2021届高三数学总复习第一轮——双曲线

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2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线理新人教A版

2021年高考数学一轮复习 9.6 双曲线理新人教A 版一、选择题1．(xx·甘肃二次诊断)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，故选B. 答案 B2．(xx·大纲全国卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．42 解析由已知，得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 答案 C3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.答案 C4．(xx·山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案 A5．(xx·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解析由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2＝9b 2－4a 2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9ba －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.答案 B二、填空题6．(xx·北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析设C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入上式得λ＝－3，所以C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 58．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5，0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 44 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 解析由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可设点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12．(xx·石家庄模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，1＋2)D ．(2，1＋2)解析由题意易知点F 的坐标为(－c ，0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a ，0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0，2)，又e >1， ∴e ∈(1，2)，故选B. 答案 B13．(xx·惠州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a(x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM |＞c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞c ，得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞2.∴双曲线率心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)14.如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2，故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3. 此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1，得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA→2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.28057 6D99 涙435371 8A2B 訫25463 6377 捷 32245 7DF5 緵33585 8331 茱30290 7652 癒39836 9B9C 鮜Pa KJY。

9.6双曲线-2021届高三数学(新高考)一轮复习PPT教学课件(34页)

(2)若双曲线经过点(3， 2)，且渐近线方程是 y＝±13x，则双曲线的标准方程是________．
答案：y2－x92＝1 解析：设双曲线的方程是 y2－x92＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(3， 2)，所以 λ＝2－99＝1.故双曲线的标准方程为 y2－x92＝1.
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线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tan3π＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝2 3 3a，则
e＝2
3
3.综上可得
e＝2
或
e＝2
3
3 .
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答案：D 解析：动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种情况：①动圆 M 与两圆都外切；②动圆 M 与两圆都内切；③动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；④动圆 M 与圆 C1 内切、与圆 C2 外切．在①②情况下，动圆圆心 M 的轨迹方程为 x＝0；在③的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2.故得|MC1|－|MC2|＝2 2；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2 2.由③④得|MC1|－|MC2|＝±2 2.已知|C1C2|＝8，根据双曲线定义，可知点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)，C2(4,0) 为焦点的双曲线，且 a＝ 2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22－1y42 ＝1，故选 D.

2021年高考总复习《双曲线的离心率计算》讲义

双曲线的离心率计算一. 学习目标：能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法. 三：典例分析：例1. 已知双曲线12222=-by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.【变式】1. 双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45例2．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【变式】1.设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________（2）.2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为AB ．2C D例3．已知点21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，直线l 是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点P ，点P 在l 上的射影为Q ，使得||||||211F F PQ PF ≤+成立，求双曲线离心率的取值范围.12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C四．练习题1．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（）A B ．3 C ．2 D ．32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（）A B C ．2 D ．33．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A ．1BC ．3D ．24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．12e <≤B ．2≥eC ．1e <≤D ．e ≥5．斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．e <B ．1e <<C ．1e <<D ．e >6．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A ．1BC ．2D ．4+7．设点(),,0A F c 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ,若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（）A B ．3 C D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（）A ．3BC ．43D ．39．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为（）A B C D ．5210．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．)+∞C ．()1,2D ．()2,+∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若12F A AB =，10F A AO ⋅=则C 的离心率为______. 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为__________．13．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．。

高考数学一轮总复习课件：双曲线

∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c， ∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a. ∵M的横坐标和A的横坐标相同，∴圆心的横坐标为a.
(2)在△ABC中，B(4，0)，C(－4，0)，动点A满足条件sinB －sinC＝12sinA，则点A的轨迹方程为__x4_2_－__1y_22 _＝_1_(_x_>_2_)__．
y2 3
＝λ(λ≠0)，将点(2，3)代
入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C.
5．若过双曲线
x2 4
－
y2 3
＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支
于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为
____8____．
解析由双曲线的定义知道|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为4a＝8.
解析
双曲线C的标准方程为
x2 6
－
y2 3
＝1，a＝
6，b＝
3，则c
＝ a2＋b2 ＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近
线方程为y＝±
2 2
x，即x±
2 y＝0，所以，双曲线C的焦点到其渐近
线的距离为 123＋2＝ 3.
3．若双曲线E：x92－1y62 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P
第7课时双曲线
[复习要求] 1.了解双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.2.知道双曲线的几何性质.3. 了解双曲线的一些实际应用．
课前自助餐
双曲线的定义平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之差的绝对值 ___等_于__常_数__2_a_(2_a_<_|F_1_F_2_|)____的点的轨迹叫做双曲线．

