第四章 原子的精细结构：电子的自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋原子是构成物质的基本单位，其结构包括核和围绕核运动的电子。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个非常重要的物理概念，它们对原子的性质和行为都有重要影响。
一、电子自旋1.电子自旋的概念电子自旋是电子固有的一种内禀性质，它并不是电子真正的旋转运动，而是描述电子的一种量子性质。
电子自旋可以用两种态来描述，即上自旋态和下自旋态，分别用↑和↓表示。
这两种态是对应于电子自旋在空间中的两个方向，它们之间没有中间态。
2.电子自旋的测量电子自旋的测量是基于量子力学的原理，它具有不确定性。
当进行电子自旋的测量时，不可能同时测量出电子的位置和自旋方向。
根据量子力学的测不准原理，测量电子的自旋方向会使得其位置的不确定性增加，反之亦然。
3.电子自旋的性质电子自旋在原子结构中具有重要的作用。
它决定了原子在外加磁场下的行为，从而影响了原子的磁性。
电子自旋还与化学键的形成和原子光谱的性质有关。
由于电子自旋的存在，原子的能级结构会呈现出一些特殊的规律，如Pauli不相容原理等。
4.康普顿散射电子自旋还与康普顿散射现象相关。
康普顿散射是指X射线与物质中的自由电子相互作用而发生散射的现象。
在康普顿散射中，X射线会与电子的自旋磁矩相互作用，使得散射角度发生变化，从而可以用来测量电子的自旋。
二、核自旋1.核自旋的概念核自旋是核子固有的自旋角动量，通常用I来表示。
与电子自旋类似，核子的自旋也具有量子性质，即其自旋角动量只能取离散的数值。
在自然界中，存在很多核素，它们的核自旋可以是整数或半整数。
2.核自旋的性质核自旋是核物理研究的重要参数之一，它与原子核的稳定性、核衰变、核磁共振等现象密切相关。
核自旋还可以影响原子的磁性和核荷分布，从而影响原子的化学性质。
3.核自旋共振核自旋可以通过核磁共振技术来研究。
核磁共振是一种利用核自旋的方法来研究物质结构和性质的技术。
在核磁共振中，外加磁场使得具有核自旋的原子核产生共振吸收信号，从而可以得到有关原子核的信息。
原子光谱的精细结构
原子光谱的精细结构是指由于电子的自旋-轨道相互作用引起的原子能级分裂和光谱线的多重结构。
在没有考虑这种相互作用时，氢原子等简单原子的光谱呈现出由玻尔模型预测的离散谱线。
然而，当考虑到相对论效应和电子的自旋性质时，情况变得更加复杂。
以下是一些关于原子光谱精细结构的关键点：
1. 自旋-轨道相互作用：电子不仅具有轨道运动，还具有内在的自旋。
这两种运动之间的相互作用导致了原本单一的能级分裂为多个子能级，形成了精细结构。
2. 精细结构常数：描述自旋-轨道相互作用强度的物理量是精细结构常数（通常表示为α），其值约为1/137。
这个常数在量子电动力学中起着核心作用，并与电磁相互作用的强度有关。
3. 光谱线分裂：由于能级的分裂，当电子在不同能级之间跃迁时，会发出或吸收特定波长的光，形成光谱线。
精细结构导致这些光谱线进一步分裂为更窄的谱线，这些谱线之间的间隔通常很小，但可以通过高分辨率光谱仪观测到。
4. 量子数：为了描述具有精细结构的能级，需要引入额外的量子数。
除了主量子数n、角量子数l和磁量子数m_l之外，还需要考虑自旋量子数m_s。
这些量子数共同决定了电子在原子中的状态和相应的能级。
5. 相对论效应：除了自旋-轨道相互作用外，相对论效应也对原子光谱的精细结构有贡献。
特别是对于重原子，这些效应更为显著。
6. 实验观测：原子光谱的精细结构最早是在实验中通过高分辨率光谱学技术观察到的，这些观察结果对理解和验证量子理论的发展起到了关键作用。
通过研究原子光谱的精细结构，不仅可以更深入地理解原子内部的电子行为，还可以精确测量基本物理常数，并在精密测量和光谱学等领域找到应用。
原子物理学 课后答案
目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。
第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。
1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。
难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。
2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。
