专题一 第三讲 二次函数、指数函数、对数函数
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
(第3讲)二次函数、指数函数、对数函数、幂函数
题目 高中数学复习专题讲座二次函数、指数函数、对数函数、幂函数课程标准：（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ1．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义,掌握有理指数幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点；会画底数为2、3、10、12、13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、12、13的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 xy a =（a > 0,且 a≠1） 与对数函数log a y x = （a > 0,且a ≠1）互为反函数. 3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x ,y=x 2,y=x 3, 121,y y x x== 的图象，了解它们的变化情况.5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够借助计算器运用二分法求方程的近似解. （十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图.典型题例示范讲解例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围解： (1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0，∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b aca c acaaaa----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0，∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=ac acacf 的对称轴方程是1-=ac c∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)点评：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的关键点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合例2已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.解：（1）()20f x x +>Q 的解集为(1,3).()2(1)(3),0.f x x a x x a +=--<且 ∴.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=…………① 由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得……………… ② 因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ， 即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f（2）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-=及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.例3. 已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[ D ．]21,0(解析：已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称,则()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．（1）当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，lo g a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1log 2a, lo g 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a--≤，矛盾；（2）当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a]，要求对称轴log 211log 22a a--≥，解得12a ≤,所以实数a 的取值范围是]21,0(,选D.点评：.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图像交于C 、D 两点(1)证明 点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知 x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率 k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率 k 2=228222log 3logx x x x =，由此可知 k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上(2)解 由BC 平行于x 轴知 log 2x 1=log 8x 2即 log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1 又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83)点评：(1)证明三点共线的方法 k OC =k OD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标学生巩固练习1．若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间 ()4，∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．a ≥3B ． a ≤-3C ． a ≥-3D ． a ≤52．将函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为( C )A ．()15212-+=x yB ． ()51212-+=x y C ． ()11212++=x y D ．()1521-+=x y 3．二次函数()c bx ax x f ++=2中，a >0且a ≠1，对任意x R ∈，都有()()x f x f -=+21，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==a f n a f m aa1log 3log，，则（ B ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．m n 、的大小关系不确定4 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)解析 当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2答案 C5 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )A 正数B 负数C 非负数D 正数、负数和零都有可能解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A6 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图像只可能是( )解析 当a >1时，函数y =log a x 的图像只能在A 和B 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数 答案 B7． 设137x=，则( )（A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1解析211111,373973---<<\<<Q答案 A8．已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则( )A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>解：函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，所以()f x 是x y e =的反函数，即()f x =ln x ，∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>，选D.9.函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a =( ) (A) 2=a (B)12=a (C) 4=a (D) 14=a解析：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；故选择B .10．