结构力学对称性应用
结构力学-力法中对称性的利用
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
8-6对称性的利用.
（2）反对称荷载（图a） 在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形 。可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半， 这样 问题就变为奇数跨 的问题（图b），其中在两根分柱之间增加一跨 ，但其跨度为零。半边结构如图c所示。因为忽略轴向变形的影响 ，C处的竖向支杆可取消，半边结构也可按图d选取。中间柱CD的总 内力为两根分柱内力之和。由于两根分柱弯矩、剪力相同，故总弯 矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。又由于两根分柱的轴力绝对值 相同而正负号相反，故总轴力为零。
3. 联合法 用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。E=常数。
联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位 移法求解的方法，称为联合法。
r11Z1 R1P 0
r11 5i 4i 9i ql 6 kN m 5 12.5kN m 12 12 R 12.5kN m 1.3889kN m Z1 1P r11 9i i R1P
§8-6对称性的利用
对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形； 对称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变 形。
半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行计算时, 其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的。
1.奇数跨对称结构
（1）对称荷载（图a） 在对称轴上的截面C没有转角和水平位移，但可有竖向位 移。计算中所取半边结构如图（b）所示，C处取为滑动支承端 。
2 2
11 X 1 1P 0
11 108m 3
1P 656.25kN m 3 X1 1P 656.25kN m 3 6.0764kN 3 108m
11
MБайду номын сангаас M1Z1 M P
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
【精品】结构力学学习心得体会-浅谈对称性在结构力学中的应用
结构力学学习心得体会-浅谈对称性在结构力学中的应用结构力学学习心得体会浅谈对称性在结构力学中的应用摘要：在工程实际问题中，有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
特别是在求解超静定结构问题中，无论力法还是位移法，都是繁杂的。
但对于对称结构，利用结构的对称性，可使结构内力计算大为简化。
现在本文章就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
关键词：结构力学；对称性；内力；变形1.引言所谓对称结构是指几何形状和支承对某一对称轴对称．且杆件截面和材料性质也对此轴对称。
利用结构的对称性可使计算得到简化，这是因为对称结构具有如下特点：在正对称荷载作用下，内力和变形是正对称的；在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，如下图所示：正对称反对称2.对称性在求解结构内力中的应用对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下：①选取对称的基本结构。
②将未知力及荷载分组。
③取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的原则：(1)在对称轴的截面或位于对称轴的节点处(2)按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效。
结构力学_力法(二)对称性的利用
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对 称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用 下，只产生对称的内力、 变形和位移，反对称的内 力、变形和位移为零。 对称结构在反对称荷载作 用下，只产生反称的内力 、变形和位移，对称的内 力、变形和位移为零。
53对称与反对称性质的应用
反对称问题 结构对称，载荷反对称
反对称问题：对称面上对称内力 FN 、M 及对称位移 Δy 必为零
约束力、内力、变形、位移是反对称的
F
F
F
F
FS
FS
结构的非对称问题
2F
F
F
F
F
M FN
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【例题】 图示刚架，AC、CB 段抗弯刚度为 EI，试绘出刚架的弯矩图。
A
8 Fa
5 Fa 27
81
对称问题 结构对称，载荷对称
约束力、内力、变形、位移是对称的
y
y
对称面位置的位移满足两个条件：
对称条件
连续性条件
二、对称与反对称性质的应用
对称问题 结构对称，载荷对称
M FN
对称问题：对称面上反对称内力 FS 、反对称位移 Δx 、θ 必为零
约束力、内力、变形、位移是对称的
y
y
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a
C
B
FR1 F a / 3
a
C
B
1 x
a
C
B
xF a/3
⑴ 选取相当系统，建立力法正则方程
F 11 R1 Δ1P 0
⑵ 求力法正则方程中的系数项和常数项
2
11
a 0
x 2 EI
2
a3
xdx
2
6EI
Δ1P
F ( x 2a )
a 2a 3
3 EI
2
2 2Fa3
xdx
2
81EI
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结构力学课件位移法对称性
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用
7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。
截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。
EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。
2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。
可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。
因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。
对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。
在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。
1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。
（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。
1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。
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对称性应用
在工程问题中，有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。
而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。
另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。
在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。
在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。
如下图所示：
对称性在求解结构内力中的应用： 对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。
2、将未知力及荷载分组。
3、取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的反对称 正对称
原则：
1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处
2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效
奇数跨对称结构：
偶数跨对称结构：
在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。
分析可
知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量；但在反对称荷载时若用位移法求解将有两个基本未知量，而用力法求解则只有一个未知量。
因此，正对称时采用位移法，反对称时采用力法，这比单纯使用一种方法简便。
正确理解力学概念，充分利用结构的对称性，熟练掌握结构力学计算方法．在结构分析计算中至关重要。