高数下册之重积分
大学高数下 二重积分的计算
1 ( )
D
,
1 ( ) 2 ( ).
2 ( )
o
A
f ( cos , sin )dd
D
d
2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d .
二重积分化为二次积分的公式（２）
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例3
改变积分
0 dx 0
1
1 x
f ( x , y ) dy 的次序.
解
D : 0 y 1 x, 0 x 1
y 1 x
积分区域如图
改写D : 0 x 1 y, 0 y 1
( xy cos x sin y )dxdy (
D D1
A)
( A) 2 cos x sin ydxdy ; (C ) 4 ( xy cos x sin y )dxdy ;
D1
( B ) 2 xydxdy ;
D1
( D) 0
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
例 2 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是多元函数积分的一种形式，应用广泛。
本文将介绍重积分的计算方法和应用。
一、重积分的计算方法1. 重积分的定义重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分，它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。
假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R，那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。
2. 重积分的计算方法重积分的计算方法与一元函数积分类似，可以使用曲线积分或者换元法进行求解。
特别的，对于二元函数f(x,y)，可以通过极坐标系进行重积分的计算，在极坐标系中，面积可以用rdrdθ表示，积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。
如果要计算三元函数的重积分，则需要使用球坐标系，积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。
二、重积分的应用重积分在实际生活中有许多应用，比如：1. 计算物体的质量和重心物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值，因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。
同样的，对于一个平面图形，可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。
2. 计算物体的体积重积分还可以用于计算物体的体积。
假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S，那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。
3. 计算动量和角动量在物理学中，物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。
物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积，因此可以通过对速度的积分来计算动量。
同样的，物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积，因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。
4. 计算电荷量和电场强度在电磁学中，电荷量可以通过积分来计算。
同样的，电场强度也可以通过积分来计算。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
高等数学重积分笔记
高等数学重积分笔记重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。
以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。
重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。
最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。
2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。
基本公式如下:∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。
3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。
此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。
4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。
变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。
例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。
分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。
例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。
以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。
(整理)高等数学重积分重点难点
重积分一、基本要求1.了解二重、三重积分的概念和性质2.掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3.掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4.会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、主要内容详细内容：1. 重积分定义：设(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数，将D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆也表示第i 个小闭区域的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη (1,2,,)i n =作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 2. 性质ⅰ) [](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅱ)1211(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ)1DDd d σσσ==⎰⎰⎰⎰ (σ为D 的面积)ⅳ)如果在D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ⅴ)设,M m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ⅵ)(中值定理)设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰3. 