线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)
经济应用数学二(线性代数)
一、单项选择题 共 32 题1、 若A 为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=( )。
A . 15B . 60C . 405D . 452、 下列命题中正确的是（ ）。
A .任意n 个n +1维向量线性相关；B . 任意n 个n +1维向量线性无关；C . 任意n + 1个n维向量线性相关；D . 任意n + 1个n 维向量线性无关. 3、 方阵A 满足A3=0，则(E+A+A 2)(E-A)=（ ）。
A . EB . E-AC . E+AD . A4、A . 解向量B . 基础解系C . 通解D . A 的行向量5、 n 维向量组α1,α2,…αs （3≤ s≤ n ） 线性无关的充要条件是α1,α2,…αs 中（ ）。
A . 任意两个向量都线性无关B . 存在一个向量不能用其余向量线性表示C . 任一个向量都不能用其余向量线性表示D . 不含零向量6、 对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ ）。
A . 两矩阵的特征值相同；B . 两矩阵的秩相等；C . 两矩阵的特征向量相同；D . 两矩阵都是方阵。
7、 设λ=-3是方阵A 的一个特征值，则A 可逆时，A -1的一个特征值是 （ ）。
A . -3B . 3C .D .8、一个四元正定二次型的规范形为（）。
A .B .C .D .9、设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）。
A . |A|=0B . |E+B|=0C . |A|=0 或|E+B|=0D . |A|=0且|E+B|=010、矩阵A的秩为r，则知（）。
A . A中所有r阶子式不为0；B . A中所有r+1阶子式都为0；C . r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；D . r-1阶子式都为0。
11、设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（）。
A .B T A是n×k矩阵B .C T D是n×k矩阵C . BD T是m×s矩阵D . D T C是n×k矩阵12、设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（）。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)第 2 页 共 34 页《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题11.设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3.求解下列线性方程组：第 3 页 共 34 页⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a aj i=≠≠4.问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5.问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26.计算6142302151032121----=D 的值。
7.计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8.计算0111101111011110=D 的值。
第 4 页 共 34 页9.计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10.计算41241202105200117的值。
11.求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12.A 为任一方阵，证明TA A +，TAA 均为对称阵。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1999年)记行列式为f(x)．则方程f(x)=0的根的个数为A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：计算该行列式可以有多种方法．例如，为了便于降阶．先把第1列的(-1)倍分别加到第2、3、4列，得f(x)=(把第2行的(-1)倍加到第1行)故方程f(x)=0的根为x=0和x=1，于是知(B)正确．知识模块：行列式2．(2014年)行列式A．(ad-bc)2B．-(ad-bc)2C．a2d2-b2c2D．b2c2-a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2. 知识模块：行列式3．(1998年)没A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵．又k为常数．且k≠0．±1，则必有(kA)*=A．kA*B．kk-1A*C．knA*D．k-1A*正确答案：B解析：由于n阶行列式的每个元素的余子式都是一个n-1阶行列式，故｜kA｜的每个元素的代数余子式等于｜A｜的对应元素的代数余子式的k-1倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA)*的每个元素等于A*的对应元素的kn-1倍，即(kA)*=kn-1A*．知识模块：矩阵4．(2004年)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B 的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C．故有AE(1，2)E(3，2(1))=C．于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1))=所以只有选项(D)正确．知识模块：矩阵5．(2005年)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换AA*的第1列与第2列得BA*．B．交换AA*的第1行与第2行得BA*．C．交换AA*的第1列与第2列得-BA*．D．交换AA*的第1行与第2行得-BA*．正确答案：C解析：方法1：用排除法．以2阶方阵为例，设则由此可见，交换A*的第1列与第2列得-B*，而其它选项均不对．故只有(C)正确．方法2：记P为交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵．则由题设条件有B=PA，且｜B｜=-｜A｜，P-1=P．由A可逆知B可逆，利用B-1=｜B｜-1B-1．得B*=｜B｜B-1=-｜A｜(PA)-1=-(｜A｜A-1)P-1=-A*P或A*P==-B*因为用P右乘矩阵A*，等价于交换A*的第1列与第2列．故知选项(C)正确．知识模块：矩阵6．(2006年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则A．C=P-1AP．B．C==PAP-1.C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P．由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵则将E的第1列的-1倍加到第2列即得矩阵Q。
经济应用数学二(线性代数)
解得基础解系为 所以A的属于特征值 的全部特征向量为 。
37．将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。
答案：解：
38．将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。
答案：解：由于 中无平方项，故令 ，代入二次型，得
D.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）
答案：C
23．当A是正交阵时，下列结论错误的是（ ）.
A.A-1=AT
B.A-1也是正交阵
C.AT也是正交阵
D.A的行列式值一定为1
A－5E的一个特征值是（ ）.
A.1
B.－9
C.－1
D.9
答案：B
计算题
25．计算行列式D= 。
39．化二次型f(x1,x2,x3)=x12-4x1x2-4x1x3+2x22+3x32为标准型。
答案：
填空题
40．行列式D= 的转置行列式DT= ______。
答案：DT=
41．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____.
