第二章 稳态导热-1.
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第二章--稳态导热-肋片-1
对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求 得的肋片散热量计算公式相当复杂。其计算式可参 见相关文献。教材表2-1给出四种计算式。
仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算。 教材中图2-19和2-20分别给出了等截面直肋、三 角形直肋和环肋片的效率曲线。
工程上，往往采用肋效率ηf和
h
3
H 2
为坐标的曲线，表示理论解的结果。 Am
（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc 的增大而下降
（3）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的
例：
q 6 105 W m2
rc 2.64 104 m2K W tc q rc 158.4 oC
接触热阻的影响因素：
（1）固体表面的粗糙度 （2）接触表面的硬度匹配 （3）接触面上的挤压压力（4）空隙中的介质的性质
矩形和三角形肋片的效率
矩形截面环肋的效率
2.4.3 肋面总效率
实际上肋片总是被成组 使用
在表面传热系数较小 的一侧采用肋壁是强 化传热的一种行之有 效的方法。
Arh to t f Af f h to t f
h to t f (Ar f Af ) Aoh to t f
l Φc
δ0
Φx
Φx+dx
dx H
已知：
(1) 矩形直肋，Ac均保持不变
(2) 肋基温度为t0，且t0 > t
x (t3 ) 肋片与环境的表面传热系
数为常量h.
(4) 导热系数，保持不变
求：
温度场 t 和散热量
分析：
肋宽方向：肋片宽度远大
l Φc
于肋片的厚度，不考虑温
度沿该方向的变化；
δ0
仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算。 教材中图2-19和2-20分别给出了等截面直肋、三 角形直肋和环肋片的效率曲线。
工程上，往往采用肋效率ηf和
h
3
H 2
为坐标的曲线，表示理论解的结果。 Am
（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc 的增大而下降
（3）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的
例：
q 6 105 W m2
rc 2.64 104 m2K W tc q rc 158.4 oC
接触热阻的影响因素：
（1）固体表面的粗糙度 （2）接触表面的硬度匹配 （3）接触面上的挤压压力（4）空隙中的介质的性质
矩形和三角形肋片的效率
矩形截面环肋的效率
2.4.3 肋面总效率
实际上肋片总是被成组 使用
在表面传热系数较小 的一侧采用肋壁是强 化传热的一种行之有 效的方法。
Arh to t f Af f h to t f
h to t f (Ar f Af ) Aoh to t f
l Φc
δ0
Φx
Φx+dx
dx H
已知：
(1) 矩形直肋，Ac均保持不变
(2) 肋基温度为t0，且t0 > t
x (t3 ) 肋片与环境的表面传热系
数为常量h.
(4) 导热系数，保持不变
求：
温度场 t 和散热量
分析：
肋宽方向：肋片宽度远大
l Φc
于肋片的厚度，不考虑温
度沿该方向的变化；
δ0
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第一讲-动力工程
大多数液体（分子量M不变）： T
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
第2章-导热理论基础以及稳态导热
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
第二章 稳态导热-1
t ln(d 2 / d1 ) R 2l
W
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
25
单位长度圆筒壁的热流量：
t w1 t w 2 Φ t w1 t w 2 ql r2 1 L R l ln 2 r1
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx d 2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
7
温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2
0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2
1、通过单层圆筒壁的导热 稳态导热 t 柱坐标
0
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于 管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的 温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维 导热问题。
W
虽然是稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
25
单位长度圆筒壁的热流量：
t w1 t w 2 Φ t w1 t w 2 ql r2 1 L R l ln 2 r1
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx d 2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
7
温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2
0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2
1、通过单层圆筒壁的导热 稳态导热 t 柱坐标
0
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于 管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的 温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维 导热问题。
传热学第2章-1
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
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传热学 Heat Transfer 第5版
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传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
《传热学讲义—第二章》
第二章稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1第一类边界条件研究的问题：（D 几何条件：设有一单层平■壁，厚度为a,其宽度、高度远大丁其厚度（宽度、高度 是厚度的10倍以上）。
这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度 方向发生变化。
（届一维导热问题）（2） 物理条件：无内热源，材料的导热系数入为常数。
（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度t wi 和t w2 , t wi t w2。