直角坐标下计算二重积分ⅰ)积分区域{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤ 则21()()(,)(,)bx a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,)()(),D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤则21()()(,)(,)dy c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰4. 极坐标下计算二重积分设积分区域D ：12()(),φθρφθαθβ≤≤≤≤ 则(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )d f d βφθαφθθρθρθρρ=⎰⎰5. 二重积分的几何意义：(,)Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，(,)z f x y =为顶的曲顶拄体的体积，(这里(,)0f x y ≥)物理意义：(,)Df x y d σ⎰⎰表示位于平面区域D ，面密度为(,)f x y 的薄片的质量.6. 三重积分定义：设(,,)f x y z 是有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域12,,,n v v v ∆∆∆，其中i v ∆也表示第i 个小闭区域的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ (1,2,,)i n =作和1(,,)nii i i i f ξηζσ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在Ω上的三重积分，记作(,,)f x y z dv Ω⎰⎰，即1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d v f vλξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 7. 直角坐标下计算三重积分ⅰ)积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,,)(,),z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤ 则21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.柱面坐标下计算二重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)z z z αθβφθρφθρθρθ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(cos ,sin ,)z z d d f z dz βφθρθαφθρθθρρρθρθ=⎰⎰⎰9. 球面坐标下计算三重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)r r r αθβφθφφθθφθφ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰＝2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βφθθφαφθθφθφφφθφθφ=⎰⎰⎰10. 三重积分的物理意义：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰表示位于空间区域Ω，体密度为(,,)f x y z 的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分ⅰ)若(,)f x y 为区域上D 的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，则10(,)(,)2(,)(,)DD f x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰，为的奇函数，为的偶函数ⅱ) 若(,,)f x y z 为Ω区域上的连续函数，Ω关于xy O 坐标面对称，1Ω为Ω位于xy O 坐标面上侧的部分，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z dvf x y z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，为z 的奇函数为z 的偶函数12.几何应用、物理应用曲面面积：xyD A =⎰⎰平面薄片的质心坐标：(,)(,)DDx x y d x x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰， (,)(,)DDy x y d y x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰空间物体的质心坐标：1(,,)x x x y z dv M ρΩ=⎰⎰⎰ ，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰其中(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 四、 例题1. 设(,)f x y 在[,]a b 上连续，证明不等式22()()()b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 等号仅当()f x 为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明.在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为[]20()()bba adx f x f y dy ≤-⎰⎰222()()2()()()bb baa ab a f x dx f x dx b a f y dy ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 故有22()()()b ba a f x dxb a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 当()f x 为常数时，显然上述等号成立.反之，设上述等号成立，则[]2()()0bba a dx f x f y dy -=⎰⎰ 由于函数[]2()()()ba F x f x f y dy =-⎰是[,]ab 上非负连续函数， 故()0F x ≡，a x b ≤≤.特别()0F a =即[]2()()0ba f x f y dy -=⎰，又由于函数[]2()()()G y f x f y =-是[,]a b 上非负连续函数，故()0G x ≡，a y b ≤≤.