()60300104030010y x x x =+---||，即2101006000y x x =-++||，其中||，0≤x ≤30.

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形的边长．（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点ABCD保持（2）中的速度不变，则点ABCD沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小．当点ABCD沿着这两边运动时，使ABCD的点ABCD有个．（抛物线ABCD的顶点坐标是． [解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作ABCD轴于ABCD，则ABCD． ABCD ，即 ABCD ． ABCD ．ABCD ．ABCD，

ABCD ．即 ABCD ． ABCD ，且 ABCD ， ABCD当 ABCD 时，ABCD有最大值．此时 ABCD ， ABCD点ABCD的坐标为 ABCD ．（8分）方法二：当ABCD时， ABCD ．设所求函数关系式为．抛物线过点，．，且，当时，有最大值．此时，点的坐标为．（4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。． 2. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求的度数．（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）如果点ABCD保持（2）中的速度不变，那么点ABCD沿ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大；沿着ABCD边运动时，ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小，当点ABCD沿这两边运动时，使ABCD的点ABCD有几个？请说明理由．解: （1）ABCD．

九年级数学：二次函数的图像和性质说课稿二

《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》，这是九年级下册第26章的内容。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。一方面，本节课是对一次函数有关内容的推广，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。 2、教学目标定位。根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。 3、教学重难点。重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归