初中数学竞赛——余数定理和综合除法

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初中数学竞赛——余数定理和综合除法

第1讲余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。

四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。

典型例题一. 多项式的除法【例1】已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】（1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】分解因式：354x x -+.【例23】分解因式：326116x x x +++.【例24】分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】分解因式：32511133x x x ---【例29】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。

七年级数学竞赛第4讲带余除法

现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x’：x→x’，x’为(3x +m)被 26
除所得余数与 1 之和 (1≤x≤26，1≤m≤26).
已知运用此变换，明文 H 译为密文 T，则密文 QI(“启”的汉语拼音)的明文是字母
。
(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题)
解题思路：阅读理解，先求出 m 的值，了解明文变换为密文的规则。
从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成 7 个小球后放回盒中；如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球
变魔术时，盒中球的总数可能是（）。
A．1990 个
B．1991 个
C．1992 个
D．1993 个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．1898 年 6 月 9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国 99 年。1997 年 7 月 1 日香港回归祖国，
有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是
著名的斐波那契数列，则这列数中的第 2014 个数被 7 除的余数为
。
(北京市竞赛题)
8．除以 8 和 9 都余 1 的所有三位数的和是（
A．6492
B．6565
C．7501
限(“五羊杯”竞赛题)有人
；若将此数保留 2010 个有效数字，则所得
新数的各位数字中 1 的个数是
。
（2）已知
1 7
=
0.a1a2a3
an
(其中 a1，a2，a3，…都是介于 0 和 9 之间的整数)，若小数点后连续 n
个数字之和 a1+a1+a3+…+an=2013，则 an=

初中数学竞赛数论定理

初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛中常用的数论定理：
1. 质数与因数：任何一个整数都可以唯一分解成若干质数的乘积，而且所有的因子都由这些质因子的指数作出来。

2. 最大公因数和最小公倍数：两个正整数a和b的最大公因数和最小公倍数分别记作gcd(a,b)和lcm(a,b)。

它们有许多重要性质可以应用。

3. 素性质数列：素数可以用许多方式列举出来，例如欧拉函数、Wilson定理、费马小定理等等。

其中一些方法在竞赛中比较常用。

4. 同余定理：如果a和b除以正整数m的余数相同，即
a≡b(mod m)，那么a和b就被称为模m同余。

同余关系具有传递性、对称性和反对称性，可以用来证明各种数学恒等式和不等式。

5. 等比数列：等比数列指的是一个数列中每个数都是前一个数乘以一个固定的比例因子。

一些有用的定理包括调和平均值不小于几何平均值、柯西不等式等等。

6. 解方程：竞赛中常常需要解各种复杂的方程，例如二次方程、方程组、移项变系数、绝对值不等式等等。

有些常见的技巧包括配方法、因式分解、代数恒等式、三角变换等等。

综合除法、余数定理

综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0•”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q （x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x 2+x-6=（x+3）（x-2），又x 2+x-6是多项式2x 4+x 3-ax 2+bx+a+b-1的因式． ∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f （-3）=0，f （2）=0，即 ∴a=16，b=3．()()32223223xx x x +-⨯+-的積為5427x x +-21146x x -+。

【七年级奥数】第15讲综合除法和余数定理（例题练习）

第15讲综合除法和余数定理——练习题一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.计算3x3−5x+6 除以(x-2)所得的商式及余数．2.求2x3+5x2−4x4+8 除以x+3所得的商式及余数．3.用综合除法计算(−6x4−7x2+8x+9)÷(2x−1) ．4.用综合除法计算(27x3−9x2+5x−2)÷(3x−2) ．5.求除以x+1所得的余数．6.设f(x)=x4+3x3+8x2−kx+11 被x+3整除，试求k的值．7.设f(x)=2x3+x2+kx−2 能被2x+整除，求k 值.8.设f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ，求f(-) ．9.设f(x)=x4−ax2−bx+2 被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．10.求f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数．11.若f(x)=2x3−3x2+ax+b 除以x+1所得的余数为7，除以x-1所得的余数为5，试求a、b的值．12.设f(x)=x2+mx+n (m、n都是整数)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，求f(x) 。

13.多项式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余数分别是1、2、3，试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。