因此()()f y f a ≡，a y b ≤≤ 即()f x 为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰分析：积分域D ：211,1x y x -≤≤≤≤-，也表示为两个区域12,D D 的并，其中1D ：210,1y x y -≤≤≤≤- ：01,y x ≤≤≤≤解：2110111(,)(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰2)311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰分析：注意到当01x <<，3x x <，尽管这个二次积分并不是(,)f x y 在由y x =及3y x =所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解：311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰＝33110(,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy --⎰⎰⎰⎰ 3011(,)(,)x yx dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰31100(,)(,)x x y dx f x y dy dx f x y dx =⎰⎰⎰311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰01(,)y dy f x y dx -=⎰10(,)y dx f x y dx -⎰11(,)ydy f x y dx -=⎰3. 计算下列二重积分1) 22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是,,y x y x a y a ==+=和3y a = (0)a >为边的平行四边形区域.分析：当y 从a 变到3a ，对每一固定的y ，x 从y a -变到y 故化为先对x 后对y 的二重积分较简单. 解：D ：3,a y a y a x y ≤≤-≤≤ 32222()()aya y a Dx y dxdy dy x y dx -+=+⎰⎰⎰⎰23324()1433aay y a ay dy a ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 2) 2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由x 轴和摆线的第一拱(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤所围的区域分析：区域D ：02x a π≤≤，0()y x φ≤≤其中()y x φ=为摆线的直角坐标方程，显然当(sin )x a t t =-时，()(1cos ),(02)y x a t t φπ==-≤≤解： []2()2322001()3a x ay dxdy dx y dy x dx πφπφ==⎰⎰⎰⎰⎰23301(1cos )(1cos )3a t a t dt π=--⎰ ((sin ))x a t t =- 4280161sin 332a t dt π=⎰44882003232sin 2sin 33a a udu udu ππ==⋅⎰⎰ ()2tu = 4432753135238642212a a ππ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅3)2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D ：11x -≤≤，02y ≤≤分析：将区域D 分成两块12,D D ，使被积函数21222(),(,)(,)y x x y D y x y xx y D ⎧--∈⎪-=⎨-∈⎪⎩再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线2y x =将区域D 分成 ：11x -≤≤，20y x ≤≤ ：11x -≤≤，22x y ≤≤2Dy xdxdy -⎰⎰1222()()D D x y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰2221122101()()x x dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰114240(44)4615x dx x x dx=+-+=⎰⎰4)D⎰⎰,其中D :22224x y ππ≤+≤分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标解：220sin d d πππθρρρ=⋅⎰⎰⎰⎰22sin d πππρρρ=⋅⎰ 26π- 4.计算二重积分112111224y y xxy dy e dx dy e dx I =+⎰⎰⎰分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域D ：211,2x x y x ≤≤≤≤21111223()82y y xx xxx De e d dx e dy x e e dx σI ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 5.设一平面薄片位于双曲线221x y -=及0,1y y ==直线所围平面区域D ，且D 上任一点(,)x y 处的面密度为2x y ，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算.解：薄片的质量1222DD M x yd x yd σσ==⎰⎰⎰⎰31122200022(1)3dy x ydx y y dy ==+⎰⎰152222(1)1)1515y =+=6.求曲面z =夹在两曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的那部分曲面的面积.分析：将所求的曲面投影到xoy 面计算最简单，投影域xy D 为曲线2222,2x y y x y y +=+=所围部分.解：投影域：xy D ：222y x y y ≤+≤由z =，知x y z z ==2xyxyD D S dxdy ==⎰⎰⎰⎰)4ππ=-=7.化二次积分1100(,)dx f x y dy ⎰⎰为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对ρ后对θ的二次积分，当然也可化为先θ对后对ρ的二次积分. 解：区域可表示为1D ：10,04cos πθρθ≤≤≤≤及2D ：1,042sin ππθρθ≤≤≤≤1114cos 0(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰12sin 04(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ+⎰⎰积分域也可表示为1D ：01,02πρθ≤≤≤≤及2D ：110cosarcsinarc ρθρρ≤≤≤≤两部分.111200(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πρρρθρθθ=⎰⎰⎰⎰＋1arcsin11arccos(cos ,sin )d f d ρρρρθρθθ⎰8.设函数()f x 在[0,1]上连续，并设10()f x dx A =⎰，求110()()x dx f x f y dy ⎰⎰. 分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域D 的边界曲线方程关于,x y 对称，则有 (,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.解：变换积分次序得1110()()()()yxdx f x f y dy dy f x f y dx =⎰⎰⎰⎰10()()xdx f x f y dy =⎰⎰111112()()()()()()x xxdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100()()dx f x f y dy =⎰⎰112()()f x dx f y dyA=⋅=⎰⎰∴11201()()2x dx f x f y dy A =⎰⎰ 9.