量子力学第七章 - 2
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量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第7章
其中 Py 和 Pz 为任意实数，
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
【武汉大学】量子力学第七章
和二级修正等；
而
(0) n
,
(1) n
,
分2别n( 2) ,是波函数的零级近似，
一级修正和二级修正等。
将(2)(3)式代回(1)式中得到
(Hˆ (0)
Hˆ (1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
(4)
(
E(0) n
E (1) n
E2 (2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
展开得：
0
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
0
:
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
1
:
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
E(0) (1) nn
E(1) (0) nn
2
:
Hˆ
(
0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
E(0) (2) nn
E(1) (1) nn
E(2) (0) nn
第七章 原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论 §7.2 变分法 §7.3 氢原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论
思想
设能量本征值方程为 Hˆ E
若不能给出严格解
假定 Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1) 其中， 是一个小量 | | 1 Hˆ 称为微扰项
Hˆ (0) 的本征值和本征函数较容易计算出来,在此基础上， 可以把 Hˆ的 影响逐级考虑进去，得到接近精确解的近似解
, E (1) (1)
n
n
量子力学-自旋 Ⅲ. 碱金属的双线结构 Ⅳ. 两个自旋为1_2的粒子的自旋态 纠缠态
c. Pauli Operator： 为方便起见，引
入泡利算符
Sˆ ˆ 2
于是，在 z 表象中有（或称 Pauli 表象）
0 1 (x ) 1 0
0 i
(y
)
i
0
1 0
(
z
)
0
1
称为泡利矩阵
由此得 于是有
[i, j] 2iijk k 2x 2y 2z 1
xy yx 0
i Lˆ xSˆ y i Lˆ ySˆ x
因此，( Hˆ , Lˆ2, Lˆ z,Sˆ z )不能构成力学量完全 集。但
[Lˆ z Sˆ z ,Lˆ Sˆ ]
i Lˆ ySˆ x i Lˆ xSˆ y i Lˆ xSˆ y i Lˆ ySˆ x 0
即
[Lˆ S 2
t) , t)
1 2(r, t) 1 2(r, t)
ψ1 2(r, t)α ψ1 2(r, t)β
C．考虑自旋后，力学量的表述
Lˆ 在 (r, Sz ) 表象中的表示为
r,Sz Lˆ r,Sz
L11 L21
(r, (r,
Pˆ ), Pˆ ),
L12(r, Pˆ ) L22(r, Pˆ )
第二十讲提要
第七章 自旋
Ⅱ. 自旋－微观客体特有的内禀角动量 A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示 B. 考虑自旋后，状态和力学量的描述 C. 考虑自旋后，电子在中心势场中的 薛定谔方程
Ⅱ. 自旋－微观客体特有的内禀角动量
A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示
假设： 自旋算符 Sˆ 有三个分量，并满
足角动量所具有的对易关系。
3 4
2
0
0 Lˆ 2 3
4
2
量子力学讲义第7章
第七章 定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。
二 、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。
方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n n n E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n n n ψλλψψψ代入方程： ...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m nm n E ψ。
三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(n ψ展开∑=ll l n na )0()1()1()1(:ψψψ。
代入一级近似方程：)0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n k kn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。
周世勋量子力学课件第七章
得：b = c* (或c = b*)
I
x
2
0 c * 0 c * | c |2 0 c 0 2 c 0 0 |c|
令：c = exp[iα] (α为实），则
| c |2 1
0 e i x i e 0
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2 规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 或Sz = -/2的自旋态，则 第二行对应于Sz = -/2。 波函数可分别写为：
1 (r , t ) 1 2 0
1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1
a 0 d 0
a b ˆ x c d
a 0 d 0
§1 电子的自旋
返回
（一）电子自旋的引入 (二）Stern-Gerlach 实验 （三）回转磁比率
（一）电子自旋的引入
乌伦贝克(Uhlenbeck) 和 哥德斯密脱(Goudsmit) 于 1925年提出了电子自旋假设. 当时主要的实验根据是:
1 碱金属原子光谱的精细结构.例如纳原子光谱中 一条很亮的黄线(D线,λ~5893Å), 其实是由两条很 靠近的谱线组成, D1 (λ~5896Å), D2(λ~5890Å). 2 反常塞曼效应. 1912年发现,原子光谱线在弱磁场 中的复杂分裂现象(分裂成偶数条).