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ C ）A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-11．若函数3()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数12.设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q <<解析：2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A.13.已知0loglog,10<<<<n m a aa，则( )(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1 解析：由10<<a 知函数()x x f a log =为减函数， 由0loglog<<n m aa得1>>n m ，故选择A.14.设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ A ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<15. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数y x a =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ A ）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,316.设1a >，函数()lo g a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ A ） A．B ．2 C． D ．417. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( C) (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c18.设a ＞1,且2log (1)log (1)log (2)a a a m a n a p a =+=-=，，,则p n m ,,的大小关系为( B )(A) n ＞m ＞p(B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p(D) p ＞m ＞n19．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则( )A.c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<解析: 因为a b c ，，均为正数，所以12121log 1;2aa a >⇒>⇒<1211010log 1122bb b ⎛⎫<<⇒<<⇒<< ⎪⎝⎭；21010log 1122c c c ⎛⎫<<⇒<<⇒<< ⎪⎝⎭，故选A20. 在x y x y x y y x2cos ,,log,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．321. 函数2()cos 3cos 2f x x x =-+的最小值为 ．（答案：0） 22．指数函数xa y )1(2-=在R 上是减函数.则实数a 的取值范围是[1]--U .23．若0a >，2349a =，则14log a = ．324．函数1(1)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0m x n ym n +-=>上，则11mn+的最小值为 4 ．25．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f =12007．26. 2()21f x x ax a =-++-在[01]，上有最大值2，则a 的值为 ． 解：22()()1f x x a a a =--+-+．（1）当0a <时，max ()(0)2f x f ==，得1a =-．（2）当01a ≤≤时，m ax ()()2f x f a ==，解得[01]2a =，，故该方程在[01]，上无解．（3）当1a >时，max ()(1)2f x f ==，得2a =． 综上：1a =-或2a =．。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。
指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。
一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。
（3）当x=0时，指数函数的值为1。
（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。
2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。
（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
专题一第三讲二次函数指数函数与对数函数解读
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变式训练 专 题 一 集 合 、 函 数 与 导 数 1．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且x≤1时，
f(x)≥0；1≤x≤3时，f(x)≤0恒成立． (1)试判断b，c之间的关系式； (2)当c>－1时，是否存在实数m使得g(x)＝f(x)－m2x 在区间(0，＋∞)上是单调递增函数？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由．
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专 题 一 集 合 、 函 数 与 导 数
【题后拓展】 函数应用主要是指运用函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性以及用函数的图象解决 函数的综合问题，注意运用函数知识解决贴近生产、 生活、科研中的实际问题． 函数应用主要体现函数与方程的思想、等价转换的 思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等数学思 想的综合运用，以及函数知识与其他数学知识的综 合运用．
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3xx≤1 2．已知函数 f(x)＝ 1 ，则函数 y＝ log xx>1 3 f(1－x)的大致图象是( )
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专 题 一 集 合 、 函 数 与 导 数
1 (2)0≤x≤5 时，f(x)＝－ (x－4.75)2＋10.78125. 2 ∴在 x＝4.75 时，f(x)有最大值 10.78125， 当 x>5 时 ， f(x) ＝ 12 － 0.25x<12 － 0.25× 5＝ 10.75<10.78125， 综上所述，当 x＝4.75 时，f(x)有最大值，即当 年产量为 475 件时，公司可获得最大年利润．
指数与对数函数知识点小结
指数与对数函数知识点小结在数学的世界里，指数函数和对数函数是非常重要的两类函数，它们在数学的各个领域以及实际生活中都有着广泛的应用。
下面让我们一起来梳理一下这两个函数的相关知识点。
一、指数函数指数函数的一般形式为\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\）），其中\（a\）被称为底数，＼（x\）是自变量，＼（y\）是因变量。
1、定义域指数函数的定义域是\（R\），也就是全体实数。
2、值域当\（a ＞ 1\）时，值域为\（（0, ＋∞）＼）；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，值域同样为\（（0, ＋∞）＼）。
3、单调性当\（a ＞ 1\）时，函数在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在\（R\）上单调递减。
4、图像特点（1）当\（a ＞ 1\）时，指数函数的图像是上升的，且过点\（（0, 1)＼）。
（2）当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数的图像是下降的，同样过点\（（0, 1)＼）。
5、指数运算性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（3）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）6、指数函数的应用（1）在经济领域，常常用于计算复利。
（2）在生物学中，可以描述细胞的分裂增长等现象。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般形式为\（y ＝ log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））。
1、定义域当\（a ＞ 1\）时，定义域为\（（0, ＋∞）＼）；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，定义域也是\（（0, ＋∞）＼）。
2、值域对数函数的值域是\（R\），即全体实数。
