结构力学-力法中对称性的利用
考研结构力学知识点梳理
第一章结构的几何构造分析1.瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后，又成为几何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系至少有一个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚片，才能看成是瞬铰。
3.关于无穷远处的瞬铰：（1）每个方向都有且只有一个无穷远点，（即该方向各平行线的交点），不同方向有不同的无穷远点。
（2）各个方向的无穷远点都在同一条直线上（广义）。
（3）有限点都不在无穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去支座去二元体。
体系与大地通过三个约束相连时，应去支座去二元体；体系与大地相连的约束多于4个时，考虑将大地视为一个刚片。
（2）需要时，链杆可以看成刚片，刚片也可以看成链杆，且一种形状的刚片可以转化成另一种形状的刚片。
5.关于计算自由度：（基本不会考）（1）W>0,则体系中缺乏必要约束，是几何常变的。
（2）若W=0，则体系具有保证几何不变所需的最少约束，若体系无多余约束，则为几何不变，若有多余约束，则为几何可变。
（3）W<0，则体系具有多与约束。
W≤0是保证体系为几何不变的必要条件，而非充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.第二章静定结构的受力分析1.静定结构的一般性质：（1）静定结构是无多余约束的几何不变体系，用静力平衡条件可以唯一的求得全部内力和反力。
（2）静定结构只在荷载作用下产生内力，其他因素作用时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内力与杆件的刚度无关。
（4）在荷载作用下，如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。
（5）当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内力不变。
（6）静定结构有弹性支座或弹性结点时，内力与刚性支座或刚性节点时一样。
解放思想：计算内力和位移时，任何因素都可以分别作用，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院里的应用条件是：用于静定结构内力计算时应满足小变形，用于位移计算和超静定结构的内力计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
四川大学锦城学院结构力学复习题
2、几何常变体系、几何瞬变体系
FP FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系， 则称几何瞬变体系。
3
3、自由度
自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的 数目，即确定体系位置所需要独立坐标的数目
A
y
y y x
A
x
x
1动点= 2自由度
1刚片= 3自由度
A
FAx=120kN FAy=45kN 4m
C
F
G
15kN 4m
15kN 4m
15kN
a.求支座反力 FAy=45kN
FAx=120kN
（对于这种悬臂型结构可不必先求反力）
38
3m FBx=120kN
B
D
E
3m
FNGE XNGE FNGF
YNGE
G
A
C
F
G
4m
15kN 4m
15kN 4m
15kN
15kN
MA
l
MB MA
ql2/8
26
§3-2 静定多跨梁
1.传力关系
组成顺序
基本部分
附属部分1
附属部分2 ¨ ¨ ¨
传力顺序
2.计算原则
与传力顺序相同，先计算附属部分后计算基本部分
27
画出图示梁的弯矩图、剪力图
40kN/m
K 120kN
8m
2m
3m
3m
120kN
40kN/m
60kN 235kN
60kN
36
结点法、截面法
1、结点法
取单结点为分离体， 其受力图为一平面汇 交力系。 它有两个独 立的平衡方程。
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
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M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C 。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11X1 1p 0
11
144 EI
,
1 p
1800 EI
X1 12.5kN
M M1X1 M p
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
13X 3 23X 3
1 p 2p
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
结构力学课件位移法对称性
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
结构力学五
五．力法一.超静定结构概念和超静定次数的确定1.超静定结构的概念：有多余约束存在，支座反力和内力不能仅靠静力平衡方程确定的几何不变体系；2.超静定结构的性质：（1）多余约束反力的确定，除使用静力平衡条件外，还需考虑变形；（2）受力情况与材料的物理性质、截面几何性质有关系；（刚度）（3）去掉一些约束后，体系仍可以保持几何不变；（4）制造误差、支座移动、温度等原因能使结构产生内力；2.超静定次数的确定：（1）超静定次数=未知力个数-平衡方程的个数=多余未知力的个数=多余约束的个数=把结构变成静定结构时所需撤除的约束个数（2）将超静定结构变成静定结构的几种基本方法：A.去掉支座的一根链杆或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；B.去掉一个单铰，相当于去掉两个约束；C.将刚性连接改成单铰连接，相当于去掉一个约束；D.刚性连接处切断，相当于去掉三个约束；（3）需要注意的几个问题：A去掉的约束必须是保证体系几何不变的多余约束；B.多余约束必须都拆除；C.