2014-2015年安徽省宿州市高一下学期期末数学试卷及答案

2014-2015学年安徽省宿州市高一（下）期末数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．122．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=2，a4=，则公比q=（）A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为7的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列叙述正确的是（）A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0＜P（A）＜1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．76．（5分）某程序框图如图所示，若其输出结果是56，则判断框中应填写的是（）A．K＜4 B．K＜5 C．K＜6 D．K＜77．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，则B=（）A．B．或C．D．或8．（5分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人，则第七组的频率为（）A．0.08 B．0.016 C．0.06 D．0.0129．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于（）A．B．C．D．10．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，共计25分）11．（5分）将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．12．（5分）不等式＜﹣1的解集为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．14．（5分）已知四边形ABCD，AB⊥AC，∠ACB=30°，∠ACD=15°，∠DBC=30°，且AB=1，则CD的长为．15．（5分）下列几种说法：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②等差数列{a n}中，若a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为18；④在△ABC中，已知==，则∠A=60°；⑤数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，则数列{a n}是等差数列．正确的序号有．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．（I）分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+c=a．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+a，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．20．（13分）设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）﹣tx≤﹣8有解，求实数t的取值范围．21．（14分）已知数列{a n}，若a1=3，a2=5，且满足a n+1﹣a n=2n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜；（3）证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，（2）中的T n＞m恒成立．2014-2015学年安徽省宿州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．2．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=2，a4=，则公比q=（）A．﹣ B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a1=2，a4=，∴2×q3=，解得q=故选：D．3．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为7的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，点数之和为7的有3，4；2，5；1，6；4，3；5，2；6，1共6种，所以概率是=，故选：B．4．（5分）下列叙述正确的是（）A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0＜P（A）＜1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小【解答】解：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；若随机事件A发生的概率为P（A），则0＜P（A）＜1，故B错误；频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故D错误；故选：B．5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选：A．6．（5分）某程序框图如图所示，若其输出结果是56，则判断框中应填写的是（）A．K＜4 B．K＜5 C．K＜6 D．K＜7【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，K=1，执行循环体，S=2，K=2，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=6，K=3，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=15，K=4，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=31，K=5，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=56，K=6，此时，应不满足继续循环的条件，退出循环，输出S的值为56，故循环条件应为：K＜6，故选：C．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，则B=（）A．B．或C．D．或【解答】解：已知等式a=2bsinA，利用正弦定理化简得：sinA=2sinAsinB，∵sinA≠0，∴sinB=，∵B为三角形内角，∴B=或，故选：B．8．（5分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人，则第七组的频率为（）A．0.08 B．0.016 C．0.06 D．0.012【解答】解：根据第六组的人数为4，得第六组的频率为=0.08；∴第七组的频率为1﹣0.08﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.008）×5=0.06．故选：C．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P===．故选：C．10．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选：A．二.填空题（每小题5分，共计25分）11．（5分）将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17．【解答】解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．12．（5分）不等式＜﹣1的解集为（0，1）．【解答】解：∵＜﹣1，∴+＜0，∴＜0，解得：0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1014．（5分）已知四边形ABCD，AB⊥AC，∠ACB=30°，∠ACD=15°，∠DBC=30°，且AB=1，则CD的长为．【解答】解：由题意，AB⊥AC，∠ACB=30°，AB=1，∴BC=2，△DBC中，BC=2，∠BCD=45°，∠DBC=30°，∠BDC=105°，∴由正弦定理可得CD==．故答案为．15．（5分）下列几种说法：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②等差数列{a n}中，若a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则+的最小值为18；④在△ABC中，已知==，则∠A=60°；⑤数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，则数列{a n}是等差数列．正确的序号有①③④．【解答】解：对于①，在△ABC中，若sinA＞sinB，则2rsinA＞2rsinB，即a＞b，则A＞B，故①正确；对于②，等差数列{a n}中，若a1，a3，a4成等比数列，则a32=a1a4，（d为公差），即有（a1+2d）2=a1（a1+3d），化简可得d=0或a1=﹣4d．即有a1=a3=a4，公比为q=1，或公比q==，故②错误；对于③，x＞0，y＞0，且x+y=1，则+=（x+y）（+）=10++≥10+2=18，故③正确；对于④，在△ABC中，由==，结合==，可得==，即有tanA=tanB=tanC，即为A=B=C=60°，故④正确；对于⑤，数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n+1，当n=1时，a1=S1=0，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣2n+1﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1=2n﹣3．对n=1不成立．则数列{a n}不是等差数列，故⑤错误．故答案为：①③④．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．（I）分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平．【解答】解：（I）甲组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，即，解得m=3．乙组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，即，解得n=8．（Ⅱ）甲组的方差为=，乙组的方差为=．∵两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．方差＞，∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+c=a．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，由已知bcosC+c=a，利用正弦定理可得sinBcosC+sinC=sinA，即sinBcosC+sinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴cosB=，∴B=．（2）由b=，a+c=4，利用余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣3ac，解得ac=1．=ac•sinB=．∴S△ABC18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+a，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．【解答】解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1解得：a=0.005（2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0.020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1故输出的S=A2+A3+A4=18（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种所以可得：P（A）==．即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为20．（13分）设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[1，3]，不等式f（x）﹣tx≤﹣8有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（0，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由根与系数的关系知，﹣=5，=0，解得b=﹣10，c=0，∴f（x）=2x2﹣10x；…（5分）（2）不等式f（x）﹣tx≤﹣8 在[1，3]有解，等价于2x2﹣10x+8≤tx在[1，3]有解，等价于t≥2x+﹣10有解，只要t≥即可，不妨设g（x）=2x+，x∈[1，3]，则g（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；∴g（x）≥g（2）=8，∴t≥﹣2．…（13分）21．（14分）已知数列{a n}，若a1=3，a2=5，且满足a n+1﹣a n=2n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，T n是数列{b n}的前n项和，证明：T n＜；（3）证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，（2）中的T n＞m恒成立．﹣a n=2n，得【解答】（1）解：由a n+1a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=；（2）证明：b n==，∴=；（3）证明：由（2），，∵，∴T n随着n的增大而增大．若T n＞m，则，化简得，∵，∴1﹣6m＞0，则，∴，当＜1，即0时，取n0=1即可．当≥1，即时，记的整数部分为p，取n0=p+1即可．综上可知，对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，（2）中的T n＞m恒成立．。