收益还原法公式推导过程知识讲解
第05章 收益还原法
同类建筑物的建造成本进行分析计算。
3. 房屋成新度：是指房屋建筑物在估价期日的新旧状况。
4. 房屋年折旧：是指房屋在使用过程中因损耗而在租金 中补偿的那部分价值，计算中通常以单位年期为准。 5. 房屋总折旧：是指房屋建筑物在已使用年限内由于物 理、经济和功能等因素引起的房屋折旧总额，通常采
式中：P、a、r、b、n同前。
（六）纯收益按一定比率递增或递减
1．土地使用年期无限
a P rs
（5-8）
式中：P、a、r同前； s——纯收益逐年递增或递减的比率， 2．土地使用年期有限
1 s n a P 1 r s 1 r
（5-9）
2．土地使用年期有限
P
i 1
t
ai
1 r i
1 1 t r (1 r ) 1 r n t a
（5-4）
成立条件：年期无限；其它同①②③。
（四）未来若干年后的土地价格已知
t 1 i 1
P
ai (1 r ) i
Pt (1 r ) t
（3）企业经营收益：指企业在正常的经营管理水平下每年所 获得的客观总收益。
在计算总收益时，还应该准确分析测算由评估对象所引
起的其他衍生收益，确定的原则是只要由评估对象所产生的并 为其产权主体所取得的收益均应计入总收益之中。
（二）总费用计算方法
土地总费用分3种情况： 1．房地出租中总费用的计算 总费用包括： （1）维修费：指为保证房屋的正常使用每年需支付的修缮 费。它的计算方法一般有造价比例法、定期轮休法、经验估 计法等，通常可按建筑物的重置价的1.5%～2%计算。 （2）管理费：指对出租房屋进行的必要管理所需的费用。 分为两部分：一是出租经营过程中消耗品价值的货币支出， 另一是管理人员的工资支出，通常以年租金的2%～5%计。
土地估价收益还原法
土地估价收益还原法一.收益还原法的基本原理收益还原法是将预计的待估土地未来正常年纯收益(地租),以一定的土地还原利率将其统一还原为评估时点后累加,以此估算待估土地的客观合理价格的方法。
土地未来地租的资本化是其基本原理。
收益还原法的基本公式如下:P=a/r[1-1/(1+r)m]式中:P--有限年期土地收益价格;a--年土地纯收益;r--土地还原利率;m--土地使用年期。
二.运用收益还原法评估宗地价格的程序1.搜集与待估宗地有关的收益和费用等资料;2.估算年总收益;3.估算年总费用;4.计算年纯收益;5.确定还原利率;6.选用适当的计算公式求得试算收益价格;7.确定待估宗地地价。
2.3 总收益指客观总收益,即合理使用不动产过程中持续而稳定获得的正常年收入,包括租金收入、保证金和押金的利息收入等。
2.4 总费用2.4.1 土地租赁中的总费用土地租赁中的总费用主要包括:1.土地使用税;2.土地管理费;3.土地维护费;4.其他费用。
2.4.2 房地出租中的总费用房地出租中的总费用主要包括:1.经营维修费;2.经营管理费;3.房屋年保险费;4.房屋出租年应交税金;5.房屋年折旧费;6.房资本的利息7.其他费用。
2.4.3 经营性企业房地产中的总费用经营性企业房地产中的总费用主要包括:1.销售成本;2.销售费用;3.经营管理费;4.销售税金;5.财务费用;6.经营利润。
2.4.4 生产性企业房地产中的总费用生产性企业房地产中的总费用主要包括:1.生产成本,包括原材料费、人工费、运输费等;2.产品销售费;3.产品销售税金及附加;4.财务费用;5.管理费用;6.企业利润。
2.5 求取年纯收益1.土地租赁中的土地年纯收益求取:土地年纯收益=年租金收入―年总费用2.房地出租中的土地年纯收益求取:::土地年纯收益=房地产年纯收益―房屋年纯收益房地产年纯收益=房地产出租年总收入-房地产出租年总费用房屋年纯收益=房屋现值×建筑物还原利率3.经营性企业房地产中的土地年纯收益求取:房地产年纯收益=经营总收入―经营总费用土地年纯收益=房地产年纯收益-房屋年纯收益4.生产性企业房地产中的土地年纯收益求取:土地年纯收益=生产总收入―生产总成本5.自用土地或待开发土地的年纯收益求取:自用土地或待开发土地的年纯收益可采用比较法求取,即比照类似地区或相邻地区有收益的相似土地的纯收益,经过区域因素、个别因素的比较修正,求得其土地纯收益。
第五章 收益还原法
③未来若干年后的房地产价格已知 当未来某年的房地产价格已知，而已知房地产价格 的年份以前的纯收益有变化（不变是特例），r每年 不变且大于零时，房地产价格的计算公式如下：
④纯收益按等差级数递增或递减 a、房地产使用年期无限