3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。
第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。
第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。
第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋1.引言原子结构是指原子内部的组成和排列方式，包括核子和电子的结构。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个重要的概念，它们对于原子的性质和行为起着重要作用。
2.电子自旋电子是原子中最轻的带电粒子，它的自旋是电子最重要的特性之一。
电子自旋是指电子围绕自身轴心旋转的现象，它的大小和方向可以用自旋量子数来描述。
根据量子力学理论，电子自旋量子数可以取两个值，分别为+1/2和-1/2。
这意味着电子自旋可以分为两种状态，即自旋向上和自旋向下。
3.核自旋与电子自旋类似，核自旋也是原子结构中非常重要的一个概念。
核自旋是指原子核内部核子（质子和中子）围绕自身轴心旋转的现象。
核子的自旋量子数也可以取两个值，分别为+1/2和-1/2。
不同于电子自旋，核自旋的大小和方向会受到核外电子的屏蔽效应的影响。
这意味着核自旋的取值范围和性质会受到核外电子的影响而发生改变。
4.电子自旋和核自旋的相互作用在原子结构中，电子自旋和核自旋之间存在着相互作用。
这种相互作用会对原子的性质和行为产生影响。
在原子内部，电子与核子之间会发生自旋-轨道耦合，这是因为电子不仅有自旋运动，还有轨道运动。
这种耦合会导致电子的自旋和轨道运动不再是完全独立的，而是相互影响的。
另外，电子自旋和核自旋之间还会发生磁相互作用，这种相互作用会导致原子具有磁性。
5.电子自旋和核自旋在原子物理中的应用电子自旋和核自旋在原子物理中具有广泛的应用。
其中，最重要的应用之一是核磁共振(NMR)技术。
核磁共振是利用原子核的自旋性质来获取物质结构和性质的一种分析方法。
通过NMR技术，可以研究原子核自旋和化学环境之间的相互作用，从而获取大量化学信息。
此外，电子自旋和核自旋还在磁共振成像(MRI)领域得到广泛应用，用于医学诊断和研究。
6.结论电子自旋和核自旋是原子结构中重要的概念，它们对于原子的性质和行为具有重要影响。
在原子内部，电子自旋和核自旋之间存在相互作用，这种相互作用会引发许多重要的物理现象。
原子的精细结构.
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
为使氢原子束在磁场区受力，则要求磁场在Å的线度 范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）。 在外加非均匀磁场中原子束产生分裂。是对原子在外 磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学中最 重要的实验之一。
12
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
分析矢量μ的进动。图（b）取自与B 垂直的、μ进动平面上的一小块扇面。 μ与B的垂直距离即为扇面半径 显然：d sin d d d sin sin 于是： dt dt d d d dt sin d 由此知 即为角速度。 （ b） dt 6
3
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
由经典电磁理论，载流 线圈的磁矩： iSn 电子绕核运动等效于一 载流线圈,必有一个磁矩。
i
n
r
i
n
L
r
v 设电子旋转频率: 2r
则原子中电 子绕核旋转 的磁矩为：
e
电子与自旋相联系的 磁矩类似于电子轨道 运动的磁矩。可写出 电子自旋的磁矩为：
3 s s ( s 1) B B 2 m 1 s B B sz 2
但这两个式子与实验不符，为此乌仑贝 克与古兹米特进一步假设：电子的磁矩 为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍。
（*如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身 1 的轴线旋转，则当其角动量为 时，表面处的切向线速 2 度大大超过光速！）