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

2021届新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第42讲双曲线(讲义版)

第42讲双曲线一、考情分析1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.三、经典例题考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系. 考点二双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 考点三双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析法一由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋ 34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. [方法技巧]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.3.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x .四、课时作业1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（）A ．4B ．C ．D ．22．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（）A ．4B ．C ．8D ．3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为120︒，则该双曲线离心率为（）A B ．2C D4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线2244x y -=的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．y =5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．146．（2020·浙江其他）双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（）A ．2B ．95C ．125D ．37．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，若OPF △，则E 的离心率为（）A B ．3C ．2D9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线221102x y -=的焦距为（）A ．B ．C ．D ．11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为（）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2215x y -=13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（）A ．B ．C ．10D ．14．（2020·安徽高三月考（文）的双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个顶点为P ，直线//l x 轴，l 交双曲线C 于A ，B 两点，则APB ∠取值范围是（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2π C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（）A B C D16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为y =，且双曲线经过点()2,3，若1F ，2F 为其左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若点()6,8A ，则当2PA PF +|取最小值时，点P 的坐标为（）A ．1,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭B ．122⎛++ ⎝⎭C ．1⎛++ ⎝⎭D ．1⎛+ ⎝⎭17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则（）A ．实轴长为2B ．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为318．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线C 过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为2C ．||1OE =D ．OMN 的面积为621．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10. （1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.24．（2020·上海高三专题练习）设圆C 与两圆(224x y ++=，(224x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M ⎝⎭，)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；。