去多余约束的办法不仅只有一种，只是要保证去掉约束后保证其几何不变性；D.去掉多余约束后的静定结构称该超静定结构的基本结构，由上知基本结构不唯一；二.计算超静定结构的基本方法（1）计算超静定结构的方法很多，但基本方法只有两种：力法、位移法；（2）力法：多余约束力为基本未知量，位移谐调建立平衡方程（3）位移法：位移为基本未知量，节点受力平衡建立平衡方程（4）力法位移法基本思路：把不会算的结构通过未知量转换成会算的结构即基本结构（5）力法与位移法计算步骤：A.选取基本结构、基本未知量；B.用关于力的或位移的代数方程组求解未知量；三.力法思想（1）取图b为基本结构，则相应的基本体系为图e，这种情况下，图a中C处可动铰支座被视为多余约束，X1为基本未知量；（2）图a为一次超静定；（3）力法方程的概念（以图b所示的基本结构为例）：图a中，在F P作用下，体系将产生变形，但支座C处竖向位移为零（约束边界条件决定），想要静力等效，在基本体系1中（图e），基本结构在F P和基本未知量X1的作用下，C点的竖向位移为零；力法中，体系必须为线性体系，内力和位移才可以使用叠加原理，在图e 中，使用叠加原理保证C点的竖向位移为零是力法的基本思想；在F P作用下，基本结构C 点将发生竖向的位移分量Δ1P，同样，在基本未知量X1作用下，C点将产生竖向位移分量Δ11，Δ1P和Δ11必须保证C点竖向位移分量为零，则有Δ1P+Δ11=0由图乘法可以求得Δ1P和Δ11（X1的函数），然后通过C点位移为零建立方程，最终求得X1；（4）力法典型方程：⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆=∆+++=∆=∆+++=∆0X X X 0X X X 0X X X P 33332321313P 23232221212P 131********δδδδδδδδδ相同道理，如果是n 次超静定，力法方程可表示成为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆++++=∆++++=∆++++0X X X 0X X X 0X X X nF n nn 22n 11n F 2n n 2222121F 1n n 1212111δδδδδδδδδ矩阵表达式：0X X X nF F2F 1n 21nn 1n 1n n 22121n 11211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡δδδδδδδδδ 柔度系数：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn 22n1n22212n 11211δδδδδδδδδ自由项：{}iF ∆根据位移互等定理，柔度矩阵是一个对称矩阵，主对角线元素ii δ称为主系数，主系数均为正值且不等于零。
《结构力学》第七章力法
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
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对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
如果作用在结构上的荷载也是对称的(图8-19a)则Mp图也 是对称的(图8-19b),于是3P=0。由典型方程的第三式可知 X3=0，因此最后弯矩图为M=M1X1+M2X2+Mp，它也将是 对称的，其形状如图8-19c所示。此时结构的所有反力，内 力及位移（图8-19a中的虚线）都将是正对称的。
X1=Y1+Y2，X2=Y1-Y2
或
Y1=（X1+X2）/2，Y2=（X1-X2）/2
P
Y1 Y2
（a）
Y1
Y2
Y1=1
Y1=1
M1图
Y2=1
Y2=1 M2图
（b）
（c）
经过上述未知力分组后，求解原有两个多余未知力的问 题就变为解新的两对多余未知力组。同理可作出M2图 （图8-23c）。所以副系数12 =21=0。典型方程简化为
（a）
（b）
列出典型方程： 11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
（c）
由于正反对称的两图相乘时恰好正负抵消使为零,因而
力法简化总的原则是：使尽可能多的副系数以及 自由项等于零。
1.选取对称的基本结构
图8-17a示一对称结构，它有一个对称轴。所谓对
称是指： (1)结构的几何形状和支承情对称于轴；
(2)各杆的刚度（EA，EI等）也对称于此轴。将此
结构沿对称轴上的截面切开，便得到一个基本结构
如图8-17b所示。此时多余未知力包括三对力：一
EI=[3*6*30+1/2*3*3*80]*2=1800 代入典型方程得
X1=-1800/144=-12.5KN
6m 10KN
(a)
10KN
10KN
6m 6m
10KN
10KN
X1
X1 10KN
3
3
X1=1
X1=1
3 3 M1图
（m）
(b)基本体系
(c)
37.5
60 60
120 Mp图
（KN.m）
Pa a P
P
P
Mp图
M图
（a）
（b）
图8-20
（c）
例8-4 试分析图8-21a所示刚架。设EI=常数。
解基知：本力这体皆是系为一。零个 由，对 于而称 荷只结载有构是X1。反。为对四称次的超，静故可定知。正取对图称b所的示多所示，由图乘法可得：
EI11=[(½*3*3*2)*2+3*6*3]*2=144
22.5 60
82.5
M图
（KN.m）
(d)
(e)
图 8-21
最后弯矩图M=M1X1+Mp，如图8-21e所示。
2.未知力分组及荷载分组
在很多情况下,对于对称的超静定结构,虽然选取 了对称基
本结构,但多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称
的。相应的单位内力图也就既非正对称也非反对称，因此
有关的副系数仍然不等于零。例如图8-22所示对称刚架就
Pa a P
PP
Mp图
M图
（a）
（b）
（c）
如果作用在结构上的荷图载8-1是9 反对称 的（图解-20），作
出Mp图8-20b，最后弯矩图为M=M3X3+Mp，它也是反对
称的。
由上所述可得如下结论：对称结构在正对称荷载作用 下，其内力和位移都是正对称的；在反对称 荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。