5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
高一物理教案：解析匀速圆周运动的数学模型
高一物理教案：解析匀速圆周运动的数学模型匀速圆周运动作为一种经典的运动形式，在物理学中具有重要的地位。
在解析匀速圆周运动的过程中，正弦函数和余弦函数被广泛应用。
本教案通过对匀速圆周运动的数学模型进行分析，旨在帮助学生深入理解这一运动形式的特性。
1.圆周运动基本概念（1）圆周的概念圆周是由一个定点O和到该点的距离等于定值的点P所构成的图形。
定点O称为圆心，定值称为圆的半径。
圆周上的每一点P均与圆心O的距离相等。
（2）圆周运动的概念当一个质点以半径为r的圆周作匀速运动时，其圆心角的大小是恒定的，即该运动是匀速圆周运动。
匀速圆周运动也称为等速圆周运动。
2.解析匀速圆周运动的数学模型（1）描述匀速圆周运动的物理量匀速圆周运动可以通过以下物理量进行全面描述：-角速度ω-线速度v-周期T-频率f-圆周位移s-圆周位移角度θ-圆周位移速度vθ-圆周位移加速度aθ这些物理量的表示方法如下：-角速度ω：单位时间内圆周位移角度θ的大小，通常用弧度数计量，即ω=θ/T。
-线速度v：单位时间内质点在圆周上运动的线路长度，通常用m/s表示，即v=2πr/T。
-周期T：质点绕圆周一周所需的时间，通常用秒数计量。
-频率f：质点绕圆周所做的运动在单位时间内重复的次数，通常用Hz计量，即f=1/T。
-圆周位移s：质点在圆周上的位移长度，通常用m表示，即s=rθ，其中r为圆的半径。
-圆周位移角度θ：质点在圆周上所绕的角度大小，通常用弧度表示，即θ=ωt。
-圆周位移速度vθ：质点在圆周运动中的位移速度，通常用m/s表示，即vθ=rsin(θ)/t。
-圆周位移加速度aθ：质点在圆周运动中的位移加速度，通常用m/s²表示，即aθ=rω²cos(θ)。
（2）运用数学模型描述匀速圆周运动匀速圆周运动的数学模型由一个以圆心为原点的直角坐标系形成。
以运动方向为正方向，将质点在$t=0$时刻所处的位置记为$(r,0)$，$t$时刻质点的位置为$(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$。
匀速圆周运动数学模型正余弦选择
匀速圆周运动数学模型正余弦选择匀速圆周运动是物理学中的一个重要概念，其数学模型可以用正余弦函数来描述。
在本文中，我们将探讨匀速圆周运动的数学模型，以及正余弦函数在描述该运动中的应用。
让我们回顾一下匀速圆周运动的基本概念。
匀速圆周运动是指物体在圆周上以恒定的速度做运动的情况。
在这种运动中，物体的速度大小保持不变，但方向不断变化。
我们可以用角速度来描述物体在圆周上的运动状态。
角速度是指物体单位时间内绕圆心转过的角度，通常用希腊字母ω（omega）表示。
接下来，让我们来看一下匀速圆周运动的数学模型。
假设物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动，则物体的位移可以用下面的公式来表示：S = r * θ其中，S表示位移，r表示圆周的半径，θ表示物体绕圆心转过的角度。
这个公式的推导非常简单，只需要考虑到位移与半径和角度之间的关系即可。
接下来，让我们来看一下正余弦函数在描述匀速圆周运动中的应用。
正余弦函数是描述周期性变化的函数，可以很好地描述物体在匀速圆周运动中的位置变化。
我们来看正弦函数的应用。
正弦函数可以表示物体在圆周上的垂直位置的变化。
假设物体在圆周上的初始位置为0度，那么物体在任意时刻t的垂直位置可以用下面的公式来表示：y = r * sin(ωt)其中，y表示物体的垂直位置，r表示圆周的半径，ω表示角速度，t表示时间。
这个公式告诉我们，物体在圆周上的垂直位置随时间呈正弦变化。
接下来，我们来看余弦函数的应用。
余弦函数可以表示物体在圆周上的水平位置的变化。
假设物体在圆周上的初始位置为0度，那么物体在任意时刻t的水平位置可以用下面的公式来表示：x = r * cos(ωt)其中，x表示物体的水平位置，r表示圆周的半径，ω表示角速度，t表示时间。
这个公式告诉我们，物体在圆周上的水平位置随时间呈余弦变化。
通过正余弦函数的应用，我们可以很好地描述匀速圆周运动中物体的位置变化。
正弦函数描述了物体在圆周上的垂直位置的变化，而余弦函数描述了物体在圆周上的水平位置的变化。
物理匀速圆周运动公式知识介绍
物理匀速圆周运动公式知识介绍
高中物理匀速圆周运动公式
匀速圆周运动公式
1.线速度V＝s/t＝2πr/T
2.角速度&omega 高中学习方法;＝Φ/t ＝2π/T＝2πf
3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r
4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合
5.周期与频率：T＝1/f
6.角速度与线速度的关系：V＝ωr
7.角速度与转速的'关系ω＝2πn(此处频率与转速意义相同)
8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。
注：
（1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心；
（2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。
【物理匀速圆周运动公式知识介绍】。
人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标 不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍，得到________的图象. 答案 y＝6sin32x
3.将函数 y＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为 ________.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的
图象.
