练习-单因素方差分析
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析(1)
H
0：
2 1
2 2
2 r
vs
H1：诸
2 i
不全相等
感谢下 载
第六章 方差分析
第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析
第一节 方差分析
一、问题的提出
方差分析(analysis of variance)就是采用数理 统计方法对数据进行分析，以鉴别各种因素及因素间 的交互作用对研究对象某些试验指标的影响大小的一 种有效方法. 注：方差分析简记为ANOVA.
水平 Ａ１
Ａ２
…
Ａr 合计
重复数
m1 m2
mr n
试验数据 y11, y12 ,…., y1m1
y21, y22 ,…., y2m2
…….
yr1, yr2 ,…., yrmr
T
和
平均
T1
y1
T2
y2
……
Tr
yr
T
y
2. 基本假定、平方和分解、方差分析及判断准则相
同
计算公式稍有不同。特别注意 SA 的计算公式！
( yij
y)2,
fT
n 1
它反映了观测数据 总的变异程度
i1 j1
组间(因子A的)偏 差平方和:
r
SA m ( yi y)2, fA r 1 i1
r
m (i i )2
反映因子A的不同水平效 应间的差异
i1
rm
组和内: (误差)偏差平方Se
i 1
( yij yi
j 1
)2 ,
例２（第一节中例１续）检验不同饲料对鸡增重 的效应中，饲料因子显著．试进行多重比较．
补充：方差齐性检验
(齐性,即相等)
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
北科SPSS软件应用练习题
北科S P S S软件应用练习题------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxxSpss第 3 次作业方差分析练习题：第1题(1)【实验目的】学会单因素方差分析(2)【实验内容】1、入户推销有五种方法。
某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验。
从尚无推销经验的应聘人员中随机挑选一部分，并随机将他们分为五个组，每种用一种推销方法培训。
一段时期后得到他们在一个月的推销额，如下表所示：第一组20第二组第三组第四组第五组(1)利用单因素方差分析方法分析这五种推销方式是否存在显著差异？(2)绘制各组的均值比对图，并利用LSD方法进行剁成比较检验。
(3)【操作步骤】在数据编辑窗口输入组别和推销额→分析→比较平均值→单因素ANOVA检验→将“推销额”转入“因变量列表”→将“组别”转入“因子”→确定分析→一般线性模型→单变量→将“推销额”转入“因变量”→将“组别”转入“固定因子”→事后比较→将“组别”转入“下列各项的事后检验”→选中“LSD”→继续→确定(4)【输出结果】ANOVAVAR00002平方和自由度均方 F 显著性组间 4 .000组内30总计34主体间因子个案数VAR00001 77777主体间效应检验因变量: VAR00002源III 类平方和自由度均方 F 显著性修正模型a 4 .000 截距 1 .000 VAR00001 4 .000 误差30总计35修正后总计34a. R 方 = .601（调整后 R 方 = .547）*.000*.000基于实测平均值。
误差项是均方（误差）。
*. 平均值差值的显著性水平为 .05。
(5)【结果分析】1.五种单因素相等重复试验，考察推销额。
方差分析结果：不同推销方式对推销额有影响，即五种推销方式存在显著差异。
统计学-单因素方差分析
确定P值，作出统计推断
查表F0.01(2,18)=6.01，得P<0.01，按=0.05水准 拒绝H0，接受H1，可认为三种方案治疗婴幼儿 贫血效果不都相同。
单因素方差分析计算一般步骤
确定资料是否分组正态分布、方差齐性 若满足，则计算每组的样本均数和样本标准差
以及计算总的样本均数 写出H0和H1 设定(一般为0.05)，查表找出临界值F(v1，v2) 计算SS总＝每个数据平方后再求和－(数据先求
例题演算
建立检验假设，确定检验水准
H0：三种方案治疗后血红蛋白增加量总体均数相等 H1：三个总体均数不都相等 α=0.05
选定检验方法，计算检验统计量
3 ni
2
3
SS总
i1
ni
3
(Xij X)2
j1
i1
jni1Xi2j ni11jn12X ijn3
和后再平方)/总样本量
计算SS组间＝ ni(Xi X )2
计算组间均方MS组间=SS组间/v组间
计算SS组内＝SS总－SS组间
计算组内均方MS组内＝SS组内/v组内
计算 F
M S组间 M S组内
若F≥ F(v1，v2)，则拒绝H0，认为各组总体 均数不全相同; 若F＜ F(v1，v2)，则不拒绝 H0，还不能认为各组总体均数不全相同
A(n1=7) B(n2=6) C(n3=8)
24
20
20
36
18
11
25
17
6
14
10
3
26
19
0
34
24
-1
23
4
单因素试验的方差分析
>weight=c(51,40,43,48,23,25,26,23,28) >A=factor(c(rep(1,4),rep(2,3),rep(3,2))) >result=aov(weight~A) >summary(result)
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
1）组间差别：因素效应
灯泡的使用寿命——试验指标
灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个） 四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平
因此，本例是一个四水平的单因素试验。
用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
组间 组内
SS A
df A
MS A
SS A df A
F MSA MSE
SSE
df E
MSE
SSE df E
总和 SST dfT
r ni
2
SST
Xij X
i1 j1
dfT n 1
r ni
2
SSA
Xi X
i1 j1
dfA r 1
引言
在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样 的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影 响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥 量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对 产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果 进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果 的一种方法。
Hale Waihona Puke 基本概念本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。
这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⼆步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。
生物统计学-单因素方差分析.
每组具有n个观测值的k组样本数据资料
处理 重 复 A1 A2 … Ai … Ak x11 x21 … xi1 … xk1 x12 x22 … xi2 … xk2 … x1j x2j … xij … xkj … x1n x2n … xin … xkn T1. T2. … Ti. … Tk.
三、数学模型
方差分析的基本原理
组别 重 复
A1
A2 … Ai xi1 xi2 xij Ti.
x i
x11 x21 … x12 x22 … … x1j x2j … T1. T2. …
x1
x 2
…
总和Ti.
T xij
平均 xi
x
x
x
ij
x ( xij xi ) ( xi x )
x xij xi xi x
2
n 2 a n
ij
2
x
a i 1 j 1 a n i 1 j 1
ij x xij xi xi x i 1 j 1 a
2
x
ij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
方差分析的应用条件和用途
方差分析应用条件： 1、各样本须是相互独立的随机样本 2、各样本来自正态分布总体 3、各总体方差相等，即方差齐 方差分析基本用途： 1、多个样本平均数的比较 2、多个因素间的交互作用 3、回归方程的假设检验 4、方差的同质性检验