第二章 稳态导热-1.
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第二章
稳态导热
t 0
稳态导热时，物体的温度不随时间发生变化，即
物体的物性为常数，导热微分方程的形成如下：
2t 2t 2t qv 2 2 0 2 x y z
在没有内热源的情况下：
2 2 2 t t t 2 t 2 2 2 0 x y z
q t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
2
3
t2 t3
3
q
1 t2 t1 q 1 3 t3 t 4 q 3 2 t3 t 2 q 2
t4
11
3）接触热阻： 实际的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是 局部的、甚至存在点接触，如图所示。只有在界面 上那些真正接触的点上，温度才是相等的。 当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气 体的热导率远远小于固体 ,就会对两个固体间的导热 过程产生附加热阻Rc，称之为接触热阻。 由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面 之间出现温差tc。
d dt 0 (1 bt) 0 dx dx
b 2 0 (t t ) c1 x c2 2
最后可求得其温度分布
t w1 t w2 b 2 b 2 t t (t w1 t w1 ) 2 2 b 1 2 (t w1 t w2 ) x
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx dห้องสมุดไป่ตู้2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
7
温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
t1 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
x
当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度 dt/dx较大。
8
2) 多层平壁的一维稳态导热
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖） 主体层等组成 假设各层之间接触良好， 可以近似地认为接合面上 各处的温度相等
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2
0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2
1
§2 一维稳态导热
1 通过平壁的导热
条件：平壁、一维稳态导热(x方向) 长和宽 ≥ 10 厚度 内容：热流量计算、温度分布。
1)温度分布 已知平壁的壁厚为，两个表面温度： 分别维持均匀而恒定的温度t1和t2，即 边界条件：
x 0 : t t1 x : t t2
2
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0
0.0651 0.000105 275
0.0940 W/(m k)
q
0.0940 (t1 t 2 ) (500 50) 423 W/m 2 0.1
2
完整的数学描写
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx t2 t1 c1 带入边界条件： c2 t1
t
t2 t1
x t1
4
t2 t1 线性 t x t1 分布 带入Fourier 定律 d t t t 2 1 dx
9 2019/1/5
q
t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
t2 t3
2
3
3
q t4
由和分比关系
q
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1
r1
t2 r2
t3
r3
t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
10
层间分界面温度
13
例 一锅炉炉墙采用密度为 300kg/m3 的水泥珍珠岩制 作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁 温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。 [解] 材料的平均温度为： t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃ 查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
x t2 Δt
t1
t
12
【例】 有一砖砌墙壁，厚为 0.25m 。已知内外壁面
的温度分别为 25℃和 30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解：由平壁导热的温度分布
t
t2 t1
x t1
代入已知数据可以得出墙壁内 t=25+20x的温度分布表达式。
从附录查得红砖的λ=0.87W/(m℃),于是可以 计算出通过墙壁的热流密度 q (t1 t2 ) 17.4W / m2
6
b t t w1 1 t t w1 2 x b t w2 t w1 1 t t w2 w1 2
二次曲线方程
2
d t b dt b dt 2 dx 1 bt dx 0 dx
t 2 t1 t q t ( A )
r
R A
热阻分析法适用于一维、
稳态、无内热源的情况
5
无内热源，λ不为常数(是温度的线性函数)
（ 0 1 bt ）
λ0、b为常数
dt 0 (1 bt) c1 dx
稳态导热
t 0
稳态导热时，物体的温度不随时间发生变化，即
物体的物性为常数，导热微分方程的形成如下：
2t 2t 2t qv 2 2 0 2 x y z
在没有内热源的情况下：
2 2 2 t t t 2 t 2 2 2 0 x y z
q t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
2
3
t2 t3
3
q
1 t2 t1 q 1 3 t3 t 4 q 3 2 t3 t 2 q 2
t4
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3）接触热阻： 实际的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是 局部的、甚至存在点接触，如图所示。只有在界面 上那些真正接触的点上，温度才是相等的。 当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气 体的热导率远远小于固体 ,就会对两个固体间的导热 过程产生附加热阻Rc，称之为接触热阻。 由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面 之间出现温差tc。
d dt 0 (1 bt) 0 dx dx
b 2 0 (t t ) c1 x c2 2
最后可求得其温度分布
t w1 t w2 b 2 b 2 t t (t w1 t w1 ) 2 2 b 1 2 (t w1 t w2 ) x
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx dห้องสมุดไป่ตู้2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
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温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
t1 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
x
当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度 dt/dx较大。
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2) 多层平壁的一维稳态导热
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖） 主体层等组成 假设各层之间接触良好， 可以近似地认为接合面上 各处的温度相等
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2
0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2
1
§2 一维稳态导热
1 通过平壁的导热
条件：平壁、一维稳态导热(x方向) 长和宽 ≥ 10 厚度 内容：热流量计算、温度分布。
1)温度分布 已知平壁的壁厚为，两个表面温度： 分别维持均匀而恒定的温度t1和t2，即 边界条件：
x 0 : t t1 x : t t2
2
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0
0.0651 0.000105 275
0.0940 W/(m k)
q
0.0940 (t1 t 2 ) (500 50) 423 W/m 2 0.1
2
完整的数学描写
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx t2 t1 c1 带入边界条件： c2 t1
t
t2 t1
x t1
4
t2 t1 线性 t x t1 分布 带入Fourier 定律 d t t t 2 1 dx
9 2019/1/5
q
t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
t2 t3
2
3
3
q t4
由和分比关系
q
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1
r1
t2 r2
t3
r3
t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
10
层间分界面温度
13
例 一锅炉炉墙采用密度为 300kg/m3 的水泥珍珠岩制 作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁 温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。 [解] 材料的平均温度为： t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃ 查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
x t2 Δt
t1
t
12
【例】 有一砖砌墙壁，厚为 0.25m 。已知内外壁面
的温度分别为 25℃和 30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解：由平壁导热的温度分布
t
t2 t1
x t1
代入已知数据可以得出墙壁内 t=25+20x的温度分布表达式。
从附录查得红砖的λ=0.87W/(m℃),于是可以 计算出通过墙壁的热流密度 q (t1 t2 ) 17.4W / m2
6
b t t w1 1 t t w1 2 x b t w2 t w1 1 t t w2 w1 2
二次曲线方程
2
d t b dt b dt 2 dx 1 bt dx 0 dx
t 2 t1 t q t ( A )
r
R A
热阻分析法适用于一维、
稳态、无内热源的情况
5
无内热源，λ不为常数(是温度的线性函数)
（ 0 1 bt ）
λ0、b为常数
dt 0 (1 bt) c1 dx