初等数学2
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
初等数学专题研究答案
习题解答第一讲自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于 A B 二｛(a,b)|a A,b B｝与 B B 二｛(b,a) |b B,a A｝，定义Ax B 到 B x A 的映射为：(a,b) —厶(b,a),(a, b) A決B,(b,a)^ B汉A显然这个映射是A B到B A的 ------ 映射，所以A B = B A，于是按定义有：A B A，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设p(n)是一个与自然数有关的命题，如果：(1)命题p(n)对无穷多个自然数成立；(2)假如命题对n = k (k_n0)成立时，能够推出命题对n二k -1也成立，那么对一切自然数不小于n o的自然数n，命题p(n)必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此, M中必有一个最小数r0(ro - %)。
此时，由于不大于r0的自然数只有有限个，按照条件(1)，至少有一个自然数r(r>r°)，命题在r处成立；于是由条件(2)，命题对r-1也成立，连锁应用条件(2),那么命题在r,r-1,r- 2,…，r-k,…处都成立，而这个序列是递减的，因此r o必然出现在这个序列中，这与r o的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：3 1 =3：=4,3 2 =3 1 =(3 T)：= 4：=5,3 3=32 =(3 2) =5 = 6,3 4 =3 3 =(3 3)= 6=74、设平面内两两相交的n个圆中，任何三个不共点，试问这n个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n个圆将所在平面分割成f(n)个部分，显然f(1) = 2,f(2) = 4 ；如果满足条件的n个圆把平面分割成f(n)个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n个圆一定已经把平面分割成f(n)个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n个圆必然产生2n个交点，这2n个交点必然把这最后一个圆分割成2n段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而f(n 1) - f (n^ 2n，于是得：f( 2)- f(1)= 2, f( 3) —f( 2 )= 4,, f (n) — f (n —1) = 2(n 一1)将这n-1 个等式相加得：f(n) — f(1) = 2・4，—2(n—1) = n(n 一1)即 f ( n( n 1 ) 2 =2n - n25、设平面上的n条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：f(nr 1 MLY2证明：显然f(1)= 2=「(「° 1成立；假将设平面上的k条直线最多可以把平面分割成 f (k ) = 1 • k(k 1)个互不相通2的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k条直线最多把平面分割成二1「也D个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每2条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k个交点，这k个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而f (k 1) - f (k) =k 1所以：f(k 1) - f (k) k 1=1 9 k 12k(k 1) 2(k 1)才(k 1)(k 2)2 2所以公式f (n) =1 n(； °在n = k 1时也成立，于是公式对一切自然数n都成立。
(完整版)初等数学研究答案
2。
对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则(1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc(3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= （bc）′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1）∴c∈M由归纳公理知M = N。
所以命题对任意自然数c成立（2)若a 〈 b，则有k∈N，使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3）依据（2)由对逆性可得。
