第七章 量子力学的矩阵表述

7.46 7.47
An B m
2 3 算符对态的作用
exp( A)
[ A, B] 等
7.48
Φ = FΨ ⇔ Φ ′ = F ′Ψ ′
本征方程和本征值
′ = λkφ k ′ Fφ k = λ k φ k ⇔ F ′φ k
7.49
可见
本征值是表象变换下的不变量 只有表象 坐标架 变换下不变的量和关系式才是重要
和矢量分析理论的情形一样 的良和关系式
7.14
用矩阵表示即
Fψ = φ
可见 当量子态用矩阵表示时
7.15 方阵 F 它对任意态矢列矩阵
算符亦可表示为一矩阵
的作用等于算符矩阵乘以该态矢列矩阵
称 F 为算符 F 在 A 表象中的矩阵
ˆ
三
矩阵性质 所以算符的代数运算和线性代数中的矩阵运算
因为量子力学中一般只用到线性算符 法则一样 1 单位矩阵
内积相当于矢量的点乘运算 变 2 平均值 为态矢 Φ 在 Ψ 的投影 是一 几何 量
7.43 在表象变换下不
< F >= Ψ + FΨ = Ψ + S + SFS + SΨ = (SΨ ) SFS + (SΨ ) = Ψ ′ + F ′Ψ ′
+
(
)
7.44
它是测量的量 显然应该是不变量 3 算符矩阵的迹
λ k 相映的本征态矢 φ k
注意
因为
7.21
的系数行列式为零
φ k 可以相差一个任意常数因子 利用这个任意因子 可以对本征态归一化
3 薛定谔方程 以上介绍的态的矩阵表示对含时间的完整态函数 列矩阵的矩阵元看成时间的函数 若
包括非定态 7.23
也适用
只需把态矢
v v Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ϕ n (r )
+ Tr (F ) ≡ ∑ Fnn = ∑ ϕ n Fϕ n = ∑ψ i+ F ′ψ i = Tr (F ′) n n i
7.45
[作业]证明
7.45
2. 不变形式 1 算符的代数式
A + B = C ⇔ A′ + B ′ = C ′ AB = C ⇔ A′B ′ = C ′
因此 所有可以归结为算符相加和相乘的式子都是不变式 例
每一个态矢都有一个相应的共轭态矢
∗ ∗ ψ + = (c1∗ c 2 L cn L)
7.7
7.8
态矢和共轭态矢是一一对应的 分别都包含了量子态的所有信息 都可以表示量子态 但 是数学上态矢和共轭态矢是两个不同性质的量 一个是列矢量 另一个是行矢量 它们之 和是没有意义的 引入共轭态矢是为了方便地表示内积 若基底是正交归一的 则ψ 与另 一态矢 φ 它的分量为 {bn } 的内积 (ψ , φ ) 可表示成
一些量子力学公式
平均值公式
< F >= ψ + Fψ
2 本征方程
7.18
Fφ k = λ k φ k
或
7.19
(F − λ k I )φ k
把矩阵元写出来 即
=0 L d1 L d 2 = 0 L d 3 O M
7.20
F11 − λ k F 21 F31 M
* * ˆ ˆ ϕn ,∑ S* Fij′ = ∑ S in jm Fϕ n = ∑ S in S jm ϕ n , Fϕ m m n n,m + = ∑ S in Fnm S * jm = ∑ S in Fnm S mj
(
)
7.40
( )
n ,m
h ,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
1 0 ϕ1 = M 0 M
任意态是上述基底迭加
0 1 ϕ2 = M 0 M
0 0 … ϕn = M 1 M
7.6
0 0 1 0 1 0 ψ = c1 M + c 2 M + L + c n M + L 0 0 1 M M M
利用 7.33 得逆变换
7.41
F = S + F ′S
7.41 三 和 7.42 即算符变换公式
7.42
表象变换下的不变量和不变形式
