3.3 替代定理
替代定理的研究
此题说明确定电路有无惟一解答的方法是
1.用符号网络分析程序或其它方法计算出电路中电压 电流的符号表达式。 2.当电路参数令电压电流表达式的分母不为零(即电 路方程系数的行列式不为零，即detT 0）时，该电 路的电压电流存在惟一解。 3.当电路参数令电压电流表达式的分母为零(detT= 0) 时，而其分子不为零时，该电路的电压电流无解。
U1
U2
计算结果表明当R3+R2+R1＝0时电路没有惟一解答
当R1＝-2,R2＝R3＝1时,用SNAP程序的计算结果为
元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 符 号 符 号 R 1 1 0 R1 R 2 1 2 R2 R 3 2 0 R3 I 4 0 1 Is1 I 5 0 2 Is2 独立节点数目 = 2 支路数目 = 5 ***** 对 符 号 赋 值 **** R1 = -2.00 R2 = 1.00 R3 = 1.00 ----- 节 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 ----R1R3Is2+R1R3Is1+R1R2Is1 -2.00 Is2 -4.00 Is1 U1 = -------------------------- ＝ ----------------------R3+R2+R1 0.000 R1R2Is1-R2R3Is2 -2.00 Is1 -1.00 Is2 U2 = ------------------ ＝ -------------------------R3+R2+R1 0.000
其电路解释如下：对于电压u1来说，可以将右边 的单口网络化简，得到下图所示电路，由此可见： 当iS1 －0.5 iS2时违反了KCL定律， u1没有解答。 当iS1 ＝－0.5 iS2虽然不违反了KCL定律，但是电 压u1却可以为任意值，因而有无穷多个解答。
3.3 替代定理
3.3 替代定理替代定理是数理逻辑中的重要概念，它在证明某些命题时有着重要的作用。
在数理逻辑中，有时我们需要通过一些等价的命题来证明一个命题是否成立。
这时候替代定理就非常有用了。
替代定理的定义替代定理指的是：设P(x)为一个一元谓词公式，x∈D，D为某个集合，a,b为该集合中的元素，则当a=b时，P(a)与P(b)等价。
这里的“等价”指的是指当a=b时，P(a)为真当且仅当P(b)为真。
换句话说，如果我们要证明一个一元谓词公式在某个集合D中成立，我们只需要证明当a=b时，该一元谓词公式的真值不变，即P(a)与P(b)等价，就可以得出该一元谓词公式在集合D中成立。
举个例子假设我们要证明命题：对于任意正整数x，都存在正整数y，使得x∗y=1。
我们可以使用替代定理进行证明。
我们假设有两个正整数a和b，且a=b。
我们需要证明xa=1当且仅当xb=1。
首先，如果xa=1，则有a除以x的余数为0。
因为x为正整数，所以a≥x，那么a=mx，其中m为正整数，所以xa=(mx)a=ma×x，因为xa=1，所以ma=1，也就是a的倒数是x。
替代定理在证明一些命题时非常有用，尤其是涉及到等价命题的证明。
它可以帮助我们简化证明过程，减少证明步骤，使得证明更加简单、直观。
此外，在离散数学中，替代定理也被广泛地应用于图论、布尔代数、组合数学等领域。
它可以帮助我们推导出一些定理，进而解决一些复杂问题。
总结替代定理是数理逻辑中的一个重要概念，它可以帮助我们证明一些等价命题。
使用替代定理可以大大简化证明过程，减少证明步骤，在离散数学中也有广泛的应用。
因此，学会使用替代定理对于理解数理逻辑、离散数学等领域都是非常重要的。
西电第3章电路分析中的常用定理
3.1.2 齐次性定 理
[例3.4] 电路如图3.5所示。
(1)已知I5 1A
，求各支路电
流和电压源电U压S
。
(2) 若已知US 120V
，再
求各支路电流。
[解] (2) 当US 120V