14.已知多项式f(x)=ax3+bx2−8x−12 被x-2和x-3整除，试求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。

15.若x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，求q与r的值．16.已知关于x的三次多项式，f(x)除以x2−1 时，余式是2x-5；除以x2−4 时，余式是-3x+4．求这个三次式．17.一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1 ．又设b 为不同于a1、a2、a3的任意整数，试证明：f(b)≠1.答案解析部分一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.【答案】解：用综合除法计算如下：∴商式为：3x2+6x+7，余数为：20.【解析】【分析】综合除法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.2.【答案】解：将多项式按x的降幂排列为：−4x4+2x3+5x2+8，由综合除法得：∴商式为：-4x3+14x2-37x+111，余数为：-325.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.3.【答案】解：∵(2x−1)=2（x-），∴先用(−6x4−7x2+8x+9)÷（x-），∴−6x4−7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，=(2x−1)（-3x3-x2-x+）+，∴商式为：-3x3-x2-x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．4.【答案】解：∵(3x−2)=3（x-），∴先用(27x3−9x2+5x−2)÷(x-)，∴27x3−9x2+5x−2=(x-)（27x2+9x+11）+，=3(x-)×（27x2+9x+11）+，=(3x−2)（9x2+3x+）+，∴商式为：9x2+3x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．5.【答案】解：综合除法计算如下：∴余数为8.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.6.【答案】解：∵设f(x) 被x+3整除，由余数定理可得：f(-3)=0，∴f(-3)=（-3）4+3×（-3）3+8×（-3）2-k×（-3）+11=0，解得：k=-.∴k值为-.【解析】【分析】因为f(x) 被x+3整除，由余数定理可得f(-3)=0，代入、解方程即可.7.【答案】解：∵2x+=2（x+），∴ f(x)=2x3+x2+kx−2 能被x+整除，由余数定理可知：f(-)=0，即2×（-）3+（-）2+（-）k-2=0，解得：k=-7.∴ k值为-7.【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b (a≠0且a≠1)整除，则f(x)能被x+整除，由余数定理可知f（-）=0，代入、解方程即可.8.【答案】解：∵f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8，∴ f(-)=3×（-）5-17×（-）4+12×（-）3+6×（-）2+9×（-）+8，=---+-3+8，=5.另解：原题等介于求（3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ）÷（x+）的余数，用综合法计算得：∴余数为5，即f(-)=5.【解析】【分析】根据题意将x=-代入f（x），计算即可得出答案.9.【答案】解：∵ f(x) 被(x+1)(x+2)整除，∴ f(x) 被x+1和x+2整除，根据因式定理，有f(−1)=(−1)4−a×(−1)2-b×(−1)+2=a-b=3，f(-2)=（-2）4−a×（-2）2-b×（-2）+2=2a-b=9，即，解得：.∴a=6，b=3.【解析】【分析】根据因式定理，结合题意可得f(−1)=0，f(2)=0，即得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.10.【答案】解：f（x）先按x的降幂排列：f(x)=5x5+3x4−8x3−x+8，∵2x-4=2（x-2），∴先用（5x5+3x4−8x3−x+8）÷（x-2），∴∴5x5+3x4−8x3−x+8=（x-2）（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=2（x-2）×（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=（2x-4）（x4+x3+9x2+18x+）+150，∴f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数是150.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．11.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f(-1)=7，f(1)=5 ，即，解得：.∴a=-3，b=9.【解析】【分析】根据余数定理可得f(-1)=7，f(1)=5 ；从而得一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.12.【答案】解：令g（x）= x4+6x2+25 ，h（x）=3x4+4x2+28x+5 ，∵f(x)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，∴f(x)必定是g（x）与h（x）差的因式，∴3g（x）-h（x）=3（x4+6x2+25 ）-（3x4+4x2+28x+5 ），=14x2-28x+70，=14（x2-2x+5），∴f(x)=x2-2x+5.【解析】【分析】根据g（x）、h（x）能被f(x)整除，所以他们的和、差、倍都能被f(x)整除，通过3g（x）-h（x）实现降次，从而得出f(x).13.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，依题可得：，解得：.∴所求的余式为x．【解析】【分析】设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，利用余数定理列出方程组，解之即可．14.【答案】解：∵ f(x)=ax3+bx2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴ f(2)=0，f(3)=0，即，解得：，∴ f(x)=-3x3+13x2−8x−12 ，又∵ f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12=(x−2)(x−3)⋅（cx+d），即-3x3+13x2−8x−12=cx3+（d-5c）x2+（6c-5d）x+6d，∴，解得：，∴商式是-3x-2.【解析】【分析】根据题意由余数定理可知f(2)=0，f(3)=0，列出一个关于a、b的方程，解之可得f （x）解析式；根据题意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，由待定系数法列出方程，解之即可.15.【答案】解：∵ x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，∴令f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），即x5−5qx+4r =ax5+（b-4a）x4+（c-4b+4a）x3+（d+4b-4c）x2+4（c-d）x+4d，∴a=1，b-4a=0，c-4b+4a=0，d+4b-4c=0，4（c-d）=-5q，4r=4d，解得：a=1，b=4，c=12，d=32，q=16，r=32，∴q=16，r=32.【解析】【分析】根据x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，从而可设f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），根据待定系数法列出方程，解之即可.16.【答案】解：依题可设：f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5），f(x)=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），∴（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），即ax3+bx2+（2-a）x+（-b-5）=cx3+dx2+（-4c-3）x+（4-4d），∴，解得：.∴这个三次多项式是-x3+3x2+x-8．【解析】【分析】根据题意可设f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），化简，根据待定系数法列出方程，解之即可.17.【答案】解：依题可设：f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1，∵b为不同于a1、a2、a3的任意整数，∴a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1≠1，即f（b）≠1.【解析】【分析】根据题意设f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），将x=b代入得f（b），由b为不同于a1、a2、a3的任意整数得a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，从而得证.。

