高二数学下学期第二次阶段测试试题理

修远中学2017-2018学年度第二学期第二次阶段测试高二数学(理科)试题本试卷满分１６０分，考试时间１２０分钟。

一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分。

答案写在答题卡相应位置） 1、复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是▲。

2、点的极坐标为(2,)3π，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，则点的直角坐标为 ▲ 。

3、+的值为 ▲ 。

4、人排成一排，则甲不站在排头的排法有▲种。

5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡101k = 011A k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 = ▲ 。

6、随机变量的概率分布如下:则()E X =▲。

7、若一个口袋中装有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，至少有一个白球的概率 是▲。

8、8)1(xx -的展开式中，常数项为▲。

（用数字作答）9、.椭圆14)2y (x 22=-+ 在矩阵1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换所得的图形对应的曲线方程 为▲。

10、已知46n n C C =，设2012(34)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-++-，则12n a a a +++=▲。

11、若+12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=▲ 。

12、从22211,2343,345675=++=++++=中归纳出的一般结论为：▲ 。

13、数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有__▲个。

14、甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.5，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．用表示本场比赛的局数，则的数学期望为▲。

二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题14分）已知复数3()z bi b R =+∈，且(13)i z +为纯虚数． （1）求复数； （2）若2zw i=+，求复数的模w ．16、（本题14分） 已知直线的参数方程为12x ty t =-⎧⎨=+⎩，曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）将直线的参数方程化为普通方程；以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若为直线上任一点，是曲线上任一点，求的最小值．17、（本题14分）已知矩阵M=3212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，向量=93⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（1）求的逆矩阵1M-；（2）求5Mα；18、（本题满分16分）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛。

（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？19、（本题满分16分）如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点是线段PC 的中点。

（1）求异面直线AP 与所成角的大小；（2）若点在线段上，使得二面角F DE B --的正弦值为3，求PF PB的值．20、随机变量的分布列 ：() ( 0 1 1,2,)i i i P X x p p i n ==≤≤=，随机变量的数学期望：μ=1()n i ii E X x p ==∑， 方差：22211()()nn ii i i i i V X x p x p μμ===-=-∑∑随机变量的分布列为：()(1)k k n kn P X k C p p -==-（01,0,1,2,,p k n <<=）求证：（1）11 (1,,k k n n kC nC k n k n N --=≤≤∈ 且001)C =；（2）随机变量的数学期望()E X np =； （3）随机变量的方差()(1)V X np p =-。

修远中学2017-2018学年度第二学期第二次阶段测试高二数学（理）试题答案本试卷满分１６０分，考试时间１２０分钟。

二、填空题（本题包括１４小题，每小题５分，共７０分。

答案写在答题卡相应位置） 1、；2、 ；3、；4、600； 5、0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 6、；7、2528； A C DF PE（第19题）8、；9、22(2)14y x ++=；10、1023 ； 11、； 12、2(1)(32)(21) n n n n n N *++++-=-∈； 13、9000；14、125.4（或833）；二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题14分）解：（1）(13)(3)(33)(9)i bi b b i +⋅+=-++…………………………………4分(13)i z +⋅是纯虚数330b ∴-=，且90b +≠……………………………………………6分 1b ∴=，3z i ∴=+……………………………………………7分（2）3(3)2771222555i i i i w i i i i ++⋅--====-++⋅-（）（）（）………………………………12分w ∴==…………………………………14分（注：第二小问直接利用模的性质也行）16、（本题14分）解：（1）3x y +=……………………………………………4分 由2cos ρθ=得22cos ρρθ=222,x y x ∴+=2220x y x +-=…………………………………………………8分即2211x y -+=()（2）圆心(1,0)C =………………………………12分1………………………………………14分17、（本题14分）（1）111 22 13 44M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………4分 （2）由f(λ)=3212λλ----=-5λ+4=0,解得λ1=1，λ2=4，………………6分代入特征方程组求出相应的的特征向量分别为α1=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,α2=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………………10分由α=m α1+n α2，解得m=1,n=4；………………………………………………12分所以5M α=13551211281931411409512142⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………14分18、（本题满分16分）解：（1）随机变量X 的概率分布如下表：……………………………………………………………………………………………………5分E （X ）=0×0565511C C C ＋1×1465511C C C ＋2×2365511C C C ＋3×3265511C C C ＋4×4165511C C C ＋5×5065511C CC=630231………………………………………………………………………………………8分（2）①上场队员有3名主力，方案有：（3164C C -）（2252C C -）=144（种） (10)分X 0 1 2345P 0565511C C C 1465511C C C 2365511C C C 3265511C C C 4165511C C C 5065511C C C②上场队员有4名主力，方案有：（4264C C -）=45（种） (12)分③上场队员有5名主力，方案有：（5364C C -）=4142C C =2（种）……………………14分教练员组队方案共有144＋45＋2=191种．……………………………………………………16分19、（本题满分16分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)， 所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． …………………… 6分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．（第19题）所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ………………………10分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． …………………………12分 因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63， 即 |cos<m ，n >|＝63， 所以 |m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB ＝12．………………………16分20、（本题满分16分）证明： （1）11!(1)!()!![(1)(1)]!(1)!kk n n n n n kC knC n k k n k k ---===-----1,2,3,,,k n n N =∈…………………………………………………………4分（2）1101()(1)(1)nnk k n kk k n knn k k E X kCp p nC p p ----===-=-∑∑ 11(1)(1)111(1)(1)nk k n k n n k npC p p np p p np -------==-=-+=∑…………10分 （3）2212101()(1)()(1)()nnkk n kk k n knn k k V X k Cp p np nkC p p np ----===--=--∑∑1122111[(1)(1)(1)]nk k n k k k n kn n k n k C p p C p p n p ------==--+--∑ 11221111(1)(1)(1)nnk k n kk k n kn n k k n k Cp p n C p p n p ------===--+--∑∑ 111(1)(1)1121(1)(1)(1)knk k n kk k n k n n k k n n Cp p npC p p ---------===--+-∑∑22n p - 222(2)(2)11(1)(1)222121(1)(1)(1)nnk k n k k k n k n n k k n n p Cpp npC p p n p ------------===--+--∑∑ 22122(1)(1)(1)n n n n p p p np p p n p --=--++-+-(1)np p =-………………………………………………………………………16分。