求锥面z =和抛物面22z x y =+所围成的立体体积. 分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分. 解一：投影域D ：221x y +≤()22DV x y d σ⎤=+⎦⎰⎰2120()6d d πθρρρρπ=-=⎰⎰解二：221120002()6V dv d d dz d πρρπθρρπρρρρΩ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由,,1,0z xy y x x z ====所围成的区域分析：Ω在面xoy 上投影域D 如图所示，在D 上的点(,)x y ，0z xy =≥，在不知道曲面z xy =形状的情况下，也容易写出Ω的积分范围. 解：Ω：0,0,01z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ 12323000xxyxy z dxdydz dx dy xy z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1230001364x xyxdx y dy z dz ==⎰⎰⎰ 11.求22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.分析：Ω是由旋转曲面222x y z +=与4z =所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对z 或后对z 的积分.解一：Ω：221()42x y z +≤≤，(,)xy x y D ∈，22:8xy D x y +≤ 22422221()2()()xyx y D x y z dv dxdy x y z dz +Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242102350()528)82563d d z dzd πρθρρπρρρρρπ=+=+-=⎰⎰解二：Ω：04z ≤≤，(,)z x y D ∈，其中22:2z D x y z +≤ 422220()()zD x y z dv dz x y z dxdy Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4220420)42563dz d z d z dzπθρρρππ=+==⎰⎰⎰12.试将三重积分(,,)f x y z dv ΩI =⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω是由z =及1,2z z ==所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为(,,)f x y z 在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解：21(,,)zz dx dy f x y z dx -I =⎰⎰直2121(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρρθρθI =⎰⎰⎰柱22201(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρρθρθ+⎰⎰⎰22101(cos ,sin ,)zdz d f z d πθρθρθρρ=⎰⎰⎰()!22sec 2!!400sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin n r n r d d f r r r r dr ππφφθφφθφθφφ-I =⎰⎰⎰球13.设(,,)1()(,,)f x y z x y z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω：2221,0x y z z ++≤≥分析：两边在Ω上求三重积分，解出(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰即可.解：设(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则 (,,)1()f x y z x A y z =+++[](,,)(1)()A f x y z dv x A y z dv dv A zdv ΩΩΩΩ==+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211200122(1)33x y z A zdz dxdy A z z dz πππ+≤-=+=+-⎰⎰⎰⎰ 234A ππ=+ 83(4)A ππ=-，故8(,,)1()3(4)f x y z x y z ππ=+++- 14.用定积分表示三重积分000()xyzdy dz f t dt ⎰⎰⎰分析：由于被积函数是t 的函数，故将,z t 积分次序变换后，把对z 的积分算出，再将,y t 的积分次序变换，又可把对y 的积分算出，最后保留对t 的积分式子. 解：0()()xy z x y ytdy dz f t dt dy dt f t dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰020()()()()1()()2x yx xt x dy f t y t dtdt f t y t dy f t x t dt =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰15.用重积分证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积分别是2()bx a V f x dx π=⎰和2()b y a V xf x dx π=⎰证明：曲线()y f x =绕x 轴旋转的旋转曲面方程：222()y z f x +=，a x b ≤≤在xoy 面上投影域为xy D ：,()()a x b f x y f x ≤≤-≤≤故所求体积()()b f x x a f x V dx dy -=⎰⎰(04bf x a dx =⎰⎰24()4ba f x dx π=⎰2()baf x dx π=⎰曲线()y f x =绕y轴旋转的旋转曲面方程：y f = 在xoz 面上投影域为zx D ：2222a x z b ≤+≤故所求体积0zx f y D V dzdx dy =⎰⎰⎰2()2()bf a b ad d dyf d πρθρρπρρρ==⎰⎰⎰⎰即2()by a V xf x dx π=⎰16.求曲面221z x y =++上点(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围成的空间区域的体积V .分析：所围的空间区域在xoy 面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面221z x y =++在(1,1,3)M -处的法向量''(,,1)(2,2,1)M x y M n z z =-=--则切平面方程为2(1)2(1)2(3)0x y z --+--= 即221z x y =--所以切平面与曲面的交线22221z x y z x y =--⎧⎨=+⎩在xoy 面上的投影曲线为 22(1)(1)1x y z ⎧-++=⎨=⎩即所求空间在xoy 面上的投影域D 为22(1)(1)1x y -++≤故22221()DV x y x y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰221(1)(1)Dx y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰ 22221(1)x y x y dxdy +≤=--⎰⎰2120(1)2d d πθρρρπ=-=⎰⎰17.