b、房地产使用年期有限 式中：P、a、r、b、n同前。 公式中符号的选取，当纯收益按等差级Байду номын сангаас递增时取 上面的符号，递减时取下面的符号。
• 还原利率应按下列方法确定： • 1. 不动产纯收益与价格比率法：应选择三宗以上近期发生交易的， 且在交易类型上与待估不动产相似的交易实例，以交易实例的纯收益 与其价格的比率的均值作为还原利率。 • 2. 安全利率加风险调整值法：即：还原利率=安全利率+风险调整 值。安全利率可选用同一时期的一年期国债年利率或银行一年期定期 存款年利率；风险调整值应根据估价对象所处地区的社会经济发展和 不动产市场等状况对其影响程度而确定。 • 3. 投资风险与投资收益率综合排序插入法：将社会上各种相关类型 投资，按它们的收益率与风险大小排序，然后分析判断估价对象所对 应的范围，确定其还原利率。 • 在确定土地还原利率时，还应注意土地所有权价格的还原利率和土地 使用权价格的还原利率存在区别。土地所有权的权利大于土地使用权， 其风险也比土地使用权小。因此，其二者的还原利率是有差别的。
• 五、应用范围 • 收益还原法是以求取房地产纯收益为途径 评估房地产价格的方法，它仅使用于有收 益或有潜在收益的土地、建筑物、和房地 产的估价，尤其是房屋租赁的估价，其他 情况下的适用性有待考虑。
第二节 收益法估价步骤
• 五、确定土地还原利率 • 还原利率分为综合还原利率、土地还原利率和建筑 物还原利率，三者之间的关系应按下面公式确定： • r=(r1L+r2B)/(L+B) • 式中：r——综合还原利率； • r1——土地还原利率； • r2——建筑物还原利率； • L——土地价格； • B——建筑物价格。
收益还原法
a
1
r
1
1
r
n
n ——为土地使用年限
四、收益还原法的特点
• 1．收益还原法的特点
• （1）具有很强的理论基础-地租理论和生产要素分配理 论。
• （2）以收益为途径评估土地的价格。 • （3）收益还原法评估结果的准确度，取决于土地的纯收
益及还原利率的准确程度。
• 谢谢观看
• 4. 房屋年折旧：是指房屋在使用过程中因损耗而在租 金中补偿的那部分价值，计算中通常以单位年期为准。
• 5. 土地还原利率：是指用以将土地纯收益还原成为土 地价格的比率。
二、理论依据
•
收益还原法的理论依据是地产的预期收益原理。
•
采用收益还原法计算房地产价格的原理与银行存
款是一样的，占有某块土地时，现在能为我们提供纯收
益，在将来能够继照一定的利率，折算出
房地产现在价值总额。（以年期来计算）
•
具体表述：
•
假设某人有一宗地，1000元/平方米年的纯收
益（看作存款利息），此人对这宗土地纯收益只要能
以5％的原本年利还原就能满意。那么这人的土地收益
价值应该是1000/5％＝20000元/平方米（折算成房地产
收益还原法
人文地理任晓瑜 2017111364
第一节 收益还原法原理
• 一、基本概念 • 二、理论依据 • 三、收益还原法的基本公式 • 四、收益还原法的特点
一、基本概念
1. 收益还原法: 是将房地产预期未来各年的正常纯收益 以适当的还原利率折现求和，求取待估房地产在一定 时点、一定产权状态下价格的一种估价方法。
•
《 规程》：是将待估宗地未来正常年纯收益（地
房地产估价方法收益还原法
1、计算K40和K30:分别为0.978，0.943 2、求取30年收益权利的价格
=2500×0.943/0.978 =2410元
使用年限相差10年（25%），为什么两者的收益权 利价格却只相差90元（3.75%）？
资金等值概念
❖ 不同年限价格之间的换算隐含着的基本前提是：
❖ 报酬率r相等且大于零
解：本题通过基准地价求取பைடு நூலகம்宗工业用地目前的价格，实际上 就是将使用年限为法定最高年限(50年)的基准地价转换为45年(原 取得的50年使用年限减去已使用5年)的基准地价。具体计算略
N0是估价对象的剩余使用年 限
Ni是第i个比较案例的剩余使 用年限
对于资金的时间价值，可以从两个方面理解：
(1)随着时间的推移，资金的价值会增加，这种现象叫资金 增值。
(2)资金一旦用于投资，就不能用于即期消费。
资金时间价值的大小，取决于多方面的因素。从投资 的角度来看主要有；投资利润率，即单位投资所能取得 的利润；通货膨胀率，即对因货币贬值造成的损失所应 得到的补偿；风险因素，即对因风俭可能带来的损失所 应获得的补偿。