时，它是原来电压80V的1.5
倍，根据线性电路齐次性可以断言，该电路中各电压和
电流均增加到1.5倍，即
I1 1.5 8 12A I2 I3 1.5 4A 6A
[解] 1.求开路电压uoc
选b点接地，a点的电压也就是 u，oc 列
a点节点电压方程：
(1 6
13)uoc
18 6
3i1
3
3i1
又有：
i1
18
uoc 6
2.求等效电阻 Req ，
uoc 12V
（因a为）电用路开中短含法受求控解源：，a、所b以两端用导线
连方从u向接oc为，的并“i2设+”短0 极路到电流“isc 为-”极，is注c 意
【 知识点及重点】 1. 叠加定理和齐次性定理。 2. 戴维南定理和诺顿定理。
3. 最大功求率开传路输电定压u理oc。 或短路电流isc 和等效电阻Req
4. 特勒根定理。 5.互易定理。 【 难点】 1. 含受控源电路利用叠加定理时受控源的处理。 2. 对含受控源的单口网络，求戴维南等效电阻的计算。
K=4
即： u 2us 4is
当 us 3V、is 2A时
u 2 3 4（-2) 2V
3.1.1 叠加定理
三. 几点说明
1. 叠加定理只适用于线性电路。
电压源为零—短路。
2. 一个电源作用，其余电源为零
电流源为零—开路。
等效变换和替代定理
等效变换和替代定理等效变换是指在不改变电路特性的情况下，通过改变电路中元件的参数或者改变元件的位置，使得电路的形式发生变化，但是电路的特性不变。
等效变换是电路分析中常用的一种方法，可以简化电路分析的过程，提高电路分析的效率。
替代定理是指在电路中，任何两个电阻或电源可以互相替代，只要它们的电压和电流关系相同。
替代定理是电路分析中常用的一种方法，可以简化电路分析的过程，提高电路分析的效率。
下面分别对等效变换和替代定理进行详细介绍：一、等效变换1. 电阻的串并联变换在电路中，若有多个电阻串联或并联，可以通过串并联变换将它们简化为一个等效电阻。
串并联变换的原理是根据欧姆定律和基尔霍夫定律，将多个电阻串联或并联的电路转化为一个等效电阻的电路。
2. 电压源和电流源的等效变换在电路中，若有多个电压源或电流源，可以通过等效变换将它们简化为一个等效电源。
电压源和电流源的等效变换的原理是根据基尔霍夫定律和欧姆定律，将多个电压源或电流源的电路转化为一个等效电源的电路。
3. 电阻的星三角变换在电路中，若有多个电阻星型连接或三角形连接，可以通过星三角变换将它们简化为一个等效电阻。
星三角变换的原理是根据欧姆定律和基尔霍夫定律，将多个电阻星型连接或三角形连接的电路转化为一个等效电阻的电路。
二、替代定理1. 电阻的替代定理在电路中，任何两个电阻可以互相替代，只要它们的电压和电流关系相同。
电阻的替代定理可以简化电路分析的过程，提高电路分析的效率。
2. 电源的替代定理在电路中，任何两个电源可以互相替代，只要它们的电压和电流关系相同。
电源的替代定理可以简化电路分析的过程，提高电路分析的效率。
总之，等效变换和替代定理是电路分析中常用的两种方法，它们可以简化电路分析的过程，提高电路分析的效率。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行电路分析。
替代定理的妙用
《大学电路/电路原理/电路分析》06--替代定理的妙用电学中重要的电路定理有叠加定理、齐性定理、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理，在不同的场合解决各类电路问题，真的是太精妙了。
叠加定理把多电源电路变为单电源电路，一下子回到高中物理。
齐性定理体现了线性电路的比例性质，其“倒推法”用在单电源多电阻电路就是一个字--“绝”。
戴维宁定理和诺顿定理特别擅长于只求某一支路参数的场合，把待求支路从电路中一取走，变成开口电路，难度一下降低。
最大功率传输定理将复杂的求导变成求戴维宁/诺顿等效电路中的等效电阻了。
但唯独对替代定理的介绍最少，相应的例题应就更少。
其实替代定理是一个非常棒的定理，用得好，考试时大可以提前交卷！接下来介绍替代定理在推导及计算中的妙用。