1. 不变量 物理测量结果应该与态空间的基底选择无关 些态矢量的 几何性质 也是不变量 1 内积
+
因此是表象变换下的不变量
此外
一
Ψ ′ + Φ ′ = (SΨ ) (SΦ ) = Ψ + S + SΦ = Ψ + Φ
计算 ϕ n 与上式的内积 7.10
(ϕ
l
n
ˆψ = (ϕ , φ ) ,F n
l n
)
∑ c (ϕ
ˆϕ = ∑ b (ϕ , ϕ ) = b ,F l l n l n
l
)
7.11 7.12
定义矩阵 F 使其矩阵元为
ˆϕ ) Fmn = (ϕ m , F n
则前式可写成
7.13
∑F
l
nl l
c = bn
F12 F22 − λ k F32 M
F13 F23 F33 − λ k M
7.21
这是关于 {d k } 的线性齐次方程组
它有非平庸解的充分必要条件是系数行列式等于零 7.22 7.21 可解出 {d k } 由 7.21 即与本征值 确定本征态矢
det (F − λ k I ) = 0
从中可求出 F 的本征值 {λ k } 把上式的某个根 λ k 代入
7.25
ih
d a n (t ) = ∑ H nm a m (t ) dt m
7.26
小结
以某一力学量 A 的本征态为态空间的基底
称为 A 表象
一个态在这套基底的
全体分量排成一列矩阵
ˆ 在 A 表象的矩阵表示是 称为该态在 A 表象的矩阵表示 算符 F
一方阵 F 其矩阵元由 7.13 给出 表象和矩阵表示是不同的但有密切关系的两个概念 矩阵表示必须以某一给定表象为 前提 在分立基底表象中 特别是所考虑态空间的维数有限时 矩阵表示比较方便 连续 基底表象形式上也可以定义矩阵表示 对理解一些定理和记忆一些关系式会有帮助 但对 真正的计算是没有什么用的 7.2 表象变换 表象变换 任何表象原则上都是互 态空间 希尔伯特空间 不同基底之间的变换 相等价的 但对于一个具体的系统 具体的问题 有些表象可能很麻烦 而另一些表象可 能很方便 就象解析几何中坐标架的选取一样 有方便和不方便之分 一 基底变换和幺正变换矩阵 考虑 A 和 B 两个力学量对应的两个表象 两个算符的本征方程为
记为一列矩阵
c1 c2 ψ = M cn M
这种表示方式和用分量表示矢量一样
7.5 可见称量子态ψ 为态矢是非常贴切的 因为在这种
表示方式中 态空间的基底已取定为 A 的本征态 故称之为 A 表象 态矢量的线性迭加运算规则和列矩阵的线性迭加运算规则一样 例如作为基底的正交 归一态矢有矩阵形式
在我们熟悉的坐标表象中
ˆ = −ihd / dx 坐标和动量算符分别为 x 和 p
概率幅为
ψ (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
动量本征态为
ψ p ( x) =
动量本征态集是完备的
1 2πh
e ipx / h
7.1 傅立叶积分展开 7.2
任意态都可以用动量本征态展开
ψ ( x) = ∫ c( p)ψ p ( x)dp
注意 息
用同样的符号
7.34
Ψ
记态 Ψ 在 A 表象中的态矢
a1 Ψ = a2 M
用符号 Ψ ′ 记态 Ψ 在 B 表象中的态矢
7.35
b1 Ψ ′ = b2 M
7.34 可写成
7.36
Ψ ′ = SΨ
两边同乘 S
+
7.37
得到反演式
∗ ∗ ψ +φ = (c1∗ c 2 L cn
b1 b2 ∗ L M = ∑ cn bn n bn M
)
共轭态矢和态矢相乘的规则和矩阵相乘的规则一样 二 算符的矩阵表示
7.9 它们的积是两个态的内积
ˆ 作用态ψ 上得到态 φ 设算符 F ˆψ = φ F
用量子态的分量来表示量子态 它是完备的 可以作为
设某力学量 A 的正交归一本征态集为 {ϕ n }
即任意态可表示为
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n
n
c n = (ϕ n ,ψ )