4、所有公式均是假设净收益相对于估价时点发生在期末；
5、公式中ai ，r，n的时间单位是一致的，通常为年，也可以为 月、季、半年等。
(二)净收益每年不变 净收益每年不变的公式具体有两种情况：一是收益期限为无限 年；二是收益期限为有限年。 1、收益期限为无限年
2、收益期为有限年
万元
❖ 假设某宗房地产在未来40年内的年纯收益为50万元，报酬 率为8%，求其未来各年的收益现值。
(1 0.5%)12 1 6.17%
第3节 收益法的基本公式
(一)最一般公式
收益还原法
一、收益还原法的基本公式：（一）纯收益、还原率有变化的土地价格计算公式P=a1/(1+r1)+ a2/(1+r1) (1+r2) +…+a n/(1+r1) (1+r2)…(1+r n)（二）土地纯收益、还原率不变的土地价格计算公式（有限年期和无限年期）P=a/r[1—1/(1+r)n]（三）土地纯收益在若干年内有变化的土地价格计算公式（有限年期和无限年期）r不变且大于零P=∑a i/(1+r)i+ a/r(1+r)t （无限年期）P=∑a i/(1+r)i+ a/r(1+r)t[1—1/(1+r)n—t]（有限年期）t纯收益有变化的年限（四）未来若干年后的土地价格已知的条件下的计算公式P=∑a i/(1+r)i+ p/(1+r)t t未来土地价格已知的年限（五）纯收益按一定比率递增或递减时的土地价格计算公式（有限年期和无限年期）P=a/(r+s)P=a/(r+s){1—[(1)/(1+r) ] n} r不变，递增时r〉s，递减时（r+s）〉0纯收益第一年a，则第二年为a(1±s)，第三年为a(1±s)2，第n年为a(1±s)n（六）纯收益按等差级数递增或递减时的土地价格计算公式（有限年期和无限年期）P= a/r±b/r2P= (a/r±b/r2) [1—1/(1+r)n] +b/r[n/(1+r) n]纯收益第一年a，则第二年为a±b，第三年为a±2b，第n年为a±（n-1）b二、总纯收益计算方法：根据土地参与生产经营过程的形式和业主以土地取得收益的方式不同，总收益产生的形式有以下几种情况：1、土地租金2、房地出租的租金3、企业经营收益土地纯收益的计算可以根据具体评估对象的不同和总收益、总费用的计算方式不同采用不同的计算方法（1）土地租赁中的土地纯收益土地纯收益=年租金总收入—年总费用（2）房屋出租中的土地纯收益土地纯收益=房地纯收益—房屋纯收益房地纯收益=房地出租年总收入—房地出租年总费用房屋纯收益=房屋现值*建筑物还原率房屋现值=房屋重置价*房屋成新度=房屋重置价—房屋总折旧房屋总折旧额=房屋年折旧额*已使用年限（3）企业经营中土地纯收益企业经营纯收益=年经营总收入—年经营总费用土地纯收益=企业经营纯收益—非土地资产纯收益三、总费用的计算（一）土地租赁中的总费用的计算单纯土地租赁总费用包括：1、土地税2、管理费（一般以租金额的3%计算）3、维修费（二）房地出租中的总费用1、管理费（以年租金的2%~5%）2、维修费（按建筑物重置价的1.5%~2%）3、保险费（按建筑物重置价或现值乘以保险费率，1.5‰~2‰）4税金（分为月租在120元以下只缴纳12%房产税，在120元以上除房产税外，还按租金额缴纳营业税5%、附加城建税0.35%、教育税0.05）5、计算房屋折旧费年折旧费=（房屋重置价—残值）/耐用年限=[房屋重置价*（1—残值率）] /耐用年限=房屋重置价/房屋可使用年房屋可使用年=土地出让前房屋已使用年限+土地出让年限（三）企业经营费用的计算通常包括：原料费、运输费、折旧费、工资、税金、应摊提费用以及其他应扣除的费用按经营方式分为：（1）经营性企业费用包括：销售成本、销售费用、经营管理费、销售税金、财务费用和经营利润等；（2）生产性企业费用包括：生产成本、产品销售费、产品销售税金及附加、财务费用和管理费用等计算方法;1、根据企业的财务报表进行分析调整计算2、根据企业生产经营或服务的项目计算（平均成本）四、还原率种类：1、综合还原率r 2、建筑物还原率r23、土地还原率r1 （安全利率+风险调整值）(r1＜r ＜r2)三者换算公式：r=（r1L+ r2 B）/(L+B) r=[ r1L+( r2+d)B] /(L+B) L地价B建筑物价格d建筑物折旧率五、利用收益还原法评估承租土地使用权价格P=PR/r（1—1/（1+r）n）PR赢余租金（市场租金与实际租金的差额）r承租土地使用权还原率六、实例1、某城市住宅用地容积率与地价的关系是：以容积率等于3为基准，容积率每增加0.1，宗地地价就提高5个百分点。