3、单调性当\（a ＞ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减。
4、图像特点（1）对数函数的图像都过点\（（1, 0)＼）。
（2）当\（a ＞ 1\）时，图像在\（（0, ＋∞）＼）上是上升的；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，图像在\（（0, ＋∞）＼）上是下降的。
指数函数、对数函数、幂函数图像及性质讲义
精选文档指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点；理解对数的观点及其运算性质，理解对数函数的观点，理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。
认识指目标数函数y=a x与对数函数ylog a x 互为反函数〔a0,且a1〕。
认识幂函数的概11念。
联合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y ，y x 2的图象，认识它们的变化状况。
x要点指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。
难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。
方法建议第一回首指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等根底知识。
再经过经典例题的解析，帮助学生理解根底知识，加深对知识的认识和记忆。
再通过精题精练，使学生形成能力。
在例题和习题的选择上能够依据学生的实质状况进 行。
讲堂精讲例题 搭配讲堂训练题 课后作业程度及数目A 类 〔4 〕道 〔4 〕道 〔11 〕道B 类 〔3 〕道 〔3 〕道 〔10 〕道C 类 〔0〕道 〔0〕道 〔0〕道理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点。
理解对数的观点及其运算性质。
理解对数函数的观点， 理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。
认识指数函数 y=a x 与对数函数y log a x 互为反函数〔 a 0,且a 1〕。
认识幂函数的观点。
联合函数 y=x ，y=x 2，y=x 3，1y1，yx 2的图象，认识它们的变化状况。
指数函数、对数函数在高中数学中据有十x分重要的地位，是高考要点考察的对象， 热门是指数函数、 对数函数的图象与性质的综合应用．同时考察分类议论思想和数形联合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其余知识联合在知识交汇点处命题。
人教版高三数学二次函数、函数的图像、指数、对数方程知识精讲
高三数学二次函数、函数的图像、指数、对数方程知识精讲一. 本周教学内容：二次函数、函数的图像、指数、对数方程（一）基本知识 1. 二次函数（1）定义：形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数。
（2）图像：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。
（）性质：单调性，以顶点横坐标为分界线，即分为和，，322(][)-∞--+∞b a ba（4）解析式：一般式：f x ax bx c a ()()=++≠20 顶点式：f x a x k h a ()()()=++≠20 零点式：f x a x x x x a ()()()()=--≠120 求解析式一般用待定系数法。
（5）二次函数的应用 有关二次函数图像的应用：1° 利用二次函数图像解一元二次方程； 2° 利用二次函数图像解一元二次不等式；3° 利用二次函数图像讨论，一元二次方程根的分布：如下表（设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)）二次函数在闭区间上的最值设，，f x ax bx c a x m n ()()[]=++≠∈20 当，x bam n =-∈2[]时，f(x)在顶点处取得一个最值，另一个在区间端点处取得；当x bam n =-∉2[]，时，f(x)的最大值和最小值分别为f(m)，f(n)或f(n)，f(m)。
2. 函数的图像（1）画函数图像的方法： 描点法：利用函数性质画图像； 利用图像变换和坐标平移变换。
（2）能熟练地画出基本函数的图像：如：一次函数、二次函数、幂、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等，通过这些图像的变换组合可得复杂函数的图像。
（3）画函数图像的一般步骤： 1° 确定函数解析式；2° 化简函数解析式；3° 讨论函数图像的性质（定义域、值域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点）。
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∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
1．(2011· 福建高考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不 相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．(－1,1) B．(－2,2) ( )
1 (2)其他面的淋雨量之和，其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨 2 3 量．当移动距离 d＝100，面积 S＝ 时， 2 (1)写出 y 的表达式； (2)设 0＜v≤10,0＜c≤5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少．
[ 解]
(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为
[做考题
查漏补缺]
(2011· 湖南高考)如图，长方体物体 E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速 移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的 分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两 部分：
(1)P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量，假设其值与 |v－ c|×S 成正比，比例系数为 1 ； 10
[联知识
串点成面]
指数函数与对数函数的性质： 指数函数y＝ax(a>0 且a≠1) 定义域 (－∞，＋∞) 对数函数y＝ logax(a>0且a≠1) (0，＋∞)
值域
不变性
(0，＋∞)
恒过定点(0,1)
(－∞，＋∞)
恒过定点(1,0)
指数函数y＝ax(a>0且 对数函数y＝logax(a>0
a≠1)
[悟方法
触类旁通]
应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键， 转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟
知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案， 进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即 对实际问题进行总结作答．
航行速度行驶？
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为 0.5x2(0＜x≤50)， 300 从甲地到乙地所用的时间为 x 小时， 则从甲地到乙地的运输成本 300 300 y＝0.5x ·x ＋800·x (0＜x≤50)，
2
300 300 故所求的函数为 y＝0.5x2·x ＋800·x
1 ＝150x＋
[解析] 作出函数f(x)的图像，如图， 由图像可知，当0＜k＜1时，函数 f(x)与y＝k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． [答案] (0,1)
[点评] 本题求解利用了数形结合的方法，方程根的问题
转化为直线y＝k和函数y＝f(x)的图像的交点个数，y＝(x－ 1)3的图像可利用y＝x3图像向右平移一个单位得到．
[文](2011· 宣武区模拟)若 c 的大小关系为 A．a>b>c C．c>b>a
1 － a＝20.3，b＝0.3 2，c＝log 1 2，则
2
a，b， )
( B．a>c>b D．b>a>c
1 解析：分别结合指数函数与对数函数的图像可得，a＝20.3∈(0,1)，
b x1＋x2 解析： ∵f(x1)＝f(x2)， ∴f(x)的对称轴为 x0＝－ ＝ .得 f(x1 2a 2
b b b2 － ＋c＝c. ＋x2)＝f－a＝a·2＋b· a a
答案：C
[悟方法
触类旁通]
求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合， 特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的 问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间 中点，一轴指的是对称轴.