通过整体代换和图象的变换提
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋ 升学生的直观想象、逻辑推理
【训练 1】 请用“五点法”画出函数 y＝12sin(2x－π6)的图象. 解 函数 y＝12sin2x－π6的周期 T＝22π＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周
期上的图象，令 X＝2x－π6，则 x 变化时，y 的值如下表：
X
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
13π 12
解析 答案
由题意得所得图象对应的解析式为 y＝cos 2(x－π3)＝cos(2x－23π). y＝cos(2x－23π)
[微思考] 1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
提示 ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋ωφ， ∴由 y＝sin ωx 的图象向左(右)平移ωφ个单位.
y
匀速圆周运动的数学模型
匀速圆周运动的数学模型
匀速圆周运动是物理学中的一种基本运动形式，其数学模型是描述一个点绕圆心做速度大小不变的圆周运动。
该模型在数学上通常使用极坐标系来描述，其中半径r和角度θ是两个重要的参数。
在这个模型中，点在圆周上运动，其速度v的大小恒定，方向始终垂直于半径。
因此，速度v可以表示为：v = w×r，其中w是角速度，表示单位时间内转过的角度。
同时，向心加速度a n表示点向圆心运动的趋势，其大小为a n = v²/r。
另外，向心力F表示点受到的使它做圆周运动的力，其大小为F = m ×v²/r，其中m是点的质量。
而离心力则表示点离开圆心运动的趋势，其大小为F = m×w²×r。
这些公式构成了匀速圆周运动的数学模型，可以用来描述和分析圆周运动的各种性质和规律。
例如，通过向心加速度和向心力公式可以推导出角速度和半径之间的关系，也可以用来计算物体在圆周运动中的轨迹和运动规律。
总之，匀速圆周运动的数学模型是一个重要的工具，可以用来描述和分析圆周运动的各种性质和规律，在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
匀速圆周运动的典型模型
1.汽车在水平路面上转弯
N
F
G
向心力F由车轮与路面间的静摩 擦力来提供。如果转弯时汽车速 度过快，则这个静摩擦力不足以 提供汽车所需的向心力，汽车就 容易滑出路面，造成交通事故。
2.汽车（或火车）在倾斜路面上转弯
mg tan m v临2
R
v临
gR tan
(1)当v等于 gR tan时不受摩擦力（或压力）
供，图 2－1 所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直
纸面向里运动)。赛车以最大速度 vmax 行驶时，地面对赛车的 摩擦力为最大静摩擦力 fmax。受力分析如图所示，利用正交分 解法列方程
水平方向有 Nsin θ＋fmaxcos θ＝mvmrax2 竖直方向有 Ncos θ－fmaxsin θ－mg＝0 联立以上两式得
13.在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的 纸记录轨迹，小方格的边长 L＝1.6 cm.若小球在平抛运 动途中的几个位置如图中的 a、b、c、d 所示，则小球平 抛的初速度为 v0＝_____，小球在 b 点的速率为_______。 (以上结果均保留两位有效数字， g＝10 m/s2)
13. 0.80m/s；1.0m/s
[解析] (1)赛车在水平场地转弯时，由静
摩擦力提供其转弯所需的向心力。当 v＝72
km/h＝20 m/s 时，赛车所需的向心力
v2 F＝m r ＝400 N＜600 N， 可见静摩擦力可以提供圆周运动所需的向心力，故赛车
不会发生侧移。
图 2－1
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周
运动的向心力由重力 mg、支持力 N 和静摩擦力的合力来提
vmax＝
fmax＋mgsin mcos θ
人教版高中数学必修一5.6.1匀速圆周运动的数学模型及函数y=A sin (ωx+φ)的图象【课件】
理解参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)
图象的影响,探究其图象的变化规律
学科核心素养
在建立匀速圆周运动的数学模型的
过程中,培养数学抽象、数学建模等
素养
通过研究函数y=A·sin(ωx+φ)中参数
的物理意义,培养数学抽象、直观想
象等素养
通过研究A,ω,φ对y=Asin(ωx+φ)图
② 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象：当ω>1时，即把y＝f(x)
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变)；当0<ω<1时，即把y＝f(x)图象上所
有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变).
③ 由函数y＝f(x)的图象通过变换得到y＝Af(x)(A>0，A≠1)的图象：当A>1时，即把y＝f(x)
随堂演练
D
A
3. (多选)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>
象如图所示，则 (
A. ω＝2
C. ω＝
AD
B.
φ＝
D.
φ＝－
)
, −
<<
)的部分图
4.将y＝sin x图象上
所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
_______________________________________
．
【解】
(1)
记C对应的函数为f(x)＝ sin（2x+ ）
.