电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一 个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融 洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的 自然结果。
原子的精细结构电子的自旋
原子的精细结构电子的自旋原子是化学分子的基本单位，也是化学反应和化学变化的基本参考物。
原子结构是原子面临化学反应和化学变化的基本特征。
原子由核，电子和电子云构成。
核是原子中带有正电荷的中心，而电子则存在于核外的电子云中，又称外层电子。
电子是原子中最活跃的成分，掌握对电子的研究可以掌握整个原子的特征和行为。
其中包括原子的精细结构和电子自旋。
一、原子的精细结构原子的精细结构是指原子中电子能级的精细结构，通过电子吸收能、发射能和电子竞争的方式进行研究，以探测电子的能级结构和运动规律。
（一）原子能级原子能级是指原子中每个电子在不同能量状态下所处的状态。
原子中的能级可被分为基态，电子激发态以及离散态。
基态是能量最低的状态，所有能量处于基态的状态。
离散态是中间状态，处于基态和激发态之间。
电子激发态是指原子中的电子因为吸收或者失去能量而移动到一个较高的能量状态，成为激发态。
电子跃迁是指电子在不同的能量态之间运动时所产生的变化，这种变化会产生一定的能量。
电子跃迁的能量差可以通过光谱来测量，也可以通过测量电触发的荧光强度来测量。
（二）光谱分析光谱分析是一种探测化学物质的工具，通过电子的吸收和发射能来进行化学分析。
光谱分析可以被用于化学分析，探测电子沿着不同化学反应模式的运动规律。
光谱分析可以被用于探测分子和原子的特征，包括丰度，引力能和外加势能等等。
从光谱分析中可以得知原子的基态，激发态和离散态之间的能差，以及电子传递特征，提供了关于原子的精细结构和电子自旋的信息。
二、电子自旋电子自旋是指电子的一个内禀性质，即电子在原子内部的旋转方向。
电子是一种带有负电荷的基本粒子，也是电子云中最活跃的成分。
电子的自旋是由于自身的旋转而产生的，它与电子的电荷和运动都有关系。
电子的自旋是一种内在的、量子力学的性质，是由能量的守恒和角动量的守恒原理共同决定的。
（一）电子的自旋量子数电子的自旋是用量子力学的方法描述的，它具有双重自性，既是粒子，又是波。
第四章 电子的自旋
在原子内部，有两种角动量 L 和 S
必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。
s 与s
l 与 l
分别共线，合成后
j ls
l s
三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
原子的精细结构—电子自旋
j , z m j g j B
轨道 g 1 l 运动
l , z
e Lz m l B 2me
S z ms
S s ( s 1)
e e s S s( s 1) 2 s( s 1) B me me
自旋 gs 2 运动
s , z
e e Sz m s 2m s B me me
自旋-轨道耦合 的附加能量。
作数量级估计（对氢，n=2）：
U e2 ( c ) 2 4 0 2 E0 2 4a1 3 (1.44eV nm)(197eV nm) 2 105 eV 2(0.511106 eV ) 2 (4 0.53nm)3
精确计算：求 S L 2 2 2 J S L J S L 2S L
L 0, 1, 2, 3,
能级重数
2S+1
2
S1/ 2
S P D F
J 值= L S ， S ＋1， ，L S L
见课本p163，表……
（4）施特恩－盖拉赫实验的解释
Bz dD z2 cos z 3kT
其中μ 应为原子的总磁矩，即轨道磁矩和自旋磁矩 的合成 cos J cos mJ g J B
§4.4 碱金属双线
（1）碱金属谱线的精细结构：定性考虑 碱金属的原子光谱有四个主要线系（以锂为例）： 主线系：np→2s跃迁；
锐线系：ns→2p跃迁；
漫线系：nd→2p跃迁；
基线系：nf→3d跃迁。
当用高分辨率光谱仪观察，发现这些谱线有双 线结构：
主线系
np→2s
线系限
锐线系
ns→2p
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l l ( l 1) gl B , s s( s 1) g s B , j j( j 1) g j B l , z ml gl B , s . z m s g s B , j , z m j g j B
j j( j 1) g j B j ,z m j g j B
g—朗德因子
其中，j=l±s，mj=j，j-1，…，-j，共 2j+1个 数值。