7.设=(3+13) / 2 ，=（ 3-13） / 2 , An= （n-n）/ 13（n=1,2,…。
.).（1）以为根作一元二次方程(2) 证明A n+2=3A n+1+A n；(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：（1）∴由韦达定理得以为根作一元二次方程为：X2—3X-1=0(2）证：3A n+1+A n=3（n+1—n+1）/13 +(n-n)/13=()（n+1—n+1) /13+（n-n）/13=n+2 —n+2 —n+1 +n+1 +n—n)/13 =n+2 -n+2）/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则 10｜ A3.②假设当n=k时，有10｜ A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 ， 10| 3A3.∴10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10｜ A3n。
9.证明整数集具有离散性.证明:要证明整数集具有离散性，即要证明在任意两个相邻的整数a与a′之间不存在整数b，使a<b< a′。
常用初等数学公式
常用初等数学公式1.乘法公式：-(a+b)×c=a×c+b×c-(a-b)×c=a×c-b×c-(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d-(a-b)×(c-d)=a×c-a×d-b×c+b×d2.平方公式：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²3.立方公式：- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³- (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³4.四则运算：-a+b=b+a-a-b=-(b-a)-a×b=b×a-a÷b=a/b5.分式运算：- 分式相加：a/b + c/d = (ad + bc) / bd- 分式相减：a/b - c/d = (ad - bc) / bd- 分式相乘：(a/b) × (c/d) = ac / bd- 分式相除：(a/b) ÷ (c/d) = (ad) / (bc)6.指数公式：-a⁰=1-a¹=a-a²=a×a-aᵐ×aⁿ=a^(m+n)（同底数的指数相乘，等于底数不变，指数相加）-(aⁿ)ᵐ=a^(n×m)（指数的幂，等于底数不变，指数相乘）-a⁻ⁿ=1/aⁿ（负指数的运算）7.开方公式：-平方根：√a×√a=a- a × √b × √b = ab- √(ab) = √a × √b-aⁿ/ⁿ√a=√a8.百分数运算：-百分数变小数：移动两位小数点向左-小数变百分数：移动两位小数点向右-分数变百分数：分子变化，分母变100-百分数变分数：分子不变，分母变1009.比例运算：-比例：a:b=c:d，即a/b=c/d-相等比例：a:b=c:b-倒数比例：a:b=1/b:1/a-反比例：a×b=k(k为常数)10.连续整数运算：-连续整数的和：n个连续整数之和=(第一个整数+最后一个整数)×n/2-连续整数的平均数：n个连续整数的平均数=(第一个整数+最后一个整数)/2-连续偶数的和：n个连续偶数之和=(第一个偶数+最后一个偶数)×n/2-连续奇数的和：n个连续奇数之和=n²或n²+n11.平行线运算：-共线角性质：对内(内错角)：互补角之和为180°；对内(内析角)：互余角之和为180°；对外角与内错角互补；对外角与内析角互余-切线性质：切线与半径垂直；相交弧（两条）所对圈角相等；切线之间平行12.角度运算：-直角的两个补角相等-锐角的两个角平分线的和等于180°-相邻补角：两个角的和等于180°-对顶角：两个补角叫做一个对顶角13.园及圆周运算：-圆的面积：A=πr²-圆的周长：C=2πr-弧长公式：L=2πr(α/360°)（α为圆心角）-扇形面积公式：A=1/2r²α/360°（α为圆心角）- 弓形面积公式：A = 1/2r²(α - sinα)14.角正弦、余弦、正切公式：- 正弦公式：sinA = 对边/斜边- 余弦公式：cosA = 邻边/斜边- 正切公式：tanA = 对边/邻边15.直角三角形中的特殊比值：- 正弦：sin45° = cos45° = √2/2- 余弦：cos45° = sin45° = √2/2- 正切：tan45° = 1, tan30° = 1/√3- 三角函数的反函数：sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA16.四边形运算：-平行四边形的性质：对角线互相平分；对角线互相垂直-矩形的性质：所有内角为90°；对角线相等-正方形的性质：所有边相等；所有内角为90°；对角线相等且互相垂直-菱形的性质：所有边相等；对角线互相垂直；对角线互相平分-梯形的性质：上底+下底×高/2=面积以上为常用的初等数学公式，涵盖了乘法公式、平方公式、四则运算、分式运算、指数公式、开方公式、百分数运算、比例运算等多个方面。