设球体占有闭区域Ω：2222x y z Rz ++≤，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于Ω为球体，且被积函数出现222x y z ++项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域Ω的对称性. 解：密度222(,,)x y z x y z ρ=++ 此球体的质量(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰222()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰22cos 222sin R d d r r dr ππφθφφ=⋅⎰⎰⎰5555202322sin cos 515R R d πππφφφ=⋅=⎰由对称性易知0x y == 22211(,,)()z x y z dv z xy z dv MMρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而22cos 22222200()sin cos R z x y z dv d d d ππφθφφρρρρρΩ++=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰666720282sin cos 63R Rd πππφφφ=⋅=⎰∴54z R =即球体的质心：5(0,0,)4R 五、自测题(A)一、 选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D 为221x y +≤在第一象限部分，二重积分2Dxy d σ⎰⎰可化为A)112dx xy dy ⎰⎰B) 1200dx dy ⎰C) 1200dx dy ⎰D) 20xy dy2. 设1()Dx y d σI =+⎰⎰,2sin()Dx y d σI =+⎰⎰,3tan()Dx y d σI =+⎰⎰,其中D 为三角形闭区域，三顶点分别为(0,0),(1,0),(0,1),则 A) 123I <I <I B) 213I <I <I C) 231I <I <I D)以上均不正确3. 设空间区域1Ω：2222,0x y z R z ++≤≥2Ω：2222,0,0,0x y z R x y z ++≤≥≥≥ 则 A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C) 124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 设平面薄片位于区域221x y +≤，密度函数为222(2)(2)x y x ρ=++，质心坐标为(,)x y ，则A) 0,0x y == B)0,0x y =≠ C) 0,0x y ≠= D)0,0x y ≠≠5. 设22()Dx y d σ+⎰⎰，D ：由2y x =，1x =，0y =所围，则化为极坐标形式的积分为 A)sec 3400d d πθθρρ⎰⎰B)1340d d πθρρ⎰⎰C) 3400d d πθρ⎰ D)sec 340tan sec d d πθθθθρρ⎰⎰二、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.2224x x y d σ≤+≤⎰⎰＝2. 2sin sin 200cos d d πθαθθρθρ+⎰⎰＝3.利用重积分性质估计22(49)Dx y d σI =++⎰⎰，这里D :224x y +≤，那么 I∈ 4.积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于5.设Ω：224,01x y z +≤≤≤，则(sin cos 2)x y z dv Ω+⎰⎰⎰三、(10分) 计算二重积分1()x y x y dxdy +≤+⎰⎰四、 (10分) 改变下列积分次序. 1.220(,)xx dx f x y dy ⎰⎰ 2. ln 10(,)exdx f x y dy ⎰⎰五、 (10分) 证明()()000()()()ayam a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰六、 (10分) 计算三重积分()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =所围区域.七、 (10分) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =曲面与所围区域，求(,)f x y .八、 (10分) 求平面1xy z a b c++=被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算2z dv ΩI =⎰⎰⎰，Ω：2222221x y z a b c ++≤.自测题(B)三、 选择题(3分⨯5＝15分) 1. 在下列哪种情况下成立A) (,)(,)f x y f x y -=- B) (,)(,)f x y f x y -= C) (,)(,)f x y f x y --= D) (,)(,)f x y f x y -= 且(,)(,)f x y f x y -=2. 设D 由1x =，0y =，12x y +=，1x y +=，若[]31ln()Dx y dxdy I =+⎰⎰，32()Dx y dxdy I =+⎰⎰，[]33sin()Dx y dxdy I =+⎰⎰，则1I ，2I ，3I 之间的关系为A) 123I <I <I B) 321I <I <I C) 132I <I <I D) 312I <I <I 3.设(,)f x y 为连续函数，则00(,)axdx f x y dy ⎰⎰等于 A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰ B) 0(,)a ay dy f x y dx ⎰⎰ C) 0(,)aya dy f x y dx ⎰⎰ D) 0(,)aady f x y dx ⎰⎰ 4.设平面区域{}(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B) 12D xydxdy ⎰⎰C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D)05.一物体占有空间区域Ω：2221,0x y z z ++≤≥，密度为(2)(2),x y z +-质心坐标，(,,)x y z 则A)0,0x y >> B) 0,0x y >> C) 0,0x y <> D) 0,0x y << 四、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.22222()x y yf x y d σ+≤+⎰⎰的极坐标形式的二次积分为2.设区域D 由双曲线222()2x y xy +=，那么()Dx y d σ+⎰⎰等于3.设D ：222x y a +≤，Dxy dxdy ⎰⎰＝4.空间区域Ω是由平面1x y z ++=及三坐标面所围，将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为先对x ，再对y ，最后对z 的三重积分5.曲面1x y z ++=所围立体的体积是 三、(10分)计算221()Dx yf x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3y x =，1y =，1x =-所围成的区域，()f x 为连续函数.