（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平■壁的温度分布及通过平■壁的热流密度值。
方法1导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热 问题（温度只在x 方向变化）。
导热微分方程式为： 史 0 （2-1） dx 2边界条件为：t x0 t w 1 , t x t w 2（2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解：t c 1x c 2t w 2 t w 1这里C 1、C 2为常数，由边界条件确定，解得：C1C 2 t w 1最后得单层平壁内的温度分布为：t t w 1 %」曳x由丁 a 、t w 1、t w 2均为定值。
所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），虫―宜const（2-6）dx0—1I~Dfl ——单屋平惬(2-3)(2-4)(2-5)热流密度为：q 史—(t W l t w2) W /m2(2-7)dx若表面积为A,在此条件下，通过平壁的导热热流量则为：qA A— t W考虑导热系数随温度变化的情况:通过平壁的导热热流密度为:dt dtq 0(1 bt) —dx dx竺一1 ]bt t 0 1 2 b t W1 t W21式中，0 1 2bt W1 t W21 22 m则q —(t W1 t W2)从上式可以看出，如果以平壁的平均温度t m虹上来计算导热系数，则平壁的热流密2度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式:(2-8)对丁导热系数随温度线形变化，即0(1 bt),此时导热微分方程为: d dt °0 dx dx解这个方程，最后得:t2bt2bt 2 Wi W2t W2)t W1(t W it、W 一t W2说明：壁内温度不再是直线规律, 而是按曲线变化。
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
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t 2 t1 t q t ( A )
r
R A
热阻分析法适用于一维、
稳态、无内热源的情况
5
无内热源，λ不为常数(是温度的线性函数)
（ 0 1 bt ）
λ0、b为常数
dt 0 (1 bt) c1 dx
q t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
2
2 t1 q 1 3 t3 t 4 q 3 2 t3 t 2 q 2
t4
11
3）接触热阻： 实际的两个固体表面之间不可能完全接触，只能是 局部的、甚至存在点接触，如图所示。只有在界面 上那些真正接触的点上，温度才是相等的。 当未接触的空隙中充满空气或其它气体时，由于气 体的热导率远远小于固体 ,就会对两个固体间的导热 过程产生附加热阻Rc，称之为接触热阻。 由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面 之间出现温差tc。
0.0651 0.000105 275
0.0940 W/(m k)
q
0.0940 (t1 t 2 ) (500 50) 423 W/m 2 0.1
t1 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
x
当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度 dt/dx较大。
8
2) 多层平壁的一维稳态导热
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖） 主体层等组成 假设各层之间接触良好， 可以近似地认为接合面上 各处的温度相等
2
完整的数学描写
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx t2 t1 c1 带入边界条件： c2 t1
t
t2 t1
x t1
4
t2 t1 线性 t x t1 分布 带入Fourier 定律 d t t t 2 1 dx
x t2 Δt
t1
t
12
【例】 有一砖砌墙壁，厚为 0.25m 。已知内外壁面
的温度分别为 25℃和 30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解：由平壁导热的温度分布
t
t2 t1
x t1
代入已知数据可以得出墙壁内 t=25+20x的温度分布表达式。
从附录查得红砖的λ=0.87W/(m℃),于是可以 计算出通过墙壁的热流密度 q (t1 t2 ) 17.4W / m2
2
2
t1 b<0 t2 0 δ
λ =λ 0(1+bt) b>0
d t 当b 0时 : 0 (下凹) 2 dx d 2t 当b 0时 : 0 (直线) 2 dx 2 d t 当b 0时 : 0 (上凹) 2 dx
2
x
7
温度分布曲线的凹向取决于系 数b的正负。 当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，b<0 λ增大，即高温区的导热系数大 于低温区。Q=-λA(dt/dx)，所以 高温区的温度梯度dt/dx较小， 而形成上凸的温度分布。
6
b t t w1 1 t t w1 2 x b t w2 t w1 1 t t w2 w1 2
二次曲线方程
2
d t b dt b dt 2 dx 1 bt dx 0 dx
13
例 一锅炉炉墙采用密度为 300kg/m3 的水泥珍珠岩制 作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁 温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。 [解] 材料的平均温度为： t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃ 查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
d dt 0 (1 bt) 0 dx dx
b 2 0 (t t ) c1 x c2 2
最后可求得其温度分布
t w1 t w2 b 2 b 2 t t (t w1 t w1 ) 2 2 b 1 2 (t w1 t w2 ) x
9 2019/1/5
q
t1 t 2
1
t 2 t3
1
2
t3 t 4
t1
t2 t3
2
3
3
q t4
由和分比关系
q
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1
r1
t2 r2
t3
r3
t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
10
层间分界面温度
1
§2 一维稳态导热
1 通过平壁的导热
条件：平壁、一维稳态导热(x方向) 长和宽 ≥ 10 厚度 内容：热流量计算、温度分布。
1)温度分布 已知平壁的壁厚为，两个表面温度： 分别维持均匀而恒定的温度t1和t2，即 边界条件：
x 0 : t t1 x : t t2
2
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件：稳态导热 : t 0
第二章
稳态导热
t 0
稳态导热时，物体的温度不随时间发生变化，即
物体的物性为常数，导热微分方程的形成如下：
2t 2t 2t qv 2 2 0 2 x y z
在没有内热源的情况下：
2 2 2 t t t 2 t 2 2 2 0 x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
t1 t2
根据上面的条件可得：
t 0 ( ) x x
控制 方程
d 2t dx 2
0
3
x
dt 0 2 dx x 0, t t1 x , t t2