2021年高考数学一轮精选练习：51《双曲线》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：51《双曲线》一、选择题1.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2=3m(m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为( )A. 3B.3C.3mD.3m2.设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216=1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2=9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，且与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210=1 B.x 24－y 25=1 C.x 25－y 24=1 D.x 24－y 23=1 4.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2=16，则双曲线实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.45.已知双曲线x 2－y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A.3B.2C.－3D.－26.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2=0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1,2) D.(2，＋∞)7.焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( )A.1B.62C. 3D.28.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|=2a ，∠F 1AF 2=2π3，则S△AF 1F 2S△ABF2=( ) A.1 B.12 C.13 D.23二、填空题9.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y24－m=1，它的焦点到渐近线的距离取值范围是 .10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A ，B 两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .11.已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b2=1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等 .12.已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO(O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P|=|F 1Q|，∠F 1PF 2=23π，则双曲线C 的离心率为 .13.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .三、解答题14.已知双曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y=kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.15.已知双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y=kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.答案解析1.答案为：A ；解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23=1，其中a 2=3m ，b 2=3，故c=a 2＋b 2=3m ＋3，不妨取F(3m ＋3，0)，一条渐近线为y=1mx ，化成一般式即为x －my=0，由点到直线的距离公式可得d=|3·m ＋1|1＋－m2=3，故选A.2.答案为：D ；解析：连接PF 2，OT ，则有|MO|=12|PF 2|=12(|PF 1|－2a)=12(|PF 1|－6)=12|PF 1|－3，|MT|=12·|PF 1|－|F 1T|=12|PF 1|－c 2－32=12|PF 1|－4，于是有|MO|－|MT|=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4=1，故选D.3.答案为：B ；解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25=k(k ＞0)，即x 24k －y25k=1，∵双曲线与椭圆x 212＋y23=1有公共焦点，∴4k ＋5k=12－3，解得k=1，故双曲线C 的方程为x 24－y25=1，故选B.4.答案为：B ；解析：由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y=bax 上，由题意可知|F 2M|=bc a 2＋b2=b ，所以|OM|=c 2－b 2=a. 由S △OMF 2=16，可得12ab=16，即ab=32，又a 2＋b 2=c 2，c a =52，所以a=8，b=4，c=45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5.答案为：B ；解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=|PF 1||PF 2|=e=2，∴|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|=2，∴|PF 1|=4，|PF 2|=2. 又|F 1F 2|=4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|=4＋16－162×2×4=14，∴F 2P →·F 2F 1→=|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1=2×4×14=2.故选B.6.答案为：A ；解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±bax ，即bx ±ay=0，圆C 2：x 2＋y2－2ax ＋34a 2=0可化为(x －a)2＋y 2=14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r=12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab|a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2=c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)，即c 2＜43a 2，所以e=c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7.答案为：C ；解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21=1，C 2：y 2a 22－x2b 22=1，由题设b 1a 1=a 2b 2，则e 1=1＋b 21a 21，e 2=1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)=1，即e 21e 22=e 21＋e 22，故e 22=e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22=e 21＋4e 21e 21－1=5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1=4e 21－1时取等号)，e 21－1=2⇒e 1=3时取等号.8.答案为：B ；解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|=2a.又|AF 1|=2a ，所以|AF 2|=4a ，因为∠F 1AF 2=23π，所以S △AF 1F 2=12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2=12×2a ×4a ×32=23a 2.设|BF 2|=m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|=2a ，所以|BF 1|=2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|=2a ＋|BA|，所以|BA|=|BF 2|.又知∠BAF 2=π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2=34|AB|2=34×(4a)2=43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF2=23a 243a 2=12，故选B.一、填空题9.答案为：(0,2)；解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay=0的距离为|bc|b 2＋a2=b.本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m =1即x 28－m －y2m －4=1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d=m －4∈(0,2).10.答案为：y=±22x ；解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).因为4|OF|=|AF|＋|BF|，所以4×p 2=y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2=p.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y2b2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2=0，所以y 1＋y 2=2pb2a2.②由①②可得b a =22，故双曲线的渐近线方程为y=±22x.11.答案为：4；解析：由题意知a=1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|=2a=2，|BF 1|－|BF 2|=2a=2， ∴|AF 1|=2＋|AF 2|=4，|BF 1|=2＋|BF 2|. 由题意知|AB|=|AF 2|＋|BF 2|=2＋|BF 2|， ∴|BA|=|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2=45°，∴∠ABF 1=90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF 1|=22|AF 1|=22×4=2 2.∴S △F 1AB=12|BA|·|BF 1|=12×22×22=4.12.答案为：576；解析：设|PF 1|=x ，则|PF 2|=x －2a ，作Q 关于原点对称的点S ，如图，连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S 在双曲线上，所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S|=|QF 1|=x ，则∠F 1PS=2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S|=x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a)2=x 2＋(2x －2a)2－2·x(2x －2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x=73a ，所以|PF 2|=13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e=c a =576.13.答案为：53；解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|=2a.又|PF 1|=4|PF 2|，∴|PF 1|=83a ，|PF 2|=23a.当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|=649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a =178－98e 2，即e 2=179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.当P ，F 1，F 2三点共线时， ∵|PF 1|=4|PF 2|，∴e=c a =53，综上，e 的最大值为53.二、解答题14.解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1. 即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2).(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2=0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时，S △OAB =S △OAD －S △OBD =12(|x 1|－|x 2|)=12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时，S △OAB =S △ODA ＋S △OBD =12(|x 1|＋|x 2|)=12|x 1－x 2|.所以S △OAB =12|x 1－x 2|=2，所以(x 1－x 2)2=(x 1＋x 2)2－4x 1x 2=(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2=8，解得k=0或k=±62. 又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k=0或k=±62时，△AOB 的面积为 2.15.解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax ，∴a=b ，∴c 2=a 2＋b 2=2a 2=4，∴a 2=b 2=2，∴双曲线方程为x 22－y22=1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)=－1，∴x 0=3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2=c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20=c 2，即y 0=12c ，∴x 0=32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2=1，即34b 2c 2－14a 2c 2=a 2b 2，②又∵a 2＋b 2=c 2，∴将b 2=c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4=0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4=0，∴(3e 2－2)(e 2－2)=0， ∵e ＞1，∴e=2，∴双曲线的离心率为 2.16.解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0).由已知得a=3，c=2，再由a 2＋b 2=c 2，得b 2=1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2=1.(2)设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，将y=kx ＋2代入x 23－y 2=1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9=0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A＋x B＝62k1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B =62k1－3k2，所以y A ＋y B =(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)=k(x A ＋x B )＋22=221－3k 2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y=－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m=421－3k 2.因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0.所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22).。

双曲线高三数学一轮复习考点课件

。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩固所学知识，提高应试能力。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析

