c11107008关于延迟退休数学建模

湖州师范学院数学建模竞赛论文封面论文题目：对“延迟退休”问题的研究评阅情况（评阅专家填写）：评阅1.评阅2.评阅3.论文摘要：（不要超过一页）对“延迟退休”问题的研究摘要随着我国人口老龄化加速行进，养老金收支缺口继续扩大，延迟我国法定退休年龄的必要性日益增加。

本文以延迟退休年龄为研究主题，利用聚类分析、统计回归、logistic模型和量化模型对该问题进行分析研究。

对于问题一，通过从权威网站采集数据，计算分析国民人均预期寿命、劳动力供求状况、人口老龄化程度和国民受教育情况四个指标，通过拟合建立对数函数、二次函数和一次函数预测模型，此时R2均在0.90以上，拟合程度较好，通过分析可知该四项指标与延迟退休年龄均成正相关。

对于问题二，通过某问卷统计结果，我们选取工作压力、工作时长、工作经验、工作环境、体质要求五项指标利用K-均值聚类和系统分类将教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者划分为三类：第一类第二类第三类教师、内科医生公司职员、客车司机重体力劳动者延退4-5年延退2-3年延退0-1年60岁的国家为样本，统计各个国家第一问所给四项指标。

通过建立多元线性回归方程：y=70.1720−0.2559x1+0.1590x2+0.1272x3+0.2227x4+ε利用第一问给出的预测模型，代入回归方程进行我国理论退休年龄预测，通过预测我们可知目前的退休年龄已不合理，故利用增长幅度γ=0.15ϵ[0.068±0.6161]，即每6-7年延退一年制定延迟退休的时间表（具体计划见表八）。

对于问题四，通过规定的养老金的计算方法，再此我们以1960年出生的人为例展开具体的量化分析，利用logistic模型给出年平均工资的预测模型，代入养老金的量化模型，得到养老金Q：Q=q1t+q2t=0.08×1×∑c i(1+r)n−ini=1+c t−1×(1+α)×1×1%根据该公式预测不同退休年龄下能得到的月养老金额及退休至死亡所能获得的全部养老金，根据计算结果可知，退休年龄越大，个人收到的总养老金额越少，以此可减少养老保险资金缺口。

对于问题五，我们综合考虑以上问题给出三个建议：渐进提高退休年龄；实行弹性退休制；根据养老保险合理调整退休年龄。

关键词：最小二乘法拟合 K-均值聚类多元线性回归logistic模型一．问题重述目前我国已经进入人口老龄化快速发展期，“延迟退休”已成为人们关注的热点话题，不同的群体对“延迟退休”也有不同的看法，如企业中高层管理人员、部分专业技术人员(如医生、教师、科技工作者等)被认为愿意延长退休年龄，但大多数一线工人尤其是体力劳动者，则希望早点退休。

因此，如何尽快作出“延迟退休”科学可行的制度设计，是人们关心的问题。

请针对“延迟退休”问题，查阅资料并解决以下问题：1.查阅文献资料，给出如下四个指标的计算公式：国民人均预期寿命、劳动力供求状况、人口老龄化程度和国民受教育情况，并研究这四个指标对延迟退休的影响。

2.由于各行业工作环境、要求差别很大，延迟退休年龄一刀切的做法显然需要商榷。

请就某一地区选择教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）5类群体，研究其工作状况，寻找影响这5类群体延迟退休年限的评价指标（例如工作环境、工作经验、体质的要求等）。

如果延迟退休年限为1到5年，请根据你寻找的评价指标研究这5类群体较合理的延迟退休年限。

3.目前世界各国的退休年龄各不相同，有的国家退休年龄超过60岁，有的不超过60岁。

选取5个延迟退休年龄超过60岁的国家，如美国、日本、德国、澳大利亚、意大利，通过研究这些国家的国民人均预期寿命、劳动力供求状况、国民受教育年限和人口老龄化程度等影响延迟退休年龄的相关因素，根据你的研究结果，预测我国出台延迟退休政策执行的时间表。

4.延迟退休政策的实施会对就业、养老保险等社会问题带来影响，请就其中的一个方面，建立适当的数学模型，定量分析我国“延迟退休”政策实施可能带来的影响。

5.给相关的上级主管部门写一篇不超过一页(A4纸)的关于“延迟退休”的建议报告。

二．问题分析目前，我国法定的退休年龄是男职工年满60周岁，女干部年满55周岁，女工人年满50周岁。

随着人均预期寿命的提高和人口结构的转变，使得我国养老金缺口扩大，故我们通过分析不同因素，制定延迟退休年龄时间表，以维持社会养老基金收支平衡。

问题一主要通过查阅大量文献资料及统计数据，获取过去我国国民人均预期寿命、劳动力供求状况、人口老龄化程度和国民受教育情况四项指标数据，通过最小二乘拟合的方法给出预测我国未来四项指标的变化趋势的计算公式，并根据该趋势阐述延迟退休的必要性。

问题二通过调查统计结果我们提取工作压力、工作时长、工作经验、工作环境、体质要求五项用于评价教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者五种职业的指标，根据相关统计结果导入SPSS进行K-均值聚类分析和系统分析，对5种职业进行分类，以确定不同职业的延迟退休年限。

问题三以美国、日本、德国、澳大利亚、意大利五个国家为样本，分别统计各个国家国民人均预期寿命、劳动力供求状况、人口老龄化程度和国民受教育情况四项指标数据。

利用这50组数据建立多元线性回归模型y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+ε根据问题一所确定的我国四项指标的计算公式带入该回归模型便可获得我国的理论退休年龄，为达到理论退休年龄，我们利用合理的退休年龄的增长幅度制定了从2015年起未来35年的延迟退休的时间表。