匀速圆周运动专题整理123456
常见的圆周运动模型物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).具体运动类型如下。
一、匀速圆周运动模型及处理方法1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度）例4． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。
轻绳长度为L 。
现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度ω（1）物体运动一周所用的时间T ； （2）绳子对物体的拉力。
2。
火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时）汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tanθ，根据牛顿第二定律：F 向＝m v 2R，tan θ＝hd，例.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )A.gRhL B. gRhd C. gRLh D. gRdhB 对． 3。
圆锥摆模型小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力θtan mg例6.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力有以下说法，正确的是（ ） A.只受重力 B.只受拉力 C.受重力.拉力和向心力 D.受重力和拉力 4.双星模型练习．如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是OωLθA．小球受重力、绳的拉力和向心力作用B．小球只受重力和绳的拉力作用C．θ越大，小球运动的速度越大D．θ越大，小球运动的周期越大练习.有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.二、匀速圆周运动中实例分析例．如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B,女运动员的质量为m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r,求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度。
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.6.1匀速圆周运动的数学模型 课件
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
情境导学
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回， 潮涨潮落、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，用数 学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻 画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体 例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.
解 ∵sin(－x)＝－sin x，
∴y＝sin|x|＝sin x －sin x
∴其图象如图.
x≥0， x<0.
由图象可知，函数y＝sin|x|不是周期函数.
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
解 问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数
思考 怎样作出函数y＝|sin x|的图象，并根据图象判断其周期和 单调区间？ 答 函数y＝sin x位于x轴上方的图象不动，位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|的图象，如下图所示：
5.6.1匀速圆周运动的数学模型课件高一上学期数学人教A版
12345
内容索引
对于 C，将函数 y＝cosx 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，得到 y ＝cos2x 的图象，再向右平移π8个单位长度，得到 y＝cos2x－π4的图象，故 C 正确；对于 D，将函数 y＝cosx 的图象上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝cos12x 的图象，再向左平移π4个单位长度，得到 y＝cos12x＋π8 的图象，故 D 错误．故选 AC.
内容索引
例1 如图，摩天轮的半径r为40 m，圆心O距地面的高度为48 m，摩 天轮做逆时针匀速转动，每 30 min 转一圈．摩天轮上点P的起始位置在 最低点处．如何确定在时刻t(min)时，点P 距离地面的高度H?
内容索引
【解析】 取O为坐标原点，水平线为x轴，建立平面直角坐标系． 设P(x，y)，则点P距离地面的高度H＝y＋48. 又yr＝sin α，其中 r＝40，α 为在时刻 t min 时点 P 所对应的角，则 α ＝23π0t＋φ. 又 t＝0 时，P 位于最低点，所以 φ＝－π2， 则 α＝1π5t－π2， 所以 y＝40sin1π5t－π2，H＝40sin1π5t－π2＋48.
【解析】 将 y＝sinx 的图象向左平移π2个单位长度可得到 y＝cosx 的 图象．
内容索引
思考 3►►► 作出函数 y＝sinx＋π3和 y＝sinx 的图象，并找出两图象之间的关系． 【解析】
y＝sinx＋π3的图象是由 y＝sinx 的图象向左平移π3个单位长度得到的．
内容索引
思考 4►►► 函数 y＝sinx－π3的图象与函数 y＝sinx 的图象有什么关系？ 【解析】 y＝sinx－π3的图象是由 y＝sinx 的图象向右平移π3个单位长 度得到的．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①
P
r
P0
O
x
h
所以，盛水筒 M 距离水面的高度
H 与时间 t 的关系是 H=rsin(ωt+φ)+h
②
函数 H=rsin(ωt+φ)+h ② 就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清 楚，就能把握盛水筒的运动规律。
由于是常量，我们可以之研究函数 y = rsin(ωt+φ) ① 的性质。
第五章 三角函数
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
新课教授
明朝科学家徐光启 在《农政全书》中 用图画描绘了筒车 的工作原理，如右 图。
问题：
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具 ，因其经济又环保，至今还在农业生产中 得到使用（如上图）。
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀 速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视 为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函 数模型刻画它的运动规律。
思考：
与盛水筒的运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
如图，将筒车抽象为一个几何图形，经 过t s后，盛水筒M从点P0运动到点点P。 由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距 离水面的高度H，由以下量来决定：
水面
筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h，筒 车的半径 r ，筒车转动的角速度ω，盛 水筒的初始位置P0以及所经过的时间 t。
y
P
r
P0
O
x
h
下面我们分析这些量的相互关系，从而建立盛水筒M运动的 数学模型。
如图，以O为原点，以与水平面平行的直线 为x轴建立直角坐标系。
设 t=0 时，盛水筒M位于点P0，以Ox为
始边，OP0为终边的角为φ，经过 t s后运 动到点 P(x,y)。
水面
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为
ωt+φ，并且有 y = rsin(ωt+φ)