初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解
初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解多项式因式分解是代数学中的重要内容，它主要研究如何将一个多项式表达式分解成多个较简单的因子的乘积形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，它可以帮助我们简化计算、解决方程、求解多项式的根等问题。
本文将介绍多项式因式分解的基本概念、方法和例题。
一、多项式因式分解的基本概念1.1多项式的定义多项式是由常数和变量的乘积相加减而成的代数式，形如f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0，其中an, an-1, ..., a2, a1, a0为常数，n为非负整数，x为变量，称为多项式的系数、次数和未知数。
1.2因式的定义如果一个多项式f(x)除以一次或多次的多项式g(x)得到一个除法式时，那么g(x)称为f(x)的因式，也可以说f(x)被g(x)整除。
多项式的因式分解是将一个多项式表示成若干个因子的乘积形式。
如果一个多项式无法再进行因式分解，我们称其为不可约多项式。
二、多项式因式分解的方法2.1公因式提取如果一个多项式的各项有一个公因子，我们可以提取出来，从而将多项式分解成若干个因子的乘积形式。
例如，多项式6x3+9x2可以提取公因式3x2，得到3x2(2x+3)。
2.2平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解方法，它可以将形如a2-b2的多项式分解成(a+b)(a-b)形式。
例如，多项式x2-4可以分解成(x+2)(x-2)。
2.3完全平方公式完全平方公式是一种将二次多项式分解的方法，它可以将形如a2 + 2ab + b2的多项式分解成(a + b)2形式。
例如，多项式x2 + 4x + 4可以分解成(x + 2)22.4完全立方公式完全立方公式是一种将立方多项式分解的方法，它可以将形如a3 + 3a2b + 3ab2 + b3的多项式分解成(a + b)3形式。
例如，多项式x3 + 3x2 + 3x + 1可以分解成(x + 1)32.5因式分解公式除了上述方法外，还有一些常用的因式分解公式，例如二次多项式的因式分解公式、差二次多项式的因式分解公式等。
初等数学研究 代数部分 第二章 多项式的 因式分解
f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ． 解 这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构 拉格朗日插值公式 设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析 由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)
二项式定理在初等数学中的应用
二项式定理在初等数学中的应用二项式定理是在计算及数学研究中经常使用的定理。
二项式定理通常用于计算排列组合，在初等数学中有很多应用，主要有以下几个：
1. 二项分布：可以用二项定理来描述数据点的分布情况，通过研究其概率分布，来得出结论。
2. 圆面积：二项定理可用来计算圆的面积，可用于求解几何问题。
3. 对数函数：使用二项定理，可以求出某一特定函数的对数函数，以便进行后续处理。
4. 三角函数：二项定理可以用来求解三角函数，使用了三角函数可以计算出三角形的面积。
5. 拓扑学：二项定理可以用来描述拓扑学中变化图形的结构，从而得出结论。
6. 概率论：使用二项定理，可以计算出某一特定概率事件发生的可能性，从而推断出最终的结论。
7. 几何学：二项定理的数学方法可以非常容易地解决几何图形中的各种复杂问题。
8. 统计学：使用二项定理可以更快捷地了解抽样数据，从而使用统计学技术进行更准确的推断。
9. 调和级数：二项定理可以精确计算出调和级数的值，从而解决若干数学问题。
10. 各种游戏：二项定理可以用来研究各种游戏的概率，如橙子游戏、赌博等。
山东大学数学系教科书目录