综合除法与余数定理

综合除法与余数定理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-第七节综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。

当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。

解：余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++-∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。

上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。

20.第十三讲整式除法－综合除法－余数定理

第十三讲整式除法－综合除法－余数定理姓名：班别：使用日期：自主评价：一基础训练1、填空：（1）当x 时，式子0(2)1x +=；（2）1m n m n x x ++-÷= ；（3）4365______a b a b ⨯=；（4）1321()_____n n n x y xy ++÷=；（5）523353[()]()y y y -÷-⋅= ；（6）若332232()()m n x y x y x y ÷=，则m = ，n = .2、条件求值：（1）已知2m a =，6n a =. 则22m n a -= ；（2）已知103m =，102n =. 则2100m n -= ；（3）已知23m a =，9n b =. 则m = ，n = ；（4）若1232252716(23)288m m n n -++-⨯÷⨯=. 则m = ，n = .3、计算：（1）35246323(1596)(3)a x a x a x a x +-÷-= ；（2）222211(639)(3)m n m n m n m n a b a b a b a b ++++-+÷-= ；（3）2222[5(2)(2)](2)xy x y y x x y ---÷-= ；二拓展提高【例1】已知311(1)14n n ---=，求n 的值.【例2】已知多项式5432615331x x x x x -+-++除以23x 的余式为1x +，求商式.◆ 被除式＝除式×商式＋余式 ⇒ 商式＝（被除式－余式）÷除式◆ 设被除式为()f x ，除以为()g x ，商式为()q x ，余式为()r x ，则上式可以表示为： ()()()(f x g x q x r x=⨯+；当余式()r x 为常数时，有()()()f x g x q x r =⨯+ 1、当除式()g x x a =-（除式为一次式）时，显然有()()()f x x a q x r =-⨯+；当x a =时，有()f a r =；我们把这个性质叫做余数定理2、反之当()0f a =，说明()()()0f a x a q x =-=，所以()x a -是()f x 的一个因式，或者()f x 被x a -整除，我们把这个性质，叫做因式定理【例3】已知32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -的余数为5，求,a b 的值.解：由余数定理，得：(1)7f -=；(1)5f =，即237235a b a b ---+=⎧⎨-++=⎩ ，解得3,9a b =-=. 【例4】已知多项式432()3811f x x x x kx =++-+被3x +整除，求k 的值解：由因式定理，得：(3)0f -=，即432(3)3(3)8(3)(3)110k -+⨯-+⨯--⨯-+=解得，833k =-. ◆ 综合除法——多项式除以多项式【例5】计算：23(521)(12)x x x +-÷+.◆ 两个多项式相除，先将两个多项式按同一字母降幂排列（若有缺项，可用0补足）.【例6】求543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+的商式和余式.◆ 此题可以用余数定理求余数，再求商式；但直接利用综合除法求解更方便！【例7】已知25x =-，求式子4328161x x x x -+-+的值.◆ 此题仍然可以转化为多项式除以多项式来完成！三竞赛训练1、已知除式为221x x -+，商式为221x x +-，余式为4x ，求被除式.2、已知331x x -=，求代数式4329672999x x x x -+-+的值.3、如果多项式543(3811)(2)x x x x m x ++++÷+所得余式为m -，求实数m 的值.4、已知多项式432235x x ax x b -+++既能被1x +整除，也能被2x -整除，求实数,a b 的值.5、已知多项式422x mx nx --+被(1)(2)x x ++整除，求,m n 的值.6、已知多项式()f x 除以(1),(2),(3)x x x ---所得的余数分别为1,2,3.求这个多项式()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余数.。

