统计、概率B

统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．总体编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第六个个体的编号为（ ）A ．20B ．16C ．17D ．182．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件时，下列说法正确的是（ ）A ．事件“至少有1件是次品”与“至少有1件是正品”对立．B ．事件“至少有1件是次品”与“至多有1件是次品”互斥．C ．事件“1件次品2件正品”与“1件正品2件次品”对立．D ．事件“至少有1件是正品”与事件“至多有2件是次品”是同一事件．3．为了普及环保知识，增强环保意识．某大学从理工类专业的班和文史专业的班，各抽取名同学参加环保知识的测试．统计得到的成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据： （1）卡方统计量，（其中）；（2）独立性检验的临界值表：0102192020()()()()()21122122121112212211211222n n n n n n n n n n n n n χ-=++++22211211n n n n n +++=则下列说法正确的是（ ）A ．有的把握认为环保测试成绩与专业有关B ．有的把握认为环保测试成绩与专业无关C ．有的把握认为环保测试成绩与专业有关D ．有的把握认为环保测试成绩与专业无关4．某学校随机抽取个班调查各班有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成，，，时，所作的频率分布直方图是（ ）5．已知，之间的一组数据如下表．对于表中数据，根据最小二乘法，下列回归直线拟合程度最好的直线是（ ） A ． B ．C ．D ．6．下图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，99%99%95%95%[0,5)[30,35)[35,40)xy 22y x =-174y x =-1.60.4y x =- 1.50.05y x =+现已知年龄在，，的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在的网民出现的频率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试， 得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则三者的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．8．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一块，其两面涂有油漆的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．9．下图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则，的值分别为（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，10．一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上， 得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）[)30,35[)35,40[]40,45[)35,400.040.060.20.3e m 0m x 0e m x m <<e 0m m x <<0e x m m <<0e m m x <<1121103251212516.8x y 255558882.8 3.660A．，B．，C．，D．，11．盒中装有形状大小完全相同的5个球，其中白色球3个，蓝色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于（）A．B．C．D．12．在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率的双曲线的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．某学院的，，三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的专业有380名学生，专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取________名学生．14．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取了60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段，制成频率分布直方图．由图形提供的信息，估计这60名学生数学成绩的平均分最接近的一个整数是________．15．如图，半径为的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为的小圆．现将半径为的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．16．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）57.2 3.657.256.462.863.662.8 3.6253545710[]1,5[]2,6a b()22221x ya ba b-=< 512153217323132A B CA BC10cm1cm1cm17（10分）某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差； （2）分析比较甲乙两个小组的成绩；（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在的概率．18．(12分)某高校一课题小组对一特区城市的工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．[)80,90（1）完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及列联表；（2）若从收入(单位：百元)在的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率．19．(12分)学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，22⨯[)15,25公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；（2）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？20．(12分)某科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了12月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽率，如下表所示．该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率；（2）若选取的是12月6号和12月10号的两组数据，请根据12月7号到9号的数据，求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠?(线性回归方程，其中，)．21．(12分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸y x a bx y+=ˆ∑∑==-⋅-=ni ini ii xn xy x n yx b 1221x b y a -=15︒到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？22．(12分)电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元／张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高元／张()，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？统计、统计案例、概率答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只5.15.210x x ∈N 11xx +有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】根据规定的选取个体的方法选出来的第六个个体的编号应为16，故选B ． 2．【答案】D【解析】∵次品共有2件，∴“抽出的3件中至少有1件为正品”与“最多有2件是次品”都是必然事件，是同一事件，故选D ． 3．【答案】C 【解析】，故选C ． 4．【答案】A【解析】由茎叶图知落在区间与上的频数相等，从而也相等，比较四个选项，只有选项A 符合，故选A ． 5．【答案】C【解析】根据表中数据，与正相关，排除B ； ，，排除D ；对于拟合直线，；对于拟合直线，；故选C ． 6．【答案】C【解析】由的频率为；的频率为； 又，，的人数成等差，则其频率也成等差，又的频率为，则的频率为，故选C ． 7．【答案】D【解析】由频数分布条形图知，30名学生的得分依次为个，个，个，个，个，个，个，个．中位数为第，16个数（为，）的平均数，即；出现次数最多，故，()22401413762804.912 6.6352119202057χ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯[0,5)[5,10)频率组距y x 4x =6y =22y x =-()()25222221100012iii y y =-=-++++=∑1.60.4y x =-()2222522112212055555-iii y y =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑[)20,250.0150.05⨯=[)25,300.0750.35⨯=[)30,35[)35,40[)40,45[]30,456.035.005.01=--[)35,402.02334105663728292101556e 5.5m =505m =于是得．故选D ． 8．【答案】D【解析】每条棱上有8块，共块，概率为，故选D ． 9．【答案】C【解析】甲组数据的中位数为，∴，所以乙组数据的平均数为，∴，故选C ． 10．【答案】D【解析】设原来这组数据为，新数据为，则． 因为平均数增加60变化为，因为方差，所以方差不改变，仍为，故选D ．