山东大学数学系教科书目录一、初等数学1、初等数学（一）2、初等数学（二）3、高等数学（一）4、高等数学（二）5、数学分析（一）6、数学分析（二）7、数学分析（三）8、概率论与数理统计9、线性代数（一）10、线性代数（二）11、微积分12、微分方程13、椭圆型微分方程14、复变函数15、定积分与欧拉积分16、无穷积17、常微分方程与泛函微分方程18、常微分方程上的特殊解19、插值与拟合、数值分析20、向量论21、实变函数论22、函数论二、高等数学1、常微分方程2、泛函微分方程3、实变函数4、积分变换与积分系统5、泛函分析6、重积分与调和级数7、几何与向量论8、定性理论9、线性系统10、傅里叶级数11、矩阵分析12、动力系统13、幾何学三、理论数学1、组合论2、抽象代数3、群论4、余环论5、环论6、整数论7、拓扑学8、复变函数论9、函数空间论10、数理逻辑11、数论12、模论四、工程数学1、统计学2、微分方程与数值分析3、概率论及其应用4、随机数学5、矩阵加速法6、特征值问题及其应用7、Lyapunov不稳定性定理及其应用8、大数定律及其应用9、最优控制10、故障诊断理论及其应用11、算法分析及其应用12、统计识别13、多模式计算14、特殊函数干扰理论五、信息论1、数字信号处理2、数字通信3、信息论4、数据通讯5、隐私保护与数据科学6、机器学习7、安全技术8、数据挖掘六、数值分析1、数值算法2、无穷矩阵分析3、多元数值积分4、随机数值分析5、标量、矢量与矩阵数值算法6、并行计算、移动计算和存储7、最优化算法8、实际运算技术参考文献1、微积分手册2、数学分析手册3、数理统计与编程语言手册4、线性代数手册5、概率论与统计机器学习6、数值分析基础7、数值计算技术。
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nA∩ B∩( I C ) + nA∩( I B )∩C + n( I A )∩ B ∩C = 15
nA
37
nA∩ B = nA∩ B ∩C + nA∩ B ∩( I C ) nB ∩C = nA∩ B∩C + n( I A )∩ B ∩C nC ∩ A = nA∩ B ∩C + nA∩( I B )∩C
I
A B C
初-104
初-105
18
初等数学
【例】100个学生中, 88人有手机, 76人有电脑, 其中有手机 没有电脑的共15人, 则这100个学生中有电脑但没有手机的 共有[ ]人. (A) 25 (B) 15 (C) 5 (D) 3 设有手机的集合为A, 【答】D 有电脑的集合为B 【解】画图 已知 nI = 100 学生100人 nA = 88, nB = 76 nA∩( I B ) = 15 求 nB ∩ ( I A ) = nB – nA ∩ B 88人有 76人有 手机 n A = n A∩ B ∪ n A∩ ( I B ) 电脑 nA∩ B = nA − nA∩ ( I B ) = 73
⇒M∩N={x|0≤x<2}
R
( A ∩ B ) = { x | x < 0或x ≥ 4} = ( −∞ ,0) ∪ [4, +∞ )
初-102
初-103
1. (2007)集合{0，1，2，3}的子集的个数为 ( ). (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 18
【例】设I 为全集, 集合A, B, C是其子集(如图中的三个 圆圈), 则图中阴影部分表示的集合为 ( ). (A) A ∪ ( B ∩ C ) (B) [A ∪ ( I B )] ∩ ( B ∩ C )
初-111
⇒ n = nA + nB + nC − n( I A )∩ B ∩C − nA∩( I B )∩C − nA∩ B ∩( I C )
−2nA∩ B ∩C = 37 – 15 – 2 = 20
初-110
19
初等数学
【例】某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级 证、汽车驾驶证的人数分别为130, 110, 90. 又知只有一种 证的人数为140, 三证齐全的人数为30 人 , 则恰有双证的 人数为( ). (A) 45 (B) 50 (C) 52 (D) 65 (E)100 【答】B 【解】设拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证 的人数分别记为nA , nB , nC 已知
A
( I A) = A
( A ∪ B ) = ( I A) ∩ ( I B ) ( A ∩ B ) = ( I A) ∪ ( I B )
I
A
B
B
A
初-99
I
( A ∩ B ) = ( I A) ∪ ( I B )
17
初等数学
设I 为全集, A, B, C为I 的子集, 若它们为有限集, 记 集合A , B, C中所包含的元素的个数分别为nA , nB, nC
A ∪ B = { x | −4 < x ≤ 7} = (-4,7] A ∩ B = { x | 0 ≤ x < 4} = [0,4)
R R R
A = { x | x ≤ −4或x ≥ 4} = ( −∞ , −4] ∪ [4, +∞ ) B = { x | x < 0或x > 7} = ( −∞ ,0) ∪ (7, +∞ ) ( A ∪ B ) = { x | x ≤ −4或x > 7} = ( −∞ , −4] ∪ (7, +∞ )
n A∩ B
初-106
A∩B
I B A
n( I A )∩( I B ) = 0.1nI nA∪ B = 0.9nI
= nA + nB − nA∩ B nA∩ B = nA + nB − nA∪ B
