概率论与数理统计讲稿

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第二节 概率的定义及其确定方法 一、概率的公理化定义 在生活中，经常说到概率，甚至在中学也学习过如何计算概率，那么概率其 基本要素，清楚么？确切的说并不清楚。接下来将从生活中来提炼出什么是概率 的基本要素。用数学专业术语，那么就是概率的公理化定义： （1）非负性公理：
P( A) ≥ 0 ； （2）正则性公理： P(Ω) = 1 ； （3）可列可加性公理：若 A1 , A2 ,⋯ An ⋯
P( A) =
六、确定概率的直观方法
SA 。 SΩ
确定概率的直观方法， 即是由人们经验的积累，对某个事件发生的可能性进 行确定，例如：天气预报，经常说到明天下雨的概率是 90%。 七、练习
第三节 概率的性质 一、概率的可加性 给出概率的基本性质，性质 1.3.2—1.3.6。然后运用这些性质进行运算。 二、概率的单调性 三、概率的加法公式 四、练习
+∞ −∞
+∞
−∞
xp( x) dx 绝对收敛，
xp( x) dx 。
数学期望又称为期望、均值或者加权平均。 二、数学期望的性质 数学期望的性质：
E (c) = c E (aX ) = aE ( X ) E ( g1 ( X ) + g 2 ( X )) = E ( g1 ( X )) + E ( g2 ( X ))
n
∑
j =1
P( B j ) P( A | B j )
三、例题 四、练习
第五节 独立性 一、两个事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发 ⇔ P( A | B) = P( A) 生，则这两事件是独立的. ⇔ P( AB) P( B) = P( A) ⇔ P( AB) = P( A) P( B)
互不相容，则 P( ∪ Ai ) =
i =1
∞
i =1
∑ P ( Ai ) 。满足此三条性质，称之为概率。
∞
二、排列与组合 为了计算概率，那么就要分析清楚，其是否是排列还是组合。这一部分主要 复习中学时期的排列及组合。 讲述乘法原理以及加法原理。说明什么时候是用排 列计算，什么时候是用组合（排列讲次序，组合不讲次序） 。 三、确定概率的频率方法 知道投掷一枚硬币， 其正面朝上的概率是 1 ，那么是如何计算出来的呢？这 2
n 。 N
P( A) =
事件A中所含样本点个数 。 样本空间Ω所含样本点个数
其优点在于不需要对实验进行重复试验。 五、确定概率的几何方法
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确定概率的几何方法，又称为几何概型。其主要思想是： （1）可度量性。 样 本空间 Ω 充满某个区域，其度量 (长度、面积、体积 )为 SΩ ； （2）等可能性。落 在 Ω 中的任一子区域 A 的概率，只与子区域的度量 S A 有关， 而与子区域的位 置无关则事件 A 的概率为:
三、练习
第三节 随机变量的数学方差与标准差 中学已经学习过方差及标准差， 那么方差和标准差真实的是反映了一组数据 的什么人特性呢？首先分析下数学期望， 可以得出数学期望是反映了一组数据的 平均值， 那么方差呢？方差其本质是反映一组数据的离散程度，换言之方差反映 了一组数据的密集程度。标准差与方差有着异曲同工的效果。 一、数学方差的定义 若随机变量 X 2 的数学期望 E ( X 2 ) 存在， 则称偏差平方 ( X − EX )2 的数学期望
k = 0,1,..., n. 则
称该分布为二项分布，记为 X ∼ b( n, p) ，当 n = 1 时，称 b(1, p ) 为 0-1 分布或者是 二点分布。 二、泊松分布
λ k −λ 若随即变量 X 的分布列为 P ( X = k ) = e , k!