函数与方程是近几年高考的热点，由于两函数图像的 交点横坐标就是方程的根，所以可由零点(方程实根)的个 数确定相关参数的值或范围，2011年北京卷第13题就考查 这一点．
2 ， x≥2 (2011· 北京高考)已知函数 f(x)＝x 若关于 x 的方程 3 x－1 ，x<2. f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是________．
.
故函数 u＝f(a)的图像大致是 C.
答案: C
6．(2011· 广州模拟)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、 乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成， 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比
(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最
大航行速度为50海里/小时． (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海 里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的
解析：设矩形花圃的长为 x m(a≤x<12)，则此矩形花圃的面积 S(x) ＝x(16－x)＝64－(x－8)2， ①当 0<a≤8 时，S(x)max＝S(8)＝64； ②当 8<a<12 时，S(x)max＝S(a)＝64－(a－8)2， 故
64，0<a≤8 u＝f(a)＝ 2 64－a－8 ，8<a<12
知考情 第3讲 二次 函数、 指数 函数、 对数 函数
研考题
析考向
战考场
高频考点
考情解读 二次函数多与一元二次
考查方式
二次函数 方程、一元二次不等式 结合命题，多为中档题 指数函 数与对 考查两种函数的图像和 性质，求解时有时用到
选择题和填空题
Hale Waihona Puke 题型以选择题、填空题为主，也 有可能在解答题 中考查
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.
答案：C
2．(2011· 安徽蚌埠二中)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，如果 f(x1) ＝f(x2)(x1≠x2)，则 f(x1＋x2)＝ b A．－2a C． c b B．－a 4ac－b2 D. 4a ( )
[做考题
x∈[－5,5]．
查漏补缺]
(2011· 深圳质检)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2， (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调
函数．
[解] (1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
600 x (0＜x≤50)．
1 (2)法一：由(1)y＝150 x＋
600 x
≥150×2
1 600 x× x ＝12 000，
1 600 当且仅当 x＝ x ，即 x＝40 时取等号． 故当货轮航行速度为 40 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
1 法二：由(1)y＝150 x＋
[解 ]
(1)由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 4 ＝0，解得 a＝2. 2a ＋ a
0
故必有 f(0)＝0，即 1－
(2)由(1)知 y＝f(x)＝1－
x
1＋y 2 x ，得 2 ＝ . 2x＋1 1－y
1＋y ∵2 >0，∴ >0，解得－1<y<1， 1－y 故函数 f(x)的值域是(－1,1)．
3． (2011· 辽宁高考)设函数 的 x 的取值范围是 A．[－1,2] C．[1，＋∞)
1－x ，x≤1， 2 f(x)＝ 1－log2x，x＞1，
则满足 f(x)≤2 ( )
B．[0,2] D．[0，＋∞)
解析：当 x≤1 时，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；当 x＞ 1 1 时，1－log2x≤2，解得，x≥2，所以，x＞1.综上可知 x≥0.
5．(2011· 深圳模拟)如图，有一直角墙角，两 边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙
的距离分别是a m(0<a<12)、4 m，不考虑
树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个 矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值 为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图像大 致是 ( )
x 2 －1，x＞0， 已知函数 f(x)＝ 2 －x －2x，x≤0，
若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零
点，则实数 m 的取值范围是________．
解析：在坐标系内作出函数 的图像，如右图所示：
x 2 －1，x＞0， f(x)＝ 2 －x －2x，x≤0
答案: D
4．[理](2011· 武汉模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)
在(0，＋∞)上单调递增”的 A．充分必要条件 C．充分不必要条件 ( B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
解析: ∵f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增⇔a>0， ∴a＝1是f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增的充分 不必要条件． 答案: C
数函数
导数
高频考点
考情解读 函数的实际应用经常与数列、 导数、不等式等相结合，以生
考查方式
函数的实
活中的问题为命题背景，主要 际应用 考查函数的单调性、导数、均 值不等式等知识
题型以解
答题为主
[联知识 串点成面] 二次函数的图像与性质： (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是抛物线 ①过定点(0，c)； 2 b b 4ac－b ②对称轴为 x＝－ ，顶点坐标为(－ ， )． 2a 2a 4a b b (2)当 a＞0 时，图像开口向上，在(－∞，－ ]上单调递减，在[－ ，＋ 2a 2a 4ac－b2 ∞)上单调递增，有最小值 ； 4a b b 当 a＜0 时，图像开口向下，在(－∞，－ ]上单调递增，[－ ，＋∞) 2a 2a 2 4ac－b 上单调递减，有最大值 . 4a