§9。

4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于（ ) A 。

1 B 。

17C.1或17 D 。

以上均不对答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（）A 。

x 24-y 212=1 B 。

x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。

x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。

若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（）A 。

实半轴长相等B 。

虚半轴长相等C 。

离心率相等 D.焦距相等答案 D考点二双曲线的几何性质5。

已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。

1答案 D6。

双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（） A 。

2 B.2√2 C 。

4 D 。

4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。

y=±14x B.y=±13xC 。

y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。

高三数学第一轮复习课件-双曲线

解析由由意知，2b＝2,2c＝2 3，则 b＝1，c＝ 3， 2 a＝ 2；双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 x.
3.过双曲线x =8的左焦点有一条弦PQ 的左焦点F PQ在左支 3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支过双曲线上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q PQ|=7,F 是双曲线的右焦点, |=7, 的周长是 A.28 B.14B.14-8 2 C.14+8 |+|PQ|+|QF PQ|+| 解析 |PF2|+|PQ|+|QF2|
由由意知（|k|-2）（5-k）＜0，由由意知（）（5
解得解得-2＜k＜2或k＞5.
由型分类深度剖析
题型一双曲线的定义【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与已知动圆M与圆C =2外切，外切：（x =2内切求动圆圆心M 内切，圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 迹方程. 利用两圆内、外切的充要条件找出M 思维启迪利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.
由双曲线渐近线的方程y 方法二（1）由双曲线渐近线的方程y=± 2 x, 3 2 2 mn＞由由双曲线方程为 x − y = 1 （mn＞0）. m n 双曲线过点P ），∴ 0,n ∵双曲线过点P（ 6 ，2），∴m＜0,n＜0. 2 又渐近线斜率k 又渐近线斜率k=± , 3 6 − 4 =1 m = −3 m n ∴ , 解得 4, −n = 2 n = − 3 −m 3 故所求双曲线方程为 3 y 2 − 1 x 2 = 1. 4 3

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2021届高三数学总复习第一轮——双曲线考纲思维导图讲义导航知识点1、双曲线的定义：平面内动点与两个定点)的距离之差的绝对值为常数，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．注意：若，M 点轨迹表示以和为断点的两条射线。