1．替代定理替代定理是指已知电路中某一支路的参数，如两端的电压，流过支路的电流，那么该支路可等效为一个电压源，或电流源，又或是一个电阻，如下图所示：其证明过程也是相对简单的，等效为电压源时只需在支路上串联2个大小相等，方向相反的电压源，如下图所示：虚线框内支路电压刚好和下面的电压源抵消了，电压为0，可用一条导线替代，这样就只剩下面那个电压源了，得证。
而等效为电流源时，则需在支路两端并联2个大小相等，方向相反的电流源，如下图所示：虚线框内流过支路的电流和右边的电流源也抵消，电流为0，整个框可以去掉，只剩左边那个电流源了。
2. 替代定理在定理推导中的应用戴维宁定理是指，一个含源一端口可以等效为一个实际电压源模型，在证明时该定理就先替代定理，再用叠加定理来操作的，如下图所示：图中N s表示含源一端口，N0表示无源一端口。
有学生问替代时为什么选电流源而不选电压源，主要是由于在接着使用的叠加定理，将电流源置零时可直接将其断开，方便计算，如果选电压源，置零时就要短接，求解麻烦。
将分电路中求出的电压u叠加，得到表达式为：根据式中的电压电流关系，得到等效电路就是实际电压源模型，即戴维宁等效电路，如下图所示：看到这里，只想喊一句：“太妙了！”3．替代定理在解题中的应用替代定理在一些复杂电路中最能显示它的优势，如下图所示：电路要求电流I1，但电路结构很复杂，支路多，电源、电阻也多，看到都头晕。
电路课件10
第4-13页 13页
■
例1
4Ω Ω 6Ω Ω
计算R 计算 x为5.2Ω时的 。 解 Ω时的I。 a Rx b + 10V – I 6Ω Ω + 4Ω Ω – U1 + U2 – 10V + – (2) 求等效电阻 eq 求等效电阻R + Rx Uoc
第4-8页
■
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说， 任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，都可 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换； 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源 的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc ， 而电阻 等于一端口的全部独立电源置零后的输入电阻。 等于一端口的全部独立电源置零后的输入电阻。
I1 = 0.1A Uoc = 100I1 = 10 V
b (2) 求等效电阻 eq 求等效电阻R 用开路电压、短路电流法 用开路电压、
第4-22页 22页
■
(2) 求等效电阻 eq 求等效电阻R
a Ω 50Ω 50Ω Isc Ω + 40V – b
Isc = 40/ 100 = 0.4A
Uoc R = = 10/ 0.4 = 25Ω eq Isc
第4章 电路定理 章
§4-2 替代定理 §4-3 戴维宁定理和诺顿定理
第4-1页
■
二、替代定理(Substitution Theorem) 替代定理
第7讲_齐次定理、叠加定理、替代定理
us
R
r
kus R kr
例 2.5 - 1如图2.5 - 1的电路， 求i1、 i2与激励源uS的关 系式。
解如图所示，电路共有3个网孔， 选受控源的电流为网 孔电流之一，其余网孔电流为i1和i2 ，如图2.5 - 1所示。按图 可列出回路方程为
u N2
–
N1
+
α
–
注意方向！
N1
+
α
–
β
证明:
N1
Ai
+ u N2
–
B
Ai
+
N1
u
– B
N1
+
α
–
β
A
+
N2 α
––
α
+
B
–
C
α+
AC等电位
说明 1. 置换定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 2. 置换定理的应用必须满足两个前提: 1) 原电路和置换后的电路必须有唯一解。 2) 被置换的网络和电路其它部分应无耦合关系。 3. 置换定理一般用在求未被置换的网络的内部支路电压和电流。 4. 替代定理同样适应于某一条支路。