房地产评估——收益还原法
四、未来若干年后的房地产价格已知p103
当未来某年的房地产价格已知，而已知 房地产价格的年份以前的纯收益有变化（不 变是特例），r每年不变且大于零时，房地 产价格的计算公式如下：
ai pt P i t ( 1 r ) ( 1 r ) i 1
如果净收益每年不变为A,则房地产价格为
A v r
V —房地产在估价时点的收益价格 A—房地产每年净收益(假设发生在年末) r —房地产的资本化率（折现率）
适用条件：（1）净收益每年不变为A； （2）资本化率r每年不变且大于零； （3）收益年限为无限年
[例5-1 ]有一房地产正常情况下 的年纯收益为20万元，资本化 率为10%，其经济耐用年限可 V 视为无限年，试计算该房地产 的收益价格。
六、净收益按一定比率递增的公式
有限年
n A 1 g r g时，v 1 (r g ) 1 r An r g时，v 1 r
假设前提是：（1）净收益按等比级数递增 （2）收益年限n为有限年。 【例5-9】某宗房地产预计该房地产未来第一年的净收益为20 万元，此后在使用年限50年内每年的净收益会在上一年的基 础上增长2％；该类房地产的资本化率为10％。试求该宗房 n 地产的收益价格。 A 1 g
例题p119-17
3、市场比较法中土地使用权年限的修正p101-11
三、房地产净收益在未来的前若干年有变化的公式
无限年
Ai A v i t ( 1 r ) r ( 1 r ) i 1 t 净收益有变化的年限
t
假设前提是： （1）净收益在前t年（含第t年）有变化， 分别是 A1，A2，…，At ,在t年以后无变化为A； （2）资本化率r大于零；（3）收益年限为无限年。
收益还原法
收益还原法收益还原法，是将待估宗地未来正常年纯收益（地租），以一定的土地还原率还原，以此估算待估宗地价格的方法。
㈠基本原理公式：P＝（a/r）×[1－1/（1＋r）n]式中：P—土地收益价格a—年土地纯收益r—土地还原率（r＞0）n—未来土地使用年期㈡估价过程1.土地年总收益⑴土地租金①租金案例因素条件说明②因素条件指数及修正⑵土地年总收益2.土地年总费用①土地使用税②土地管理费③相关税金3.土地年纯收益4.收益价格附：估价案例附：收益还原法收益还原法，是将待估宗地未来正常年纯收益（地租），以一定的土地还原率还原，以此估算待估宗地价格的方法。
㈠基本原理公式：P＝（a/r）×[1－1/（1＋r）n]式中：P—土地收益价格a—年土地纯收益r—土地还原率（r＞0）n—未来土地使用年期㈡估价过程1.土地年总收益⑴土地租金根据委托方提供的资料及估价人员调查收集到的资料，本次评估选择了与估价对象区域条件相同的仓储出租案例，通过因素修正确定年租金。
确定方法如下：A、租金案例因素条件说明我们对估价对象及比较实例进行实际调查，估价对象与比较实例的各因素条件见表1-2《因素条件说明表》。
表1-1 案例租金说明表案例位置使用权人土地用途土地面积(m2) 出租时间年租金比较实例1 ##县##镇##镇粮库仓储用地2318 2015.12 3.4万元比较实例2 ##县##镇##镇水果站仓储用地2463 2015.12 3.6万元比较实例3 ##县##乡##乡居民工业用地1982 2015.12 3.0万元表1-2 因素条件说明表因素条件##县－1 比较实例1 比较实例2 比较实例3 年租金（元/㎡）待估14.67 14.62 15.14 交易时间2015.12.31 2015.12.31 2015.12.31 2015.12.31 土地用途工业用地仓储用地仓储用地工业用地土地面积无不利影响无不利影响无不利影响无不利影响土地位置位于村镇规划区内位于村镇规划区内位于村镇规划区内位于村镇规划区内交通状况距主干道500-1000米或距次干道小于500米邻交通型次干道或距主干道小于500米邻交通型次干道或距主干道小于500米邻交通型次干道或距主干道小于500米对外交通便捷度距##火车站大于10公里，距乡镇汽车站1公里左右距##火车站大于10公里，距乡镇汽车站1公里左右距##火车站大于10公里，距乡镇汽车站1公里左右距##火车站大于10公里，距乡镇汽车站1公里左右基础设施完善度红线外四通，完善度一般红线外四通，完善度一般红线外四通，完善度一般红线外四通，完善度一般产业集聚度聚集度较高聚集度一般聚集度一般聚集度一般规划限制无限制无限制无限制无限制宗地地势山坡地形，坡度平缓平地地形，有所起伏平地地形，有所起伏平地地形，有所起伏宗地形状较规则较规则较规则较规则临路状况临近乡村道路临近县道临近县道临近县道土地面积无不利影响无不利影响无不利影响无不利影响土地利用率容积率0.1～0.05，利用率较低容积率＜0.05，利用率低容积率＜0.05，利用率低容积率＜0.05，利用率低B、因素条件指数确定及因素修正①土地位置修正。
