对称性在结构力学中的应用
结构力学-力法中对称性的利用
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
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是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
结构力学 静定结构的受力分析
第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。
该法最适用于计算简单桁架。
根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。
（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。
（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。
推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。
F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。
例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。
1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。
如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。
（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。
如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。
其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。
结构力学 (1)
基本结构已 为何为 0 无支座位移
5. 内力计算（静定结构）
M M1 X1 M P
内力全部由多余未知力引 起
31
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
M M 1 X 1 (
3EI ) x; 0 x l 3 l
3EI 3EI ) 3 2 l l
对于支座位移
A B
1. 超静定结构支座移动、温度改变使结构产生变形,同时产生内力。
C
C
A
B
C’
FyC
静定结构 无内力和支座反力
超静定结构 有内力和支座反力
23
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
对于温度变化
A
t t
B
C
A
t t
B
C
C’
FyC
静定结构 无内力和支座反力
X2
X3
X1
a 0 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 0 2 C b 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 0 X X X 0 3C 31 1 32 2 33 3 0
1 P 1C 0 11 X 1 12 X 2 13 X 3 P 基本结构由支座 2P X X X 0 位移引起的 21 1 22 2 23 3 22 CP X X X 0 3P i 方向位移 3 P 31 1 32 2 33 3 3 C
29
§6.6 支座位移、温度变化等作用下时的超静定结构的计算
基本结构（II）
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
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M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
【doc】用对称性简化力矩分配法计算刚架实例
用对称性简化力矩分配法计算刚架实例用对称性简化力矩分配法计算刚架实例解超静定结构的方法很多,以位移法为基础的力矩分配法,是其中一种比较实用的渐近法,它可以避免建立和解算联立方程.本文则又运用对称性进一步简化力矩分配法,尽量减少节点角位移的未知数,使计算很快收敛.现举--I程实俪说明如下.已知-由2根截面惯性矩为I,的主粱和2根截面惯性矩为I的端粱剐性连接组成的双粱式起重机桥架,当大车纵向运行机构起动和翩动时,P和c1分别代表在水平面内由带载小车质量和桥梁质量引起的惯性力.试用力矩分配法怍出此桥架由水平面内荷载引起的夸矩图.结构的计算简图见图1.解t为保证桥架正常运行发生偏斜时不被楔住,桥架滔常取B》L/6.现假设B=L/6,lL/9,C=L/36,I.=4I,PqLo为运用对称性,现将图1(a)变动一下,调整成图1(b).即在粱两端的A,S点,各增加1根沿Y轴方向的支座连杆'这样荷载对Y轴是对称的,对z轴是反对称的.根据对称性原理,Y向支杆反力都相等,图1(a)中Ry=p十q=2p,圈l<b)中,R;=(p+qL)/2=p|图l(a),(b)只表现为浦端粱轴力不周,其他内力分置都相同.由于轴向力对位移的影响,对以弯曲变形为主的剐架来说.通常极其赦小,可以忽略.因此.我们完全可以用图l(b)代图1(a)来分析剐架的内力,这样我们可以设想沿Y轴Z轴将剐架切取出嗪结构的1/4加以研究(见图2).根据结构,荷载均对称于Y轴所知,图2中K截面的内力分量中剪力QK=0,而位移分量中转角:0.对Z轴因结构对称,荷载反对称,故端粱中间截面0的内力分量轴力和弯矩均等予零(No=0,M.=O),而位移分量vo=0.与fa,-RPR(b1.