11．【答案】B【解析】三个白色球用，，表示，两个蓝色球用，表示，则基本事件有，，，，，，，，，．共10个；其中取出的2个球颜色不同的基本事件有，，，，，．共6个；故所取出的2个球颜色不同的概率．故选B ． 12．【答案】B【解析】双曲线的离心率，∵，∴，∴，所以，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，如图所示，0e m m x <<81296⨯=812121000125P ⨯==1510x =+5x =()191510182416.85y +++++=⎡⎤⎣⎦8y =i x i y 60i i y x =+()1160n i iy x n ==+∑1160ni i x n ==+∑62.8()()22116060n i i s x a n =⎡⎤=+-+⎣⎦∑()211ni i x a n ==-∑6.3123A B 12131A 1B 232A 2B 3A 3B AB 1A 1B 2A 2B 3A 3B 63105P ==c e a ==5<e 422<ab a b a 2<<15262a b a b a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪<<⎩a b，所以方程表示离心率小于的双曲线的概率为，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】40【解析】专业的学生有1200380420400--=，由分层抽样原理，应抽取名．14．【答案】71【解析】． 15．【答案】【解析】由题意，若硬币落下后与小圆无公共点，硬币的中心应落在和圆形纸板有相同圆心的一个圆环上，圆环的内径为，外径为，圆环的面积为，故所求概率为． 16．【答案】【解析】如图所示，从正六边形的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有，，，共3种，故其概率为． 1115442433222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影()22221x y a b a b -=<5151521632P ==C 400120401200⨯=450.05550.15650.25750.35850.1950.171x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=77812cm 9cm ()229277π⨯-=π77778181P π==π15ABCDEF AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF AD BE CF 31155=三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）． 【解析】（1）记甲乙成绩的的平均数分别为，， 则． ． 记甲乙成绩的的方差分别为，，则．．（2）因为，所以甲乙两个小组成绩相当；因为，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在，记为，，有2名在记为，．任取两名同学的基本事件有6个：，，，，，．恰好有一名同学的得分在的基本事件数共4个：，，，． 所以恰好有一名同学的得分在的概率为． 18．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）各组的频率分别是，，，，，所以图中各组的纵坐标分别是：，，，，，，168x =268x =21775．s =2245s =231x 2x ()115660616371728081688x =+++++++=()215862646669717381688x =+++++++=21s 22s ()()()()()()()()22222222211566860686168636871687268806881688s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦775．=()()()()()()()()22222222221586862686468666869687168736881688s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦45=12x x =2212s s >[)70,801a 2a [)80,901b 2b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()21,a b ()22,a b ()12,b b [)80,90()11,a b ()12,a b ()21,a b ()22,a b [)80,9023p =250.10.20.30.20.10.10.010.020.030.020.010.01（2）设收入(单位：百元)在的被调查者中赞成的分别是，，，，不赞成的是，从中选出两人的所有结果有：，，，，，，，，，．其中选中的有：，，，．所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是． 19．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）男生共14名，中间两个成绩是175和176，它们的平均数为． 所以男生成绩的中位数是； 女生成绩的平均值是． （2）用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中抽取5人，每个人被抽中的概率是， 根据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人． 所以选中的“甲部门”人选有人，“乙部门”人选有人． 记选中的“甲部门”的人员为，，选中的“乙部门”人员为，，．从这5人中选2人的所有可能的结果为：，，，，，，[)15,251A 2A 3A 4A B ()12A A ()13A A ()14A A ()1A B ()23A A ()24A A ()2A B ()34A A ()3A B ()4A B B ()1A B ()2A B ()3A B ()4A B 42105P ==175.5181x =710175.5175.5()11681771781851861921816x =+++++=51204=1824⨯=11234⨯=1A 2A 1B 2B 3B ()12,A A ()11,A B ()12,A B ()13,A B ()21,A B ()22,A B，，，共10种．其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有7种，因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是． 20．【答案】（1）；（2）；（3）可靠． 【解析】（1）设事件“选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据”为事件，从5组数据中选取2组数据的所有情况为：，，，，，，，，，，共10种(其中的数据为12月份的日期)；选取的2组数据恰好是不相邻的2天的数据有：，，，，，，共6种；∴事件的概率为：． （2）由题设表格中的数据可得：，， ，，∴，， ∴关于的线性回归方程为． （3）当10x =时，，∴， 当8x =时，，∴， 所以（2）中所得到的线性回归方程是可靠的． 21．【答案】乙商场．【解析】①如果顾客去甲商场，实验的全部结果构成的区域为整个圆盘，面积为(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为．所以，在甲商场购物中奖的概率为． ②如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为，3个红球为，记为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，()23,A B ()12,B B ()13,B B ()23,B B 710355ˆ32y x =-A ()6,7()6,8()6,9()6,10()7,8()7,9()7,10()8,9()8,10()9,10()6,8()6,9()6,10()7,9()7,10()8,10A ()63105P A ==()1111312123x =++=()1253026273y =++=31112513*********i ii x y==⨯+⨯+⨯=∑322221111312434i i x ==++=∑3132221397731227543431223i ii ii x yx y b xx==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑5271232a y bx =-=-⨯=-y x 5ˆ32yx =-5ˆ103222y =⨯-=222312-=<5ˆ83172y =⨯-=171612-=<2R π224153606R R ⨯ππ=16321,,a a a 321,,b b b (),x y ()12,a a ()13,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()23,a a ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()31,a b ()32,a b ()33,a b ()12,b b ()13,b b ()23,b b摸到的两个球都是红球有：，，共3个． 所以在乙商场中奖的概率为．所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． 22．【答案】（1）“足球迷”16万，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）元． 【解析】（1）样本中“足球迷”出现的频率为， “足球迷”的人数为：10016%16⨯=万，“铁杆足球迷”的人数为：万， 所以16万“足球迷”中“铁杆足球迷”约有3万人．（2）设票价为10010x +元，则一般“足球迷”中约有万人， “铁杆足球迷”约有万人去现场看球，令，化简得 即，解得4x ≥(16513x ≤-舍)． 所以平均票价至少定为10040140+=元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过万人．()12,b b ()13,b b ()23,b b 331155P ==140()0.160.100.060.516%++⨯=()1000.060.53⨯⨯=()13110%x -3111x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭()13110%311011x x x ⎛⎫-+-≤ ⎪+⎝⎭133********x x x --≤+2131136600x x +-≥10。