十、 (10分)求椭球2222221x y z a b c++≤的体积十一、15分)将(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω由22z x y =+，z =所围.十二、10分) 21xxdx ⎰⎰十三、10分) 求由2y ax =及x a = (0)a >所围图形关于直线y a =-的转动惯量. 八、(15分) 求222201lim(,)t x y t f x y d t σπ→+≤⎰⎰，其中(,)f x y 为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D ：2214x y ≤+≤，则(,)D f x y d σ⎰⎰A)2121(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰B)120104(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰C) 2201(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰D) 2012(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ 2. 设1Dx y dxdy I =+⎰⎰，22aDx y dxdy I =+⎰⎰ (0)a >，其中D ：1x y +≤，那么A) 120I -I > B) 120I -I <C) 120I -I = D) 12I -I 的符号与a 的取值有关3.设Ω：2222x y z R ++≤，2221()x y z dv ΩI =++⎰⎰⎰，则A) 543R πI = B)223()2x y dv ΩI =+⎰⎰⎰C) 223()2y z dv ΩI >+⎰⎰⎰ D) 223()2z x dv ΩI <+⎰⎰⎰ 4.设k D ：22()()2,1,2,3x k y k k -+-≤=，记2(3)kk D x y d σI =+-⎰⎰，则有A)123I =I ≠I B) 321I =I ≠I C) 132I =I ≠I D)以上都不正确5.设设Ω：2222x y z z ++≤，12z ≥，则f dxdydz Ω⎰⎰⎰A)123002()sin d f d ππφρρφρ⎰⎰ B)2cos 23002()sin d f d πφπφρρφρ⎰⎰C)111022dr f rdz π⎰⎰D)21022dz f rdr π⎰五、 填空题(3分⨯5＝15分)1.将柱面坐标三次积分42000(,,)dz d f z d πθρθρ⎰⎰化为先对z 后对ρ，θ的三次积分2.不等式22041z x y ≤≤+≤所表示的图形的体积为3.设Ω为2222x y z x ++≤则222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下的三次积分为在柱面坐标下的三次积分为4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉34，问容器内水面下降了 ％三、(15分)将二次积分变换积分次序 2210(,)x dx f x y dy I =⎰⎰六、 (15分)计算三次积分1000sin 1x yzdx dy dz z-⎰⎰⎰ 七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线()0y f x =>，(0)a x b ≤≤≤绕x轴和y 轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是2(bx a S f x π=⎰和2by a S π=⎰ 八、 (15分)求曲面z =与222x z z +=所围立体的体积 九、 (10分)若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，证明 0(,)(,)2(,)(,)DDf x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数为的偶函数重积分自测题答案自测题(A)一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D二、1.3π 2.0 3.]ρπ[36，100 4. 41(1)2e -- 5.4π 三、43四、1)2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰2) 1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰六、8π 七、18xy +九、3415abc π自测题(B)一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、1.2sin 200()d f d πθθρρρ⎰⎰2.03.42a 4.111000(,,)z y zdz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰5.43三、25- 四、43abc π五、7()36π-1 七、485a 八、(0,0)f自测题(C)一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 二、1.222400(,,)d d f z dz πρθρρθ⎰⎰⎰2.8π3.2sin cos 2200sin ()d d f r r dr ππφθπθφφ-⎰⎰⎰2cos 220()d d f z dz πθπθρρρ-+⎰⎰4.50三、142001(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx -⎰⎰四、1(1sin1)2-七、提示：将(,)Df x y d σ⎰⎰表示为在1D 上的二重积分.。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
.
性质7（二重积分中值定理）设在闭区域上连续, 是的面积, 则在上至少存在一点, 使.
性质8（对称性质）设闭区域 关于 轴对.
（1）若被积函数关于变量为奇函数, 即, 则.
（2）若当被积函数关于变量为偶函数, 即时, 则.
性质9（轮换对称性）设闭区域关于轴对称,则.
注 （1）曲顶柱体的体积是函数在上的二重积分, 即＝.
（2）平面薄片的质量是面密度在薄片所占平面区域上的二重积分, 即.
（3）如果在闭区域上连续, 则在闭区域上的二重积分必定存在.
（4）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续, 则在上可积.
（5）二重积分的几何意义: 当时, 就是曲顶柱体体积; 当时, 柱体在面的下方, 此时二重积分是曲顶柱体体积的相反数; 如果在的若干部分是正的, 而在其他部分都是负的, 则我们可以把面上方的曲顶柱体体积取成正, 面下方的曲顶柱体体积取成负, 则在上的二重积分就等于这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.
-型区域的特点是:在区域内, 任意平行于轴的直线与的边界至多有两个交点, 且左右边界的曲线方程是的函数.如果一个区域既是-型区域又是-型区域, 称为简单区域.
3.混合型区域 若有界闭区域, 它既不是-型区域又不是-型区域, 则称之为混合型区域.
其特点是:在区域内,存在平行于轴和轴的直线与的边界交点多于两个.
;
(3) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )为的变化范围, 即
.
(4) 将三重积分写成关于变量 的三次积分
.
一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形区域,被积函数含有或()时, 用柱面坐标计算比较简单.