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收益还原法公式推导过程收益法公式的推导过程首先，要知道两个最基本的公式，即等比数列求和公式、收益还原法的一般公式，其它所有公式都是在这两个基本公式的基础上推导出来。
等比数列求和公式 ：设首项为a 1,公比为q , a n 为第n 项，Sn 为前n 项之和，则：11n n a a q-= 111n n q S a q -=⨯-上述公式中的q 的含义是等比数列的公比（即q=a 2/a 1），当采用s 表示递增或递减率时公式为：11(1)n n a a s -=+ 11(1)1(1)1(1)1n n n s s S a a s s+-+-=⨯=⨯+- Sn 的推导过程如下：1231...n n n S a a a a a -=+++++ ①在上式两边分别乘以q ，可得1231...n n nqS qa qa qa qa qa -=+++++234...n n a a a a qa =+++++ ②①-②可得：1111111(1)(1)n n n n n q S a qa a qa q a a q a q --=-=-=-=-1(1)1n n q S a q -=⨯-收益还原法的一般公式 ：收益还原法一般公式的原理是把各年的资金全部折现到估价时点。
1211212...(1)(1)(1)(1)(1) (1)n n a a a P r r r r r r =+++++++++当还原利率每年不变为r 时，上述公式变为：122...(1)(1)(1)n n a a a P r r r =++++++ 当还原利率每年不变为r 时，纯收益也不变为a 时，公式变为：2...(1)(1)(1)na a aP r r r =++++++ 一、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于零，土地有限使用年期下的计算公式：1(1)(1)n a P r r =-+ 以下为推导过程：由于a 和r 每年都不变，根据收益还原法的一般公式，可知：2...(1)(1)(1)na a aP r r r =++++++ ①12(1)(1)...(1)(1)(1)n n n n n a r a r a r r r --++=++++++ ②12(1)(1)).1.(.1nn n a r r r --++++++= ③上述公式③中的分子（红色字体部分），即为一个首项为1，公比为(1+r)的等比数列的和，把等比数列求和公式代入到上述公式③中可得：(1)11(1)1(1)n nr r P a r +-⨯+-=+(1)1(1)n n r r a r +-=+(1)1(1)n nr a r r +-=+(1)1(1)n na r r r +-=⨯+ 11(1)na r r =-+【】 二、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于零，土地无限年期下的计算公式：土地无限年期，则n=无穷大，则上述公式中的=01(1)nr +极限值，则： 10a a P r r=-【】=三、当t 年以前（含t 年）纯收益有变化，其值为ai ，t 年以后纯收益无变化，其值为a ，r 每年不变且大于零，有限使用年期的价格计算公式：11[1](1)(1)(1)ti i t n t i a a P r r r r -==+-+++∑该公式的推导过程其实利用了收益法一般公式和每年纯收益不变的公式，推导过程如下： 根据收益还原法的一般公式可得：1221[...][...](1)(1)(1)(1)(1)t t t n a a a a aP r r r r r +=+++++++++++11[...](1)(1)(1)ti i t n i a a a r r r +==++++++∑1122[...][...](1)(1)(1)(1[)(1)(1...](1)(1)(1))ti i t t t ni a a ar r r a a a a a a r r r r r r +=-+++++++++=++++++++∑①2112[......](1)(1[...)