图1桥辈水平面受力图(a)一正常运行的受力图l(b)一调整为对#性求解对的受力图Y图2四分之一挢架受力分析简图此内力,位移等效的约束条侔,应是在0点娃加一水平支杆,而在K截面处则设置一个定向支座.由图2简化的1/4剐架,是一个无侧移的简单目架,用力矩分配法求解时,只辩对节点J进行力矩分配和传递.与节点J刚接的杆件有JK杆,J0 杆,JD秆三杆,线刖度备为-TiIK=II/詈:BI/L,:18I/Li】D=I/L136:36I/L根据文献[1]中表10-1,可查得节点J各l_端劲度系数的总和为:璐JJ=j』I十3i,o十31】D=IV0L/L'p寰1杆端弯矩计算(圈2)点:…0JKD杆端0JJojDJKxJDJ分配雨魏0.817050.6290.0{706固端_鸯炬O—PL/3—7PL/24分配弯矩与抟递弯矩o.10j88PL8.2116PL0.0150BPL一0.015087PL 最终弯矩00.10588PL0.81I6PL一001764PL一0.80735PL则各杆端分配系数为:JK=SK,磷【j=i/n=0.(~470BI=S~o/XSn=3iI./】{0.31765D=Sm/ES~l=3ilD/=S;=0.63529各杆传递系数为{ClK=一l,C】.=Cm=0各耔厣端弯矩为(颧时针为正):M}K:一等一导=一孚Ml】=二鲁一半=一Jo杆,JD杆:因两杆无荷载,故固端弯矩均为零,即M=M=0.这样节点J的不平衡力矩是三Mf:M+Mfo+M=-PL/3将此不平橱力矩反号乘以各耔端分配系数,即得出各杆端的分配弯矩,再将分配弯矩乘吼传递系数,即相应得出各杆远端弯矩.最届把固端弯与分配弯矩.传递弯矩相加,即可得出结构稆应的各杆端最终弯矩(见表1).超静定结构计算结果,通常应满足静力平撕条件和变形协调关系关于静力平衡可根据每一节点处EM=0进行校核,由于在上避力矩分配法中,每次分配已使节点平衡,因此,无需再作碴棱.到}变形协调问题,可根据各节点处汇交各枵的秆端角位移币是否相同来进行验证.即可在力矩分配浩计算完成岳,将任一端i的最终弯矩与定弯矩相减得出Ⅵik,然后减去它端的△M之半后,捡盎每一节点所得AM,一昙M是否与相立各杆的线刚度l成比倒,见公式(1)|(M一{砒.):({△M)-..…iI;i¨: (1)现以节点J校核之.这里应注意的是,此时对正对称轩JK应取顾杆弹JT的线尉度表示,见表2. 寰2节点J变形协啊的技赣t根据公式(1),将表2中!文值代一得(△M.一dM.,):(厶M—M(M一)珊=7m!——氟凰3最终弯矩乓挠受图示(左半为弯矩圈,右半为瓷度到)=0.10588PL:0.21176PL:0.02353PL=4.5:0:1(下转第l8页)+28mc.一60m.hc一72m.hc:+36m.ch一24mhc.+12mhca+24mhc一9mc一12hc+c1 (22)在m≤x≤h区域内V=Vq+V+v一茜(X26h乙4hx)+酱(3x叫十(3x刊(23)当x:h时的挠虚最大,将x=h和式(18)中的H-H2代入式(23)中,整理后得.一～24EJ(m-c)(4m-c)xf--12h'Ⅱ1+15h'mc-3h'c.+1812].ch.+5m'hc--36hmc+l4mh+36m.h.--36mh+18121ch一3me3h一16m.c=h十mc+3n,.c.--2m一2mc,(24)c,m值求解为使整根烟囱的弯曲应力和弯曲挠度最小,应使V一AxVI"Vm一为此可建立方程组求解…～～(25)LVc…IV—n…x将式(20),(22),(24)代入式(25) 中,可列出如下方程组16m一27mc一48m'h一3mc ÷24m.h+120mhc+28mc.一60mhc～96m!ch+48mch+24hc.一l6mc'一12h.c.+2c=048m+5mc一272mh一25mc. +600mh40m'hc一20m.c--348m.h.C+184m.hc一576mh.一252mchJ'24mhc.J'192hIll+576hm.c+12mhc.+24mhc一9mc一240h'mc一12hc'+48hc!+c.=0解得c:0.420h,m=0.835h将c,m值代人式(18),可得H=0.42qh,H2=0..949qh点,结论根据上述理论分析计算,为使钢板烟囱内力较小,缆风绳处支点挠度较小,在～道缆风绳时,缆风绳的支点高度应设在烟晦l高度0:715h处;在二遗缆风绳时,下道缆风绳的支点高度,应设在烟囱高度的0.42h处,上道缆风绳的支点高度,应设在烟囱高度的0.835h处,较为合适.当然,实际工程设计中,尚应根据气候和周围环境进行调整和媾正,以及按此原理另行计算本文不妥处尚冀专家指正.(上接第60页)而,.:T18L:丁36I.:T41o=18:38:4:4.5:g:1这表明变形调条件也是满足的.最后,根据备杆端最终弯矩,利用对称性就不难画出原超静定刚架的弯矩图了(见图3).丽由弯矩图即可进而大致绘出挠曲线,弯矩为零处亦即是18挠曲线拐点.参考文献t11湖南大学结构力学教研室编,结构力学(下册),高等教育出版社,1983年【21程重机设计手册,机械二业出版{±.188D年I3】徐光晋主犏,金属结构,机械工业出版社. 1982年(生桐簋厂职工丈学藏洪锥)。
对称约束 ansys workbench 模态
一、对称约束的概念对称约束是结构力学分析中常用的一种约束方式。
它可以模拟结构在对称载荷作用下的行为，使得分析结果更加接近真实情况。
在ANSYS Workbench中，对称约束被广泛应用于模态分析中，以减少计算量并提高分析的准确性。
二、对称约束的原理对称约束的原理是基于结构的对称性。
当结构具有对称性时，可以通过施加对称约束来减少需要分析的自由度。
这样一来，可以减少计算量，提高分析效率。
对称约束还可以通过预先对结构进行简化，使得分析结果更加真实可靠。
三、ANSYS Workbench中对称约束的应用在进行模态分析时，ANSYS Workbench中的对称约束可以帮助工程师快速准确地获取结构的振动特性。
通过施加对称约束，可以只分析结构的一部分，从而节省计算资源，提高分析效率。