2、双曲线的性质：焦点在轴上的双曲线：焦点在轴上的双曲线：P 12122(0F F F F c ，＝＞2()22a a c ＜P 12122MF MF a F F -=<12122MF MF a F F -== F 1F 2x 22221(0,0)x y a b a b-=>> y 22221(0,0)y x a b ab -=>>* 一点提醒：双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于且大于零，3.直线与双曲线的位置关系一般地，设直线①双曲线②，把①代入②得.(1)当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当，即时，．⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； ⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0∆<⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．例题双曲线定义【例1】（2019秋•海淀区校级期末）若方程22121x y k k +=--表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为．【例2】（2018•西城区校级期中）．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【例3】与双曲线2222x y -=有公共渐近线，且过点(2,2)M -的双曲线方程为________．【例4】（2017•西城校级模拟）已知定点A 、B ，且||4AB =，动点P 满足||||3PA PB -=，则||PA 的最小值是．12F F :(0)l y kx m m =+≠2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=2220b a k -=bk a =±l C 2220b a k -≠bk a≠±()22222222224()()a mk b a k a m a b ∆=-----0∆>0∆=双曲线性质【例5】根据下列条件，求双曲线方程．(1) 虚轴长为12，离心率为54； (2) 焦距为26，且经过点(0,12)M ；(3) 经过两点(3,P －和()7Q －．【例6】已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>，则C 的渐近线方程为 _.（2）：判断正误：若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．离心率【例7】．(1)设点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，若124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是________．(2) 已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的离心率为________．【例8】．（2019•平谷区一模）设双曲线C 经过点(4,3)，且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为，离心率为．练习A【例1】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为．【例2】（2019春•大兴区期末）双曲线22134x y -=的实轴长为( )A ．2B ．4CD ．【例3】（2018秋•海淀区校级期末）双曲线2213y x -=的焦点坐标是( )A ．，(0,B ．，0)，(，0)C ．(0,2)，(0,2)-D ．(2,0)，(2,0)-【例4】（2018秋•房山区期末）已知双曲线2212x y m -=(m = )A ．4B ．2C D ．1【例5】（2018秋•朝阳区期末）已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一条渐近线方程为430x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且1||7PF =，则2||(PF = )A ．1B ．13C ．17D ．1或13【例6】（2019•海淀区校级模拟）已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6π，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．22132x y -=B ．2213x y -=C ．22164x y -=D ．221124x y -=【例7】（2018•西城校级期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．221279x y -=B ．22136108x y -=C ．221927x y -=D ．22110836x y -=【例8】（2017秋•丰台区期中）若双曲线221y x m-=m 等于( )A B ．2 C ．3 D ．4【例9】（2018•顺义区二模）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点(4,1)，且与2214x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为；渐近线方程为．【例10】（2018•海淀区校级模拟）已知双曲线221x y a+=的一条渐近线方程为0x +=，则该双曲线方程为________【例11】（2017•东城区三模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>20y +=，则该双曲线的离心率为．【例12】．（2017•海淀区模拟）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为．【例13】（2017•海淀区一模）已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为．【例14】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为．【例1】（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．12e <<B ．12eC ．12e <D ．12e <【例2】（2017秋•丰台区期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边OA ，OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则(a = )A ．2B ．3C ．3 D ．32【例3】点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP的中点，且M 到坐标原点的距离为18c ，则双曲线的离心率e 范围是( )A ．(1，8]B ．4(1,]3C ．45(,)33D ．(2，3]．【例4】（2018秋•东城期末）若m 是2和8的等比中项，则m = 4± ，圆锥曲线221y x m+=的离心率是．【例5】（2018•海淀区校级模拟）在ABC ∆中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率e = ．【例1】（2017秋•海淀校级期末）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两条渐近线于A ，B 点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，320λμ=，该双曲线的离心率为( ) A ．23B ．35C ．15 D ．315【例2】（2018•海淀校级期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，其中，双曲线半焦距为c ，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截得的弦长为22(3ae e 为双曲线C 的离心率），则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．32y x =±D ．6y x =±【例3】（2018•西城区校级期末）已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．(-∞，1][0-，1)B ．(1-，1]C ．[1-，1)D ．[1-，0](1,)+∞【例4】（2017•昌平区二模）设点(0,1)A ，(2,1)B -，点C 在双曲线22:14x M y -=上，则使ABC ∆的面积为3的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【例5】如果双曲线的离心率51e +=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线221251x -=-是黄金双曲线；②双曲线22151y -=+是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=︒，则该双曲线是黄金双曲线； ④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=︒，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【例6】若有两个焦点1F ，2F 的圆锥曲线上存在点P ，使12||3||PF PF =成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①221412x y -=②22115y x -=③22197x y +=④221124x y +=，其中存在“α”点的圆锥曲线有( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【例7】（2019春•海淀区校级月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，圆222:()4b M x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为．【例8】（2019春•海淀区校级月考）如图所示，图中的多边形均为正多边形，M ，N 所在边的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，则图①的双曲线的离心率为 31+图②的双曲线的离心率为．【例9】（2018•东城校级期中）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为．【例10】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上一个动点．若点P 到直线20x y -+=的距离大于t 恒成立，则实数t 的最大值为．【例11】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与双曲线的右支交于点P ，且满足1221sin cos PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为．作业【练1】（2017秋•房山区期末）双曲线221y x m-=的离心率大于2的充分不必要条件是( )A ．12m > B ．1m C ．1m > D ．2m >【练2】（2018•东城模拟）双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为( )【练3】（2018秋•昌平区期末）已知直线2y =与双曲线22:194x y Γ-=的渐近线交于M ，N 两点，任取双曲线Γ上的一点P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，则( ) A ．14λμ+=-B ．14λμ-=-C ．14λμ=-D ．14λμ=-【练4】（2018•延庆县一模）设双曲线2214x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||3PF =，则2||PF = ．【练5】（2017秋•昌平区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±，则实数a = ．【练6】（2017秋•丰台区期末）能够说明“方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m 的值是．【练7】（2018•朝阳区一模）若三个点(2,1)-，(2,3)-，(2,1)-中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为．【练8】（2018•北京模拟）已知O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的A ，若点A 与OF 中点的连线与OF 垂直，则双曲线的离心率e 为．【练9】（2017秋•昌平区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±，则实数a = ．【练10】（2017秋•西城区期末）若双曲线C 的一个焦点在直线:43200l x y -+=上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为；离心率为．【练11】（2017•朝阳区二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ．设这两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则点P 的横坐标是；该双曲线的渐近线方程为．【练12】如图，1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为．【练13】（2017秋•西乡县期末）对于椭圆221169x y +=和双曲线22179x y -=有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点； ③双曲线与椭圆共焦点； ④椭圆与双曲线有两个顶点相同．其中正确命题的序号是．【练14】（2017秋•西城校级期中）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点(F c -，0)(0)c >，作圆222:4a O x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若点E 恰为线段FP 的中点，则双曲线C 的离心率为．【练15】设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．【练16】已知双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在曲线C 上，12F AF ∠ 的平分线交x 轴于点M()I 若点M 的坐标为(2,0)，则2||AF = ；()II 若12||||24AF AF +=，则△12F AF 的面积为．【练17】若点O 和点2(2F -，0)分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则222||||1PF OP +的取值范围为．【练18】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线l 的方程是 2x =- ；若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于M ，N 两点，且MON ∆的面积为8，则此双曲线的离心率为．【练19】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ．。