(1)(1)(1](1)(1(1)1)))(t t ti nt i i a r a a a a a a a a r r r r r r r r =+++++++++++++=++++-+∑ ② 上述公式①中的红色字体部分，一减一加，是为了把t 年以后的纯收益不变情况补齐为从第一年开始纯收益就不变的情况，经过这样的处理后，变成了两个已知的求和公式（即公式②中的红色部分和紫色部分），这两部分即为a 和r 都不变的有限年期价格计算公式，代入上式中可得：11[1](1[1](1)(11))ti i t n i a P r a r r a r r =-+--+=++∑111[11](1)(1)(1)ti i n t i a a r r r r ==+--++++∑111[](1)(1)(1)ti i t ni a a r r r r ==+-+++∑①11[1](1)(1)(1)t i i t n ti a a r r r r -==+-+++∑备注：个人认为，上述倒数第二步即公式①更容易记忆。
四、当t 年以前（含t 年）纯收益有变化，其值为ai ，t 年以后纯收益无变化，其值为a ，r 每年不变且大于零，无限使用年期的价格计算公式土地无限年期，则n =无穷大，则上述公式中的1(1)n tr -+极限值=0，则：1(1)(1)ti i ti a aP r r r ==+++∑五、还原率每年不变为r ，纯收益按等差数列递增或递减的计算公式：121()[1](1)(1)n na b b n P r r r r r =±-⨯++m 假设第一年纯收益为a 1，等差数额为b ，并且递增，则1(1)n a a n b =+- 推导过程：根据收益法一般公式有：11221...(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a P r r r r --=++++++++12112(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)n n n n n n n na r a a r a r r r r r ---+++=++++++++12121(1)(1)...(1)(1)n n n nna r a r a r a r ---+++++++=+ ①把上式左右两边皆乘以1+r ，可得：1221231(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)n n n n n na r a r a r a r a r r p r ---++++++++++=+ ②用②-①可得：12121321(1)()(1)()(1)...()(1)(1))(1n n n n n nna r a a r a a r p p r a a r a r ---++-++-++-+-=++- 即：121(1)(1)(1)...(1)(1)n n n nna rb r b r r rp b r a --+++++++-=+121(1)[(1)(1)...(1)](1)n n n n na rb r r r a r --+++++++-=+112(1)[1](1)(1)(1)...(1)1n n nn n a r b a r r r r --++--=+++++++上述公式中的分子中括号内包含了一个首项为1，公比为1+r 的等比数列（红色字体部分，从右往左看），把等比数列求和公式代入上式中可得：111(1)1(1)1(1)[1](1)[1][(1)](1)1(1)(1)n n nn n n nrp r r a r b a a r b a n b r r r r +-+-++--++--+-+-==++ 则：11(1)1(1)[1][(1)](1)n nnr a r b a n b rr p r +-++--+-=+ 11(1)(1)(1)[][(1)](1)nn nr r a r b a n b r r r +-+++-+-=+ 11(1)(1)(1)[(1)](1)n nnr b r a r b a n b r r r r ++++--+-=+ 11(1)(1)(1)[(1)](1)(1)n nnnr b r a r b a n b r r r r r