g因子是反映物质内部运动的一个重要物理量， 但至今仍是一个假设。
引入 g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁
r 2 iS r n n 2 r 2
e e me rn L 2me 2me
def
e 定义旋磁比： 2me
则电子绕核运动的磁矩为 L
结论：电子绕核运动的磁矩与电子的轨道角 动量反方向，大小通过旋磁比联系。
当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为
原子经磁场区（长度为d）后，与x轴线的偏角为：
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
由以上讨论知，不仅μ呈量子化， μ在z方向的 投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的。故从实验测得z2是分立的，反 过来证明μ呈量子化。 此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一 次量度原子基态性质的实验。
当只考虑轨道角动量时，
l l ( l 1) B j l , gl 1， 则 l , z m m B
s 3 B j s,gs 2， 则 s,z B
当只考虑自旋角动量时，
三、单电子的g 因子表达式
拉莫尔进动的角频率
L 2
二、轨道磁矩量子表达式
两个量子数（n、l）中，主量子数n决定体系 的能量，角动量量子数 l 决定轨道形状。 根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的， 这包括它的大小和空间取向都是量子化的。 角动量表达式
L
角动量z分量：
l (l 1),
l 0,1,2,n 1
三、实验结果及结论
结果：探测到原子位置有固定的位置，即原子 偏离x 轴的z2数值是分立的。 如H：z2只有两个，即在相片上只看到两条黑斑，
即H在外磁场中只有两取向。而经典理
论认为z2应在某个范围内连续取值。 结论：原子磁矩在外磁场方向即z 方向的投影是量 子化的。即证实了原子在外磁场中的空间量子化。
上式与实验不符，为与实验事实相符，乌仑贝克
与古兹米特进一步假设：电子的自旋磁矩z方向 分量为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍；磁 矩方向与自旋方向相反。
s 3 B s,z B
e 从以上的讨论可知： L 2me 两者相差一倍。
l
s
e S me
3. 电子的自旋磁矩（内禀磁矩） 前已得到电子轨道运动的磁矩
l l ( l 1) B l , z m m B
电子与自旋相联系的磁矩类似于电子轨道 运动的磁矩，可写出电子的自旋磁矩为 3 s( s 1) B B s 2 m 1 s,z s B B 2
3．拉莫尔进动的角速度 磁矩在均匀外磁场中受到的力矩 dL B dt d B 由 L 得 dt d 可改写为 dt
拉莫尔进动的角速度 B
d dt
sin
s 3 B 自旋磁矩： s , z B
j j ( j 1) g j B j l s 总磁矩： j , z m j g j B m j j j l s
二、朗德因子（g因子）
定义一个 g因子，使得对任意角动量 j所对应的磁 矩以及它们在z方向上的投影都成立。表示为
一、乌仑贝克与古兹米特的电子自旋假说
1. 电子不是点电荷，除轨道角动量外还有自旋运动， 具有固有的自旋角动量S（内禀角动量）
1 S s( s 1), s 2 1 2. 它在z方向的分量只有两个： s z 2 1 即自旋量子数在z方向的分量只能取 : 2 1 S z m s , m s 2
其特点是 L不能与z方向重合，
这正是对角动量量子化条件 改动而产生的效果。 角动量矢量在空间的取向 不连续，量子化，取向的 个数与角动量量子数有关， 等于2l+1个。 空间量子化：原子体系角动量在外场（磁场和电 场）方向的投影只能取某些特定值的现象称空间 量子化。
第二节 施特恩—盖拉赫实验
（在外加非均匀磁场中原子束的分裂）
Lz ml , ml 0,1,, l
电子磁矩大小
l L l (l 1)
e l l ( l 1) l ( l 1) B 2m e
e B 0.5788 10-4 eV/T 2me 电子磁矩的z分量：l , z Lz ml
uB称玻尔磁子，为轨道磁矩的最小单元。
l ,z
e ml ml B 2m e
电子磁矩在z方向的投影