+
+
4 U1' Us'
–
–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
《替代定理》课件
路的设计和分析过程，提高电路的性能
和效率。
3
信号处理和通信技术
4
替代定理可以用来分析、设计和优化各 种信号处理和通信系统，提高系统的性
能和可靠性。
计算机程序优化
通过编写等价但更优化的代码，可以提 高程序的运行效率和响应速度。
形式化验证
替代定理是形式化验证中的基础方法之 一，可以帮助验证器证明一些关键性质 的正确性。
《替代定理》PPT课件
替代定理是数学和电子工程学科中的一项重要理论。本课程将介绍替代定理 的历史背景、定义及作用、分类和特点等内容，并探索替代定理在不同是一种数学推理方法， 即通过一个命题的等价关系来求 证另一个命题的真假性。在逻辑 代数和电子工程学科中被广泛使 用。
在传感器网络和嵌入式控制系统 中，替代定理可以用于优化网络 协议、分析系统稳定性和可靠性 等问题。
在机器人和自动化系统中，替代 定理可以用于优化控制算法、分 析动力学和运动学、提高运动控 制精度等问题。
基于替代定理的优化算法
1 基于策略的算法
通过启发式搜索和策略选 择，设计一系列替代定理 变换策略，从而高效地获 得可行解。
替代定理的发展趋势
替代定理将向更深入、更高效、更智能化的方向发展，帮助我们更好地理解和利用复杂的自 然和社会现象。
不足
替代定理有时会和其他优化策略产生局部最优解， 难以达到全局最优解；替代定理的应用需要一定的 数学基础和专业知识。
替代定理与其他优化方法的比较
1
贪心算法
贪心算法通过贪心选择这样的局部最优解，误以为获得了最优解，但并不能保证 一定获得全局最优解。
2
动态规划
动态规划综合考虑不同状态的优化策略，通过状态转移和最优子结构等规律，求 解最优化问题，但需要考虑更多状态和指标。
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例1 求图示电路中的 US 和 R。
2.6A
0.6A I + U
-
6Ω
US
解： I=2A
U=28v
+ 14Ω
25Ω + 6V
US = 43.6 V 利用替代定理, 有
U1 28 20 0.6 6
R
20Ω
0.6A I1
U
=10V R = 50
I1=0.4A
+ -
IR R
IR = 0.6-0.4 = 0.2A
2 5 u 1 u 7 n1 n2 2 2
i
4 4V
2u
3 2
1Α
2u
4V
un1 un 2 2 (4) 3A 2 2
几点说明
（1）只有当替代前后的网络具有惟一解时，才可以应用 替代定理。 （2）替代定理不仅适用于线性网络，也适用于非线性网络。 （3）替代后，只能求解电路各部分的电压、电流等，不能 进行等效转换求等效电阻等，因为电路已经改变。 （4）如果某支路有控制量，而替代后该控制量将不复存在， 则此时该支路不能被替代。
§3.3 替代定理
（可推广到非线性电路）
定理：在任意集总参数电路中，若第k条支路
的电压Uk和电流Ik已知，则该支路可用下列任 一元件组成的支路替代: （1） 电压为Uk的理想电压源； （2） 电流为Ik的理想电流源； （3） 电阻为 Rk = U k I k 的电阻元件。
注意：
支路k应为已知支路,一般不应当含有受控源或该支 路的电压或电流为其他支路中受控源的控制量。 替代电源的方向。
28V
-
U1 + 6V
+ 25Ω
20Ω
例2 电路如图所示，已知 4电阻中的电流为1A， 试用替代定理求电流i。 解： 列节点电压方程
3
2
u
i 2
+ -
2
i1
1 4 1 1 ( 2 2 )un1 2 un 2 2 2 1 1 un1 un 2 1 2u 2 2 2 u un1 4 un1 2V 1 un 2 4V un1 un 2 4