r ++++++-=-++1122(1)(1)(1)[(1)](1)(1)n n nnra r b r b r r a n b r r r r ++++++-=-++ 11222(1)(1)](1)(1)(1)(1)n n n nnra r b br ra n br b r r r r r r r ++++-+=+-+++ 11222(1)(1)(1)(1)(1)n n n nnra r b br ra brn br b r r r r r r r ++++-+=+-+++ 11222(1)(1)(1)(1)(1)n n n nn ra r b ra brn b r r r r r r r ++++=+-+++ 11222(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n ra r b ra b r bn r r r r r r r r +++=+--++++1212(1)(1)nn a b a b bn r r r r r r r +=+--++121()[1](1)(1)n na b b n r r r r r =+--⨯++上述推导结果为纯收益递增的公式，此时b 为正值。
如果纯收益递减，则代表b 为负值，则上述推导结果中的b 应该相应的全部反向取正负号，公式变为：121()[1](1)(1)n n a b b n P r r r r r =--+⨯++土地无限年期时，则n =无穷大，则公式中的=01(1)nr +极限值，=(1)nnr +中的分母大于1，且由于是指数形式增长，速度快过分子，越到后面分母与分子差距越大，所以极限值依然0则：12()[10]0a b b P r r r =±⨯-⨯m 12a b r r=± 六、还原利率每年不变为r ，纯收益按等比数列递增或递减的计算公式：11[1()]()1na s P r s r±=-+m假设递增率为s ，则11(1)n n a a s -=+根据收益法一般公式有：11221...(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a P r r r r --=++++++++12112(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n a r a a r a r r r r r ---+++=++++++++12121(1)(1)...(1)(1)n n n nna r a r a r a r ---+++++++=+① 将公式①左右两边皆乘以11rs++，可得：12121(1)[(1)(1)...(1)]1(1)()1(1)n n n n nr a r a r a r a r s P s r ---++++++++++=++12112(1)(1)...(1)(1)1111(1)n n n n na a a ar r r r s s s sr --++++++++++++=+121121(1)(1)...(1)(1)1(1)n n n n na r a r a r a r s r ---+++++++++=+②②-①可得：12121121121[(1)(1)...(1)(1)][(1)(1)...(1)]11(1)1(1)n n n n n n n n nar a r a r a r a r a r a r a r s P s r ------++++++++-+++++++++-=++111111(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n na a r a r a s a r a s s s r r s r -+-+-++-+++===++++ 1111(1)(1)(1)(1)111[1][](1)(1)1(1)(1)11//n n n n n na r a s a r a s r r ss r s s r s s P +-++-++++=-=-+++++++11(1)(1)(1)(1)(1)()n n na r a s s s r r s +-++=⨯++- 11(1)(1)()(1)n nna r a s r s r +-+=-+ 1(1)(1)[]()(1)(1)n nn na r s r s r r ++=--++11[1()]()1na s r s r +=--+上述推导结果为纯收益递增的公式，此时s 为正值。