= 0.7 nI + 0.8nI − 0.9nI = 0.6nI
【例】 某班同学参加智力竞赛, 共有A,B,C三题, 每题或 得0分或得满分。竞赛结果无人得0分, 三题全答对的有 1人, 答对2题的有15人. 答对A题的人数和答对B题的人 数之和为29人, 答对A题的人数和答对C题的人数之和为 25人, 答对B题的人数和答对C题的人数之和为20人, 那 么该班的人数为( )。 (A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 【答】 A 【解】设答对A, B, C 题的人数分别记为 nA , nB , nC 全班人数为n
有无穷多个x 使y 取到最小值4
f 3 ( x ) = ln(x + x 2 + 1) ⇒ f 3 ( − x ) = ln( − x + x 2 + 1) 1 = ln = − ln( x + x 2 + 1) x + x2 + 1 奇函数 f 4 ( x ) = x 2 ( x 3 + 1) 非奇非偶
nA∪ B∪C = nA + nB + nC − nA∩ B − nB∩C − nC ∩ A + nA∩ B ∩C
nA = nA∩ B + nA∩ I B
初-101
nA∩ B = nA∩ B ∩C + nA∩ B∩ I C
【例】设 A = { x | −4 < x < 4}, B = { x | 0 ≤ x ≤ 7}, 则有
Aபைடு நூலகம்
A∩B
B
补集 设I 是全集, 集合A ⊂ I, 集合I 中不属于集合A的元素 组成的集合称为A在I 中的补集, 记为 I A
I
A
B
A
B
A = { x | x ∈ I , x ∉ A}
I
I
简单性质
A∪ I A = I A∩ I A = ∅
I
I I
初-98
( A ∪ B)
= ( I A) ∩ ( I B )
nA∪ B ∪C = nA + nB + nC − nA∩ B − nB ∩C − nC ∩ A + nA∩ B ∩C
初-100
A A∪B A A∪B
B
− ( n A∩ C − n A∩ B ∩ C ) nA∩C − nA∩ B ∩C
C
B
nC − nA∩C − ( nB∩C − nA∩ B ∩C )
n( I A )∩( I B )
初-108
初-109
图解法
nA∩ B∩( I C )nB
已知 n( I A )∩( I B )∩( I C ) = 0
nA∩ B∩C nA + nB = 29 nA + nC = 25 n( I A )∩ B∩C nB + nC = 20
n A∩ B ∩ C = 1
【解二】利用容斥原理
1
求 n = nA∪ B ∪C 其中 nA∩ B∩C重复加了3次 ⇒ nA + nB + nC = 37
nA∩ B∩( I C ) , nA∩( I B )∩C , n( I A )∩ B∩C 重复加了两次
n A ∩ ( I B )∩ C nC
nA∩ B + nB∩C + nC ∩ A = 3nA∩ B ∩C + nA∩ B ∩( I C ) + nA∩( I B )∩C + n( I A )∩ B∩C = 3 + 15 n = nA∪ B ∪C = 37 − 18 + 1 = 20
有手机无 有手机有 电脑15人 电脑73人
【例】 申请驾驶执照时, 必须参加理论考试和路考, 且两 种考试必须都通过. 若在同一批学员中有70%的人通过 了理论考试, 80%的人通过了路考, 10%的人两种考试都 没有通过, 则领到驾照的人有( ).
(A) 50% (B) 60% (C) 55% (D) 65%
nA = 130, nB = 110, nC = 90
由图可见
nA + nB + nC
n nA∩ B∩( I C )nB B ∩( I C )∩( I A )
nA
n A ∩ ( I B )∩ ( I C )
n A∩ B ∩ C
= nA∩ I B∩ I C + n I A∩ B ∩ I C + n I A∩ I B ∩C n A ∩ ( I B )∩ C n( I A )∩ B∩C +2 nA∩B∩ IC + n I A∩B∩C + nA∩ I B∩C nC nC ∩( I A )∩( I B ) + 3 n A∩ B ∩ C
(
)
nA∩( I B )∩( I C ) + n( I A )∩ B∩( I C ) + n( I A )∩( I B )∩C = 140
nA∩ B∩C = 30 nA∩ B ∩( I C ) + nA∩( I B )∩C + n( I A )∩ B ∩C 求
初-112
n A∩ B ∩ I C + n I A∩ B ∩ C + n A∩ I B ∩ C 1 = ( 130 + 110 + 90 − 140 − 3 × 30 ) 2 = 50
初-113
【例】设 y = |x - 2| + |x + 2|, 则下列结论正确的是(
(A) y 没有最小值 (B) 只有一个x 使y 取到最小值 (C) 有无穷多个x 使y 取到最大值 (D) 有无穷多个x 使y 取到最小值
).
【例】下列函数中是奇函数的是(