这对于大型结构或复杂结构的模态分析尤为重要。
四、对称约束的建模方法在ANSYS Workbench中，对称约束的建模方法通常包括以下几个步骤：1. 确定结构的对称性：首先需要分析结构的对称性，确定可以施加对称约束的位置和方式。
2. 添加对称约束：在ANSYS Workbench的模态分析模块中，可以直接添加对称约束，或者通过设置边界条件来模拟对称约束。
3. 验证模型：在添加对称约束后，需要对模型进行验证，确保对称约束的施加是正确的，符合结构的实际情况。
五、对称约束的优缺点对称约束作为一种常用的约束方式，在模态分析中具有一定的优缺点。
其优点包括：1. 减少计算量：对称约束可以减少需要分析的自由度，从而减少计算量，提高分析效率。
2. 模拟真实情况：对称约束可以模拟结构在对称载荷作用下的行为，使得分析结果更加真实可靠。
其缺点包括：1. 无法应用于非对称结构：对称约束只适用于具有对称性的结构，对于非对称结构无法有效应用。
2. 需要事先确定对称性：对称约束需要事先确定结构的对称性，这对于复杂结构而言可能并不容易实现。
六、对称约束在实际工程中的应用在实际工程中，对称约束被广泛应用于各种结构的模态分析中。
结构力学课件位移法对称性
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
考研结构力学知识点梳理
考研结构⼒学知识点梳理1.瞬变体系：本来是⼏何可变，经微⼩位移后，⼜成为⼏何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系⾄少有⼀个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚⽚，才能看成是瞬铰。
3.关于⽆穷远处的瞬铰：（1）每个⽅向都有且只有⼀个⽆穷远点，（即该⽅向各平⾏线的交点），不同⽅向有不同的⽆穷远点。
（2）各个⽅向的⽆穷远点都在同⼀条直线上（⼴义）。
（3）有限点都不在⽆穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去⽀座去⼆元体。
体系与⼤地通过三个约束相连时，应去⽀座去⼆元体；体系与⼤地相连的约束多于4个时，考虑将⼤地视为⼀个刚⽚。
（2）需要时，链杆可以看成刚⽚，刚⽚也可以看成链杆，且⼀种形状的刚⽚可以转化成另⼀种形状的刚⽚。
5.关于计算⾃由度：（基本不会考）（1）,则体系中缺乏必要约束，是⼏何常变的。
（2）若，则体系具有保证⼏何不变所需的最少约束，若体系⽆多余约束，则为⼏何不变，若有多余约束，则为⼏何可变。
（3），则体系具有多与约束。
是保证体系为⼏何不变的必要条件，⽽⾮充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.1.静定结构的⼀般性质：（1）静定结构是⽆多余约束的⼏何不变体系，⽤静⼒平衡条件可以唯⼀的求得全部内⼒和反⼒。
（2）静定结构只在荷载作⽤下产⽣内⼒，其他因素作⽤时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内⼒与杆件的刚度⽆关。
（4）在荷载作⽤下，如果仅靠静定结构的某⼀局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受⼒，其余部分不受⼒。
（5）当静定结构的⼀个内部⼏何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内⼒不变。
（6）静定结构有弹性⽀座或弹性结点时，内⼒与刚性⽀座或刚性节点时⼀样。
解放思想：计算内⼒和位移时，任何因素都可以分别作⽤，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院⾥的应⽤条件是：⽤于静定结构内⼒计算时应满⾜⼩变形，⽤于位移计算和超静定结构的内⼒计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
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土木工程系土木5班徐亚飞529在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求：
（1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称；
（2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。
结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。
一、对称性在求解结构内力中的应用
因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
二、对称性在体系自由振动中的应用
我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。
只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算其相应的自振频率。
但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。
运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。
三、对称性在结构稳定性分析中的应用
结构的稳定性分析，就是为了确定在新的平衡形式的荷载，即临界荷载。
通常的解法是假设新的平衡形式，运用静力平衡法或能量法通过稳定方程求的
临界荷载，进而确定新的平衡形式。
但，对于对称的体系，其新的平衡形式不是正对称的就是反对称的。
因此，我们就可以利用对称性，取半边结构进行分析。
但此法只能应用于只有两个自由度的体系的结构稳定性分析。