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x
量子力学 散射理论
相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的 微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为： 对局域势： 得：
考虑观察点远离势中心
可以得到： 其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于 势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章 散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主 要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰 的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程
量子力学第七章习题解答
即
h h 2 2 2 λ − cos γ − (cos α + cos β ) = 0 4 4
2
h λ − = 0 (利用 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1) 4
2
2
⇒
a h 设对应于 S n = 的本征函数的矩阵表示为 χ 1 ( S n ) = ， b 2 2
由归一化条件，得
a 2 2 1 = χ 1 χ 1 = (a , b ) = a + b b 2 2 2 cos α + i cos β 2 2 a + a =1 1 + cos γ
+ * *
2 2 a =1 1 + cos γ
取
1 + cos γ a= 2
，得
b=
cos α + i cos β 2(1 + cos γ )
ˆ 在这些本征态中， 测量 S z 有哪些可能值？这些可 ˆ 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？
ˆ ˆ 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为
ˆ = h 0 1 cos α + h 0 − i cos β + h 1 0 cos γ Sn 1 0 i 0 0 − 1 2 2 2
⇒
b1 a1 = ⇒ a b 1 1
b1 = a1
χ 1+/ 2 χ 1 / 2 = 1 ，得 由归一化条件 a * * 1 (a1 , a1 ) = 1 a 1
即
2 a1 = 1
2
∴
a1 =
1 2
b1 =
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❖ 7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Spin operator of an electron and spin wave
function
❖ 7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect
❖ 7.4 两个角动量的耦合
Coupling of two angular momenta
❖ 7.5 光谱的精细结构
En0
2
En00 1 2
Chapt. 7 Spin and identical particles
En00 1 2
En0
e Bs 2mec
En00 1 2
En0
e Bs 2mec
由于电子 存在自旋，原 子处在磁场中， 原分来裂的为能两级条。En0
8
§7.3 简单塞曼效应（续 3）
2．2P态→1S态的跃迁情况
U
(M L
MS
) BS
e 2 me
c
L 2S
BS
2
e mec
(Lˆz
2Sˆz
)BS
定态S～方程
Hˆ
0
e Bs 2 mec
(Lˆ z
2Sˆz
)
E
力学量完全集 {Hˆ (0), Lˆ2, Lˆz , Sˆz}
本征函数： nlmmS nlm (r, , )mS Lˆz nlmmS m nlmmS m nlm mS
n=2,l=0,1 m=-1,0,1 4重简并
n=1
5
§7.3 简单塞曼效应（续 1）
Chapt. 7 Spin and identical particles
有强磁场的情况下 （忽略自旋与轨道运动 的相互作用能）磁场引 起的附加能量
取z 轴B 方方向向为
BS
Bc B
(C G S ) (S I)
Chapt. 7 Spin and identical particles
即2P→1S 跃迁频率 可取三个 值
a, b,
a b
谱线频率 谱线频率
0 0
e Bs 2mec
c,
c
谱线频率
0
e Bs 2mec
氢原 子一
E (0) 2
级斯
塔克
效应
E (0) 1
E
(0)
2
3
eE
a0
E (0) 2
本征能量：氢原子 E En （仅与 n 有关）
类氢原子 E Enl （与 n,l 有关）
4
§7.3 简单塞曼效应（续 1）
跃迁与辐射：
偶极跃迁选择定则：
l 1,m 0,1
由2P态跃迁到1S 态的跃迁频率
0 (E21 E10 ) /
Ch.7 Spin and identical particles
Hˆ (0) 2 2 zes2 =
2me
r
2
2 me
1
r
2
r
r
2
r
1 2r
2
Lˆ2
zes2 r
体系的定态Schrödinger方程
Hˆ
(0)
nlm
(r )
Enl nlm
力学量完全集 {Hˆ (0), Lˆ2, Lˆz}
本征函数： nlm (r ) Rnl (r)Ylm ( ,)
Sˆz nlmmS mS nlmmS mS nlm ms 6
§7.3 简单塞曼效应（续 2）
Chapt. 7 Spin and identical particles
代入以上 方程有
Hˆ
0
e BS 2mec
(m
2ms
)
nl
m
mS
E nl mmS nl mmS
本征能量：Enl mmS
E211 1 2
E21
e Bs mec
2P态的能级
n 2; l 1; m 1, 0, 1; Sz 1 2
E2111 2
E21
e Bs mec
E210 1 2
E21
e Bs 2mec
E2111 E21
2
9
§7.3 简单塞曼效应（续 4）
2P
m 1
m0
m 1
Chapt. 7 Spin and identical particles
m 1 m0
m 1
a b c 有磁场 a b c
1S
无磁场
m0 ms 1 2
m0
ms 1 2
根据选择定则 l 1 , m 0, 1 , ms 0
2P→1S跃迁频率
E E n l m ms
n l m ms
即得
0 ,0
e Bs 2mec
其中0 = E21 E10
10
§7.3 简单塞曼效应（续 5）
En l
e BS 2mec
(
m
2mS
)
当 Sz 2
时
m
S
1 2
，E n
l
m
1
2
En l
e Bs (m 1) 2mec
当Sz
2
时 m S
1 2
，E
nl
m
1
Hale Waihona Puke 2En le Bs 2mec
(m 1)
7
§7.3 简单塞曼效应（续 3）
讨论
1.当原子处在 ns 态时
l 0 ，m 0
E n 00 1
❖ 7.8 两个电子的波函数
Spin wave function of two electrons
❖ 7.9 氦原子（微扰法）
Helium atom (perturbation methods)
3
§7.3 简单塞曼效应
Ch.7 Spin and identical particles
考虑氢原子和类氢原子在磁场中的情况。 无外磁场的情况下，体系的哈密顿算符
E
(0)
2
3eE
a0
E (0) 1
得
0 ,0
3E mee
2
a0 me e2
11
§补充 角动量（1）
Ch.7 Spin and identical particles
Chapt. 7 Spin and identical particles
1S态的能级
E1 100 2
E10
e Bs 2me c
E1 100 2
E10
e Bs 2me c
2P态的能级
n 2; l 1; m 1, 0, 1; Sz 1 2
E2111 E21
2
E210 1 2
E21
e Bs 2mec
Ch.7 Spin and identical particles
第七章 自旋与全同粒子
Spin and identical particles
11/29/2020 1
本章目录
Chapt. 7 Spin and identical particles
❖ 7.1 电子自旋
Spin of an electron
Fine structure of the spectrum
2
本章目录
Chapt. 7 Spin and identical particles
❖ 7.6 全同粒子的性质
Characterization of similar particles
❖ 7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
Wave function of similar particle system and Pauli principle