l L l ( l 1) B l , z Lz ml ml B 2 2 e 4 1 e 0 玻尔磁子 B ce 2me 2 4 0 c mee2 1 电偶极 c(ea1 ) 距量度 2 电磁波与物质中原子相互作用时 Em cBm
1．电子的自旋与轨道角动量的耦合
总角动量 j。满足矢量相 加法则，合成总角动量。 2．单电子的g 因子表达式 （1）电子的总磁矩：两分量。 j l cos(l , j ) s cos(s , j )
j j( j 1) g j B
电子各种角动量与 相应磁矩的关系
施 特 恩 (O· Stern) 和 盖 拉 赫 (W· Gerlach) 在 1921 年第一次通过实验直接证明了原子在外 场中角动量空间取向的量子化现象。角动量 的空间取向与原子磁矩的空间取向有着密切 的联系。
一、装置：原子源、两个狭缝、只在z 方向不均
匀的非均匀磁场、接收屏。
为使氢原子束在磁场区受力，要求磁场在的0.1nm线度 范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）
磁相互作用与电相互作用比： 1 B cea m 1 1 Bm B 1 2 100 Em ea1 cBm ea1 2
三、角动量取向量子化（空间量子化）
根据轨道角动量及其分量的量子化条件
L l ( l 1), l 0,1,2, n 1 ml 0,1, , l Lz ml ,
自旋角动量受到质疑！
如：自旋电子表面线速度
mvr h, rl 10 (m)
16
vl
h mrl
1.0546 1034 J s 9.11031 1016
电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子 认识的一个重大发展。狄拉克于1928年找到一 种与狭义相对论相融洽的理论，可由狄拉克量
（2）g 因子表达式 结合上两式，总角动量对应的朗德因子： ˆ2 gl g s gl g s lˆ2 s gj ˆ 2 2 j2 ˆ 2 lˆ 2 3 1 s 2 ˆ 2 2 j
3 s( s 1) l ( l 1) g 2 2 j ( j 1)
第一节：原子中电子轨道运动的磁矩 一、经典表达式 1．磁矩： iSn
i为电流大小； S为电流所围的面积， n 是垂直于该积的单位矢量。 原子中电子绕核转必定与一个磁距相对应。 2．电子轨道磁矩 设电子旋转频率为 2 r 依电流的定义式得
e ie 2 r
(1)
设 在dt时间内旋进角度 d
d sin d d d sin (2) dt dt d (1)(2)式比较： dt
拉莫尔进动的角速度
B
表明：在均匀外磁场 B 中高速 旋转的磁矩不向 B靠拢，而是 以一定的 绕 B 作进动。 的 方向与 B一致。
子方程得出电子自旋的自然结果。
反过来看，电子轨道运动的磁矩为
l l ( l 1) B l , z m m B
在原子体系中并不普遍成立。
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子的总角动量
轨道角动量： L l (l 1) , 自旋角动量： S s ( s 1) ,
Z
沿x方向进入磁场的原子束只在Z方向上受力， B Z Fz z z 原子作平抛运动：x —匀速运动；z —匀加速运动。
x vt 原子在磁场区内的运动方程为： 1 FZ 2 z1 t 2 m
Z
μ B z
z
μ 与Z 方向的夹角
Fz t vz Fz d m arctg arctg arctg 2 vx v mv d
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 原子中电子轨道运动磁矩 史特恩—盖拉赫实验 电子自旋的假设 碱金属双线 塞曼效应
玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与 电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。不 过随后高分辨率光谱仪发现光谱线还有精细结构， 说明还需考虑其它相互作用引起能量变化的原因。 本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。 本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合 成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子 的精细结构，并且我们要介绍斯特恩-盖拉赫， 碱金属双线，塞曼效应三个重要实验，它们证明 了电子自旋假设的正确性。
l 0,1,2