答案：10
42．若行列式 ，则x=________________。
k2+…+kt=0，
……，
kt=0，
所以k1=k2=…=kt=0矛盾。故向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt线性无关。
C.若A + B可逆,则A- B可逆
D.若A + B可逆,则A, B均可逆
答案：B
14．当（ ）时，A = 是正交阵.
(完整版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。
m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。
120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。
6C。
2 D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
｜A|≠0时B=C5。
已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。
2C。
3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
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《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算4124120210520117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2100430000350023A求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=311121111A 的逆。
18. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
19. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A的逆。
20. 求矩阵121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆。
三、计算题3 21. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A求矩阵A 的秩R (A )。
22. 求向量组4321,αααα,,的秩。
其中，)1,0,1(1-=α，)1,3,2(2-=α，)1,1,2(3-=α，)4,2,3(4-=α。
23. 设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧++-=-+=+-=321332123211αααβαααβαααβ试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。
24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？a 1=(a , 1, 1)T, a 2=(1, a , -1)T, a 3=(1, -1, a)T.25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T, a 2=(9, 100, 10, 4)T, a 3=(-2, -4, 2, -8)T。
四、计算题4 26. 求线性方和组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+-22133232321321x x x x x x x x27. 求解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+432636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x28. 当a 、b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x ax x x x x 有解，当其有解时，求出其全部解。
29. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-+=+-+0750532025242143214321x x x x x x x x x x x30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．32212221321442),,(x x x x x x x x x f --+= 32. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211110101A求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。
33. 求一个正交变换将二次型f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化成标准形。
35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角阵。
五、计算题5 （略）……答案一、计算题1 1. 解： 1120432M == 111111(1)4A M +=-=，（3分） 121212M ==- 121212(1)2A M +=-=-，（6分） 1312513M ==- 131313(1)5A M +=-=，（8分） 2. 解： 对照范德蒙行列式，此处a 1=4，a 2=3，a 3=7，a 4=-5 （3分）所以有441()i j i j D a a ≥>≥=∏- （5分）213141324243()()()()()()a a a a a a a a a a a a =------ (34)(74)(54)(73)(53)(57)=--------- =10368 （8分）3. 解：写出系数行列式D211112122221111n n n nn n a a a a a a D a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3分）D 为n 阶范德蒙行列式，据题设()i j a a i j ≠≠ 1()0i j i j nD a a ≤<≤=∏-≠ （5分）由克莱姆法则知方程组有唯一解。
易知 12,0,...,0n D D D D ===121,0n x x x ∴==⋅⋅⋅== （8分）4. 解 系数行列式为1111121D λμμμλμ==-. （4分） 令D =0, 得μ=0或λ=1. （6分）于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解. （8分）5. 解 系数行列式为12413423121111111D λλλλλλλ----+=-=---（4分） =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3+λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. （6分） 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解. （8分）二、计算题2 6. 解：（4分）（8分）（10分）7.解（2分）（4分）（6分）（8分）=-60（10分）8.解：（5分）（10分）9. 解：对于行列式，使用性质进行计算。
有 199119921993199419951996199719981999（第3列减第2列）（3分）119981997119951994119921991=（第2列减第1列）（6分） 111997111994111991=（由于2，3列对应相等）（8分） =0（10分）10. 解4124120210520011723434121012021032147010c c c c ---======--434110122(1)10314+--=⨯--（5分） 411012210314-=-23113299100020171714c c c c +======-=+.（10分）11. 解 将上述等式看成2A X B -= （2分）由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 2A B X -= ∴1()2X A B =-（4分） =2114331[]3111132---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭（6分）=62214042-⎛⎫⎪-⎝⎭（8分）=311202-⎛⎫⎪-⎝⎭（10分）12.证：对称阵：（20分）（4分）∴ 是对称阵. （6分）（8分）∴ 是对称阵（10分）13.解 AB（2分）（6分）（8分）（10分）14.解（3分）∴（6分）而（10分）15.解（1分）（3分）（5分）（7分）（9分）∴ X=A -1B（10分）16. 解：132153A -==-（2分）234212A == （4分）113232153531A ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（6分）12122411313222A --⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（8分）于是11112320053000012130022A A A ----⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭（10分）17. 解：（3分）（7分）∴ （10分）18. 证： 因为A 可逆，所以|A|≠0，（1分）且11*A A A-= 于是有 A *=|A|A -1 （3分）对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得|A *|=||A|A -1| =|A|n |A -1| （5分）又因|A -1|≠0 （∵A 可逆，由定义知A -1可逆）∴|A *|≠0所以A *是可逆的． （6分）因为（8分） 可知（10分）19. 解：令125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2分）于是1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则111111220000A A A A A ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分） 用伴随矩阵极易写出1112,A A --111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭（6分）1212121331111333A -⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭ （8分）（10分）20. 解 121342541A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. |A |=2≠0, 故A -1存在. （2分）因为112131122232132333420*136132142A A A A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, （6分） 所以 11*||A A A -=2101313221671-⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. （10分）三、计算题321. 解：对A 作初等行变换，将它化为阶梯形，有（2分）（4分）（6分）（8分）最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分）22.解：把排成的矩阵A（2分）（8分）这是一个"下三角形"矩阵（12分）23.解：由上视为的线性方程组，解出来。