问题四通过养老金的计算方法，我们以1960年出生的人为例展开具体的量化分析，利用logistic模型给出年平均工资的预测模型，代入养老金的量化模型，对不同退休年龄进行计算得到预测的月养老金金额及退休至死亡所能获得的全部养老金，根据结果分析延迟退休年龄对养老金支付总额的影响。

问题五我们综合以上四问并结合实际国情，以充分考虑劳动者意愿的前提下给出合理建议。

三．符号说明与假设符号说明：模型假设：1.假设男女退休年龄相同均为602．假设五个主要发达国家所实行的退休机制是值得借鉴的3.假设一年中，各个月的月工资不变，可用平均月工资代替。

4.假设人均年平均工资受环境资源等因素的限制，最大为240520元。

5.假设用劳动参与率反映供求状况6.假设没有大的自然灾害，传染疾病等经济危机7.假设所给数据都准确可信四．模型建立与求解4.1模型一四项指标与延迟退休的关系（一）人均预期寿命与延迟退休的探究人均预期寿命是指假若当前的分年龄死亡率保持不变，同一时期出生的人预期能继续生存的平均年数。

它的计算方法是：对同时出生的一批人进行追踪调查，分别记下他们在各年龄段的死亡人数直至最后一个人的寿命结束，然后根据这一批人活到各种不同年龄的人数来计算人口的平均寿命。

用这批人的平均寿命来假设一代人的平均寿命即为平均预期寿命。

这里我们假设受调查总人数为N，年龄为i 的存活人数为x i，则人均预期寿命y1为y1=∑(xi−x i+1)×(i+i+1)2n100i=0根据中国1950-2010年国民人均寿命数据（附表一），以时间t为自变量，以平均寿命y1为因变量，利用对数模型在Excel中进行拟合（见图一）：图一:人均预期寿命对数函数拟合图拟合结果为:y1=11.968ln(0.2t−389)+42.653此时决定系数R2=0.9899，该模型较好的反应了1950-2010年人均预期寿命的变化情况。

自1950年新中国成立以来，国内环境日益稳定人均寿命逐步提高，故我们有理由利用上述拟合模型预测我国人均寿命。

由图一知我国人均预期寿命在1950-2010年间不断增长，最后逐渐趋于稳定。

人口预期寿命的提高相应延长了劳动者退休之后的生命余年, 意味着同样的工作时间要负担的退休后生活时间延长, 对于养老保险制度来说, 相当于在个人账户缴费期不变情况下, 支付期延长，这对养老保险制度造成资金压力，故人均预期寿命增加幅度与退休年龄的设定正相关。

劳动力供求状况是指一个区域某个时间段内,就业人员的数量(供)与社会岗位需求(求)之间的平衡情况。

这里我们假设就业人员的数量为M，社会岗位需求量为N，则劳动力供求状况y2的计算公式为y2=M N根据我国2002-2012年的劳动参与率，通过分析计算拟合出劳动力供求关系y2与年份t的对数函数模型:y2=−2.46ln(t−2000)+77.015可见随着时间的增加，劳动参与率不断下降，使得未来的劳动力市场出现供不应求的状况。

这时鼓励身体健康的老年人继续工作就显得十分必要了。

延迟退休有助于延长劳动力的就业年限，以应对经济发展对劳动力的需求，也有助于提高人力资源的利用率。

（三）人口老龄化程度与延迟退休的探究人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。

国际上通常把60岁以上的人口占总人口比例达到10%，或65岁以上人口占总人口的比重达到7%作为国家或地区进入老龄化社会的标准。

这里我们选用60岁以上人口占总人口比例为计算依据。

根据我国1990-2012年人口老龄化数据（附表二），以年份t 为自变量，在Excel中用二次函数拟合（如图二）：图二:人口老龄化程度拟合曲线拟合函数为：y3=0.0054(t−1989)2+0.0924(t−1989)+8.2625此时决定系数R2=0.9904。

故根据该二次函数可得1990年以后老龄化水平不断上升，根据预期到2050年人口老龄化程度可达34%。

随着老年人口占总人口比重一步步增大，全社会的养老负担变得越来越重，故采取延迟法定退休年龄的方法可以缓解养老支付压力，维持养老保险基金的收支平衡。

人均受教育年限是指某一特定年龄段人群接受学历教育（包括普通教育和成人学历教育，不包括各种非学历培训）的年限总和的平均数。

假设学历为大专及以上、高中、初中、小学、文盲和半文盲的比例分别为Z1、Z2、Z3、Z4、Z5代替，则国民受教育水平的情况y4的计算公式为：y4=u1Z1+u2Z2+u3Z3+u4Z4+u5Z5这里u1=15,u2=12,u3=9,u4=6,u5=0。

通过计算得到2000-2010年国民受教育情况的数据（附表三），我们同样通过Excel拟合（如图三）：图三:人均受教育年限拟合图拟合结果为：y4=0.2005(t−1999)+6.8022此时R2=0.981，根据该线性函数模型我们分析可得人均受教育年限以相对稳定的增幅在逐步上升，这是由于国家对教育的重视度越来越高。

随着人均受教育年限的提高，人们初始就业年龄不断推后，若仍然采用原定退休年龄则使得实际就业年限缩短，使社会损失一部分劳动资源。