7.4
对于给定的力学量 A 分量 {c n } 表示态ψ ( x)
v {ϕ n } 是已知的确定的函数集 故 {c n } 包含ψ (r ) 的所有信息 可用
Ψ = S + Ψ′
7.37 2 和 7.38 即态矢在两个表象之间的变换关系
7.38
算符的变换
ˆ 在 A 表象和 B 表象的矩阵分别为 F 和 F ′ 记算符 F ˆϕ Fnm = ϕ n , F m
将 7.31
其矩阵元为 7.39
(
)
ˆψ Fij′ = ψ i , F j
(
)
代入上面第二个式子得
A 表象和 B 表象
ˆϕ = α ϕ A n n n
A 表象以 { ϕ n } 为基底
ˆψ = β ψ B i i i
B 表象以 { ψ i }为基底
7.27 设这两套基底都是正交归一基底
ij
(ϕ n , ϕ m ) = δ nm
任意态 Ψ 可以用 { ϕ n } 展开
(ψ ,ψ ) = δ
i j
7.28
n
则 Ψ (t ) 的矩阵表示为
c1 (t ) c 2 (t ) Ψ (t ) = M c n (t ) M
通常 选取的基底是不随时间变化的 薛定谔方程的矩阵表示为
7.24
相应的力学量算符不显含时间
ih
用分量写出即
d Ψ = HΨ dt
ψ p ( x) 是已知的函数 因此 ψ ( x) 由 c( p) 给出 即 c( p) 包含了态ψ ( x) 的所有信
动量表象
所以可以用 c( p ) 表示一个量子态
c( p) 的意义
间的概率
c( p) dp 正比于在ψ ( x) 态中测量动量得到动量值在 p ~ p + dp 之 c( p ) 是在 ψ ( x) 态中测量动量得到动量值在
S im = (ψ i , ϕ m )
记以 S in 为矩阵元的矩阵为 S 称为 A 表象到 B 表象的变换矩阵
SS + = S + S = I
满足上式的矩阵称为幺正矩阵 二 态和算符的变换 1 态的变换
既 S
−1
= S+
幺正矩阵不一定是厄米矩阵
* bi = (ψ i , Ψ ) = ∑ S in ϕ n , Ψ = ∑ S in (ϕ n , Ψ ) = ∑ S in a n n n n
也可以用 { ψ i }展开 7.29
Ψ = ∑ a nϕ n = ∑ biψ i
n i
系数
a n = (ϕ n , Ψ )
用{ ϕ n } 展开ψ i
bi = (ψ i , Ψ )
7.30
* ψ i = ∑ (ϕ n ,ψ i )ϕ n ≡ ∑ S in ϕn n n
7.31 7.32 可证 7.33
2
当平面波按 δ 函数归一化时
p ~ p + dp 之间的概率密度幅
[对分立谱
设 ϕ n 是某力学量 A 的与本征值 α n 对应的本征态
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n
n
7.3 ]
c n 是在ψ ( x) 态中测量力学量 A 得到值 α n 的概率
一 态的矩阵表述
2
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 以分立谱为例 态空间的基底
第七章 量子力学的矩阵表述
量子态 力学量 纯态 概率幅 态函数ψ ( r ) 算符 作用在ψ ( r ) 上
v
v
其中位矢算符特别简单
v v ˆψ (r ) = xψ (r ) x
这种量子力学的表示方式不是唯一的 式为坐标表象 7 1 态和算符的矩阵表示 先讨论一个简单例子 一维量子力学的坐标表象和动量表象 量子力学的表示方式称为表象 以上的表示方
1 0 0 L 0 1 0 L I = 0 0 1 L M M M O
2
对角矩阵 一个算符在自身表象中必定是一个对角矩阵
而且其对角员就是算符的各个本征
值 3 厄米共厄矩阵和厄米矩阵 A 的厄米共厄矩阵 厄米矩阵
~ A+ = A* A+ = A
7.16 7.17
四 1