第一章知识点(高等代数)
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数第一章
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
作业：P17
1，2，3.
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。
三、 映射的合成 g : B C 是B 到 设 f : A B 是A到B 的一个映射，
( f ( x )) 是C中 C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g， 的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g ( f ( x )) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
| r r || a ( q q ) || a | 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾。这样必须 q q 0 ，从而 r -r 0 ，也就是说 q q , r r .
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得 b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号 a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的 一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 .
② a | b , a | c a | (b c ) ① a | b, b | c a | c ③ a | b, 而 c Z a | bc ④ a | bi , 而 c i Z , i 1,2, , t a | (b1 c1 bi c i ) ⑤ 每一个整数都可以被1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
大一高等代数第一章知识点总结
大一高等代数第一章知识点总结导读：在大一高等代数第一章学习中，我们了解了数学中的代数运算、集合论、函数与映射、二次函数等重要基础知识。
本文将对这些知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、代数运算1. 代数运算的基本性质：加法和乘法运算的结合律、交换律和分配律。
这些性质是进行代数运算的基础，通过它们可以将复杂的代数式简化，或将代数式转换为更方便计算的形式。
2. 代数运算的逆元：对于加法运算，零是唯一的单位元，每个元素都有唯一的相反元；对于乘法运算，一是唯一的单位元，每个非零元素都有唯一的倒数。
3. 代数方程与不等式：代数方程是由字母和数构成的等式，通过方程解的求解过程，可以得到含有未知数的具体数值；不等式则是不等关系构成的不等式。
二、集合论1. 集合的概念：集合是由一定规则约定所组成的一种对象的整体。
2. 集合的运算：包括交集、并集、补集和差集等。
运用这些运算可以对集合元素进行组合或筛选，从而得到满足一定条件的集合。
3. 集合的表示方法：包括列举法、描述法、乘积集和无穷集等。
不同的表示方法适用于不同的问题求解。
三、函数与映射1. 函数的概念：函数是两个集合之间的一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
这些性质描述了函数的基本特征，可以帮助我们更好地理解和分析函数。
3. 映射的概念：映射是一种更广义的函数，它可以是一对一的、多对一的或一对多的关系。
四、二次函数1. 二次函数的概念与性质：二次函数是一种具有二次项和一次项的一元多项式函数。
它的图像呈现抛物线形状，关键点包括顶点、焦点和对称轴等。
2. 二次函数的图像与方程：通过观察二次函数的图像可以了解其方程的特征，反之也可以通过方程描述二次函数的图像。
3. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有广泛应用，如物体抛出运动、摄影中焦距的调整等。
通过掌握二次函数的性质和应用，能够更好地理解和解决相关实际问题。
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
高等代数讲义 (PDF经典版)
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有b a K a b K K b ab ∈≠∈/0时，，且当，∈±为一个数域。
，则称K 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {i |∈Q }，其中i =b a +b a ,1−。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈−=10，。
进而Z ,∈∀m 0>K m ∈+……++=111。
最后，Z ，∈∀n m ,0>K n m ∈，K nmn m ∈−=−0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与S A B 的公共元素所组成的集合成为与A B 的交集，记作B A ∩；把和B 中的元素合并在一起组成的集合成为与A A B 的并集，记做B A ∪；从集合中去掉属于A B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B 的差集，记做。
A B A \定义（集合的映射） 设、A B 为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应f A a f B 中唯一确定的元素（记做），则称是到)(a f f A B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f a →如果B b a f ∈=)(，则称为在下的像，a 称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的b a f b f A f B 的子集称为A 在下的像，记做，即f )A (f {}A a f A f ∈a =|)()(。
高等代数知识点
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
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第 1章 多项式
知识点归纳与要点解析
一．多项式的定义与运算
1.定义
形式表达式110()n n n n f x a x a x a --=+++称为数域P 上以x 为文字的一元多项式,其中
01n a ,a ,a P ∈,n 是非负整数.当0n a ≠时,称多项式()f x 的次数为n ,记为()()f x n ∂=,并称n n a x 为()
f x 的首项,n a 为()f x 的首项系数.i i a x 为()f x 的i 次项,i a 称为()f x 的i 次项系数.当
11000n n a a a ,a -====≠时,称多项式()f x 为零次多项式,即()()0f x ∂=;当1100n n a a a a -=====时,称()f x 为零多项式.
注：零多项式是唯一不定义次数的多项式.
2.多项式的相等
数域P 上以x 为文字的两个一元多项式()f x 与()g x 相等是指它们有完全相同的项.
注：证明两个多项式的相等除了利用定义外，还可以在它们首项系数相等的情况下，证明两个多项式相互整除.
3.多项式次数
设()()[]f x g x P x ∈,,
性质1.当()()0f x g x ±≠时，{}(()())(()),(())f x g x max f x g x ∂±≤∂∂；
性质2.(()())(())+(())f x g x f x g x ∂=∂∂.
二．多项式的整除
1.带余除法
(1)定义：
设()()[]f x g x P x ∈,, ()0g x ≠,则存在唯一的多项式()q x ,()[]r x P x ∈,使()()()+()f x q x g x r x =.其中()=0r x 或()()()()r x g x ∂<∂.其中()q x 为()g x 除()f x 的商式, ()r x 为()g x 除()f x 的余式.
注：带余除法是多项式分类的工具,是辗转相除法的基础,也是求最大公因式的基础.
2.综合除法
3.整除的判定
(1)定义
设()()[]f x g x P x ∈,，如果存在()[]q x P x ∈，使得
()()()f x q x g x =,则称()g x 整除。