布为泊松分布，记为 X ∼ P(λ ) 。 三、超几何分布
就要用到频率来确定了。所谓的频率确定概率，即是对一个随机实验重复 N 的 实验，然后确定事件发生的次数 n （频数） ，则事件的概率就为 用频率来确定概率，其需要对一个实验重复进行。 四、确定概率的古典方法 确定概率的古典方法，又称为古典概型。其基本思想是 (1) 有限性。样本 空间的元素(基本事件)只有为有限个，即 Ω = {ω1 , ω 2 ,⋯ , ω n } (2) 等可能性。每个 基本事件发生的可能性是相等的，即 P(ω1 ) = P(ω 2 ) = ⋯ = P(ω n ) 。则事件 A 的概 率：
P( A) =
3、贝叶斯公式
i =1
∑ P ( ABi )
n
=
i =1
∑ P ( Bi )P ( A |
n
Bi )
若事件 B1 , B2 ⋯ Bn 是样本空间 Ω 的一组分割，且 P( A) > 0, P( Bi ) > 0 ， 则
P( Bi | A) =
P( ABi ) = P( A)
P( Bi ) P( A | Bi )
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用概率语言描述： 若事件 A 与 B 满足： P( AB) = P( A) P( B) 则称 A 与 B 相互独 立，简称 A 与 B 独立。给出独立性的相关性质。以及独立性与相容性的区别。 二、多个事件的相互独立性 上面讲述了两个事件间的独立性，那么接下来，把这一性质进行扩展，扩展 到多个事件间的独立性问题。 三、实验的独立性 若试验 E1 的任一结果与试验 E2 的任一结果都是相互独立的事件，则称这两 个试验相互独立，或称独立试验. 四、例题 五、练习
第二章 第一节
随机变量及其分布 随机变量及其分布
一、随机变量的定义 在第一章第一节的时候，曾提到过随机变量，但那时只是简单的说明，并没 有给出什么是随机变量，那么这里将对其定义设 Ω = {ω } 为某随机现象的样本空 间，称定义在 Ω 上的实值函数 X = X (ω ) 为随机变量。 注意的地方：这个实值函数 X = X (ω ) 和高数中的函数不同。其次其定义域 可以是数，也可以不是数。 例题：(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2， ……，6. (2) n 个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2， ……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2， …… (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0,+∞)
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（1）设离散随机变量 X 的分布列为 P ( X = xn ) = pn , n = 1, 2,⋯ 若级数 ∑ xi pi
i =1
+∞
+∞
绝对收敛，则称该级数为 X 的数学期望，记为： E ( X ) = ∑ xi pi .。
i =1
（2）设连续随机变量 X 的密度函数为 p( x) ，若积分 ∫ 则称该积分为 X 的数学期望，记为： E ( X ) = ∫
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发生的时候计算另一个事件的概率， 即是条件概率： 对于事件 A、 B， 若 P(B)>0， 则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.。需要说 明的是条件概率也是概率，因此也必须满足概率的公理化定义。 二、条件概率的三大公式（乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式） 1、乘法公式 (1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)；
概率论与数理统计讲稿 授课班级：2010 级化本班 授课课时：45 课时，36 理论课，9 实验课 授课教师：付志青
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 一、随机现象 从现实生活中总结抽象归纳，给出什么叫现象，以及作为现象可能出现的类 型：确定性现象以及随机现象。 二、样本空间 在上一部分的基础上， 首先给出这门课要研究的问题——随机试验。作为一 个实验， 那么肯定就会有实验结果，把这样的所有的结果构成的几何称为样本空 间，把单独的一个结果称为样本点。给出其需要注意的地方。 三、随机事件 作为实验，以买彩票为例，其结果不只是一个数，而是好几个数，把这样的 结果称为随机事件，简称事件。在以后的研究中主要基于事件，研究每一个事件 发生的概率。 四、随机变量 五、事件间的关系 既然事件是研究对象的重要部分， 那么首先要研究事件之间是否有具备什么 关系——包含、相等、互不相容。 六、事件间的运算 这一部分主要研究作为事件之间是否有什么运算法则，经过分析讨论发现， 其运算类似于高等数学中集合论的运算——并、 交、 差。 除此之外还有对立事件。 七、练习
+∞ −∞
−∞
密度函数的基本性质： （1）非负性 p ( x) ≥ 0 ； （2）正则性 ∫ p (t )dt = 1 。 五、例题 六、练习
第二节 随机变量的数学期望 一、数学期望的概念 在 17 世纪一位赌徒向法国数学家帕斯卡提出了一个关于如何分赌本的问题 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注 50 元。无平局，谁先赢 3 局，则获全部赌注。 当甲赢 2 局、乙赢 1 局时，中止了赌博。问如何分赌本 ?其次如何计算一组数据 的平均值。或者其分布情况。从而引出“期望” 。
X
x1
p1
x
p
2 2
… …
xn
p
n
P
四、连续型随机变量的密度函数
分布列的基本性质： （1）非负性 pi ≥ 0 ； （2）正则性 ∑ pi = 1
Байду номын сангаас
设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ，若存在非负可积函数 p( x) ，满足：
F ( x) =
x
∫
p(t )dt 则称 X 为连续随机变量， 称 p ( x) 为概率密度函数， 简称密度函数。
k = 0, 1, 2,⋯⋯ 则称该分
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎜ ⎟⎜ k ⎠⎝ n − k ⎟ ⎝ ⎠ , 则称该分布为泊松分 若随即变量 X 的分布列为 P ( X = k ) = ⎛N⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ 布，记为 X ∼ h( n, N , M ) 。 四、几何分布与负二项分布 若随即变量 X 的分布列为 P( X
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二、方差的性质 方差的性质：