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
重积分的积分方法和积分公式
重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。
重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。
1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。
不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。
2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。
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第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分⎰ba dx x f )(其中)(x f 为被积函数，（a ，b ）为积分区间。
我们若把)(x f 推广到多元函数。
(a ，b)推广到区域。
曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。
〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。
（二）求平方薄片的质量。
（一） 求曲顶柱体体体积：设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。
我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。
现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。
首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ∆（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。
又记i σ∆为T i 的面积，λi 为i σ∆的直径，对于i σ∆来说，由于f(x ，y)在i σ∆连续。
故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ∆上各点的函数值近似相等，从而可视i σ∆上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ∆中任放一点以),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为i i i f σηξ∆),(。
并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：∑∑==∆⋅≈∨=N i Ni i i i i f V 11)(σηξ最后，当分割T 的细度O Max T i →=λ时有：∑=→∆⋅Ni iiiV f 1)(σηξ即：i i i T f Vσηξ∆=→),(lim 0（2）、平面薄电的质量设薄电占有xoy 平面上的区域D 且在点（x 、y ）的D 外的面密度为P （x ，y ）>O 求该平面薄纯的质量M 。
如果P(x ，y)为常数p 那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S 。
当p(x ，y)不是常数时其求法同（1）相符。
首先，把该薄电划分为n 小块i σ。
当i σ直径i λ很小时，由于p(x ，y)在i σ上连续，可视每小块为均匀薄片。
在i σ上任意一点（i i ηξ,），则每一块的质量近似的i i i P σηξ∆),(。
进一步：用∑=∆ni i i i P 1),(σηξ代替整个薄电的质量。
且当0→=i Max λλ时，有i Ni i i M σηξρλ∆=∑=→10),(lim 。
由（1）、（2）知求由顶柱体的体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，3、取极限这三个步骤得到的。
这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不同的是对象为定义在平面区域Ｄ的二元函数，这就是二重积分的实际背景。
定义：设D 是：X0y 平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线（一般指D 的可求面积），f （x ，y ）为定义在D 上的函数，用光滑的曲线网把D 分成n 个小区域：,,,,21n σσσ∆∆∆ 以i σ∆表示i σ∆的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i λ表示i σ∆的直径，记T 的细度为 ‖T ‖=Max λi ，在每一个i σ∆上任取一点（i i ηξ,），作和式： ∑=∆Ni i i i f 1),(σηξ称之为函数f （x ，y ）在D 上属于分割T 的一个积分和。
如果当‖T ‖→0时，该积分和的极限存在，就称此极限值为f （x ，y ）在区域D 上的二重积分，记作：⎰⎰Dd y x f σ),(即：∑⎰⎰=→∆=Ni i i t Di f d y x f 10),(lim),(σηξσ其中f （x ，y ）称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，x ，y 称为积分变量，D 称为积分区域。
【注】：1由定义知，若f （x ，y ）在D 上可积，应对于任何分割T ，及任意的点（i i ηξ,）∈i σ∆上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D ，则每一个小区域i σ∆的面积为i i i y x ∆∆=∆σ，进而有dxdy d =σ，故：⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ以后在讲重积分计算基本上都采用后一种形式。
2、并非任一函数f （x ，y ）在区域D 上的积分都存在，如⎩⎨⎧=01),(y x f ，为其他为有理数y x y x ,, 在[0，1；0，1]上的重积分不存在，但当f （x ，y ）连续时，其二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在，故以面在不加说明的情况下，总认为f （x ，y ）在D 上的重积分是存在的。