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第1讲余数定理和综合除法知识总结归纳
一．除法定理：
()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使
()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.
二．余数定理：
对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ，则有
()()()()f x x c g x f c =-+
也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .
三．试根法的依据（因式定理）：
如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。

四．试根法的应用：
假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.
特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。

典型例题
一. 多项式的除法
【例1】已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
【例2】已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得
的商式()Q x 和余式()R x .
【例3】已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
二. 综合除法
【例4】用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.
【例5】用综合除法求()
f x除以()
g x所得的商式()
Q x和余数R.
（1）2
()253
f x x x
=--，()3
g x x
=-；
（2）32
()321
f x x x
=-+，
1 ()
3
g x x
=+.
【例6】用综合除法计算：432
(6534)(21)
x x x x x
---+÷+.
【例7】先用综合除法求出()
f x除以()
g x所得的商式和余式，不再作除法，写出()
f x除以()
h x的商式
和余式.32
()243
f x x x x
=-+-，()3
g x x
=-.
（1）()2(3)
h x x
=-；（2）
1
()(3)
2
h x x
=-.
三.余数定理和多项式理论
【例8】43
()241
f x x x x
=+++，()2
g x x
=+，求余数R的值.
【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？
【例10】（1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；
（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.
【例11】多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .
【例12】试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.
【例13】已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.
【例14】证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能
被积()()x a x b --整除.
【例15】多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的
余式.
【例16】已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是
34x --.求这个三次多项式.
【例17】已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，
求这个三项式.
【例18】已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()
g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.
【例19】已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.
【例20】若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.
【例21】如果当x取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()
f x.
四.因式分解（试根法）
【例22】分解因式：354
-+.
x x
【例23】分解因式：32
+++.
x x x
6116
【例24】分解因式：432
+--+.
x x x x
2928
【例25】分解因式：43293732x x x x -+--.
【例26】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++
【例27】分解因式：322392624x x y xy y -+-
【例28】分解因式：32511133
x x x ---
【例29】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-
【例30】分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-
【例31】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
思维飞跃
【例32】若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.
【例33】若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式
4234285x x x +++的因子，求()f x .
【例34】求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b
--+--））.
【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多
得的余式.
【例36】求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =+++
+++整除.
作业
1. 分解因式：
（1）3246a a a -++.
（2）43233116a a a a +---.
（3）4322347136x x y x y xy y --+-.
2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.
3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)
x x x ---所得的余式.
4. 若554x qx r -+能被
22)x -（整除，求q 与r 的值.
5.分解因式：32
+-.
x x
45
6.分解因式：432
x x x x
+--+.
2344
7.分解因式：432
x x x x
+++-.
2744
8.分解因式：5432
+++++.
271214103
x x x x x
9.分解因式：33
---.
x y x y x y
(2)(2)
10.分解因式：3223
x x y xy y
--+.
6532
11.分解因式：32
x a b c x ab bc ca x abc
+++++++.
84()2()
12.分解因式：32
----+-.
(1)(3)(2)
a x ax a x a
13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.
14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.
15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使
123()()()1f a f a f a ===.
又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.
16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。

初中数学竞赛——余数定理和综合除法