3、如果f （x ，y ）≥0，⎰⎰Dd y x f σ),(在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f （x ，y ）=1，⎰⎰Dd y x f σ),(的值就等于积分区域D 的面积。
如果f （x ，y ）≤0，柱体就在X0y 平面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。
如果f （x ，y ）在D 上的某n 个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。
二、二重积分的性质性质1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面：σσd xy f k d xy kf DD)()(⎰⎰=⎰⎰ （K 为常数）性质2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差）。
σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD),(),()],(),([⎰⎰±⎰⎰=±⎰⎰性质3、若Φ==J i n D D D D D D 且,21，那么∑=⎰⎰=⎰⎰ni D Dd y x f d y x f i1),(),(σσ性质4、当f （x ，y ）=1时，的面积D d d y x f DD=⎰⎰=⎰⎰σσ),(D ⎰⎰D⎰⎰性质5、如果在D 上，有f （x ，y ）≤g （x ，y ）则有σσd y x g d y x f DD),(),(⎰⎰≤⎰⎰性质6、σσd y x f d y x f DD),(),(⎰⎰≤⎰⎰性质7、若在D 上有：m ≤f （x ，y ）≤M ，则有σσσM d y x f m D≤⎰⎰≤),(（σ为D 的面积）特别地，当M ，m 分别为f （x ，y ）在D 上的最大，小值时，上式亦成立。
性质8、（二重积分的中值定理）若f （x ，y ）在不可少闭区域D 上连续，则存在),(ηξ∈D ，使得：σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰，（σ的D 的面积）第二节 二重积分的计算法—利用直角坐标计算一、二重积分的计算（X —型区域，Y —型区域）定理1：设f （x ，y ）在矩形区域[a ，b ；c ，d]上可积，且对∀x ∈[a ，b]， 积分：⎰dcdy y x f ),(存在，且累次积分：⎰⎰⎰⎰∆ba dc ba d c dy y x f dx dx dy y x f ),(]),([也存在，且有：⎰⎰=⎰⎰ba dc Ddy y x f dx dxdy y x f ),(),(本定理1这里就不证了，可从几何意义来说明：（1）体积、（2）质量。
定理2：设f （x ，y ）在矩形区域[a ，b ；c ，d]上可积，且对g ∈[c ，d]，积分⎰b a dx y x f ),(都存在，⎰⎰⎰⎰∆d c ba d cb a dx y x f dy dy dx y x f ),(]),([也存在。
且有：⎰⎰=⎰⎰dc ba Ddx y x f dy dxdy y x f ),(),( 特别地，当f （x ，y ）在[a ，b ；c ，d]上连续，则有dy y x f dy dy y x f dx dxdy y x f ba d c d cb a D⎰⎰⎰⎰==⎰⎰),(),(),(这时，也记dxdy y x f D),(⎰⎰为⎰⎰b a dc dxdy y x f ),(。
[例1]：计算⎰⎰+Ddxdy y x 2)(，其中D=[0，1；0，1]。
解：⎰⎰+Ddxdy y x 2)(同理也可用⎰⎰+1210)(D dy y x dx 来计算。
⎰⎰+Ddxdy y x 2)(⎰=-+=103367]33)1([dx x x 然而，σd y x f D),(⎰⎰中的区域D 一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，通常可分解为下两类区域来计算：若D 可表示为D={（x ，y ）；)(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ，a ≤x ≤b}则称之为X 一型区域。
若D 可表示为D={（x ，y ），1ϕ（y ）≤x ≤2ϕ（y ），c ≤y ≤d}则称之为Y 一型区域。
X 一型区域的特点是：垂直于X 轴的直线X=X 0（a ＜x ＜b ＝与D 的边界至多只有两个交点，Y 一型区域也有类似的特点。
许多常见的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的X 一型区域可y 型区域，如果解决了X 一型区域与Y 一型区域上的二重积分的计算法，那么一般区域上的二重积分也就可以计算了。
定理3：若),(y x f 在X 一型区域D={（x ，y ）)(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ，a ≤x ≤b}上连续，其中)(1x ϕ,)(2x ϕ在[a ，b]上连续则：⎰⎰=⎰⎰b a x X Ddy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ定理4：若),(y x f 在Y —型区域连续其中)(1y ϕ，)(2y ϕ在[c ，d]上连续，则：⎰⎰=⎰⎰d c y y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ【注】：定理3-4可从定理1，2，也可从几何意义来说明。
[2例]计算dxdy y xD)(22+⎰⎰其中D 为y=x 与y=x 2所围区域解：D 可表示为X 一型区域： D={（x ，y ），0≤x ≤1，x 2≤y ≤x}⎰⎰+=+⎰⎰1022222)()(xx Ddy y x dx dxdy y x⎰-+-=106322)](31)([(dx x x x x x⎰=--=--=106433532115131)3134(dx x x x解法2，D 可表示为Y 一型区域：},10:),{(y x y y y x D ≤≤≤≤=⎰⎰+=⎰⎰∴1022)()(yy Ddx y x dy dxdy xy f⎰-+-=10232/3)]()(31[dy y y y y y⎰=+⨯-⨯=+-=102/532/33537241345231)3431[dy y y y[例3]求曲线y=x ，y=x 2与x 2+y 2=1在第一象限所围区域的面积。