高考文科数学一轮复习：三角函数

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数tan2x y =是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数2．有一块矩形花圃ABCD 如图所示，其中10AB cm =，6BC cm =，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH ，点A ，B ，C ，D 均落在矩形EFGH 的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（）A ．2100mB ．2128mC ．2144mD ．2196m3．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．若α是第四象限角，则π－α是第（）象限角.A ．一B ．二C ．三D ．四5．若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A ．353π B ．223πC ．35πD ．22π 6．已知函数()()sin 0,2f x x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则tan ϕ=（）A 3B ．1C 3D ．37．下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．设0θπ<<，非零向量()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，则（） A ．若1tan 2θ=，则//a b B ．若34πθ=，则a b ⊥ C ．存在θ，使2a b =D ．若//a b ，则1tan 2θ=10．关于函数()cos 23cos f x x x x =+，下列结论正确的有（） A ．函数()f x 有最小值2-B ．存在12,x x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立C ．函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 为直角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若2cos 22A c b c+=，则ABC 为直角三角形 12．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 三、填空题13．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.14．如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．15．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 16．已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为___.四、解答题17．已知函数()sin 3cos 33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()1y f x =-的单调递增区间；（2）设函数()()()1sin g x x f x =+，求()g x 的值域.18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若23()f α=(0,)3πα∈，求cos2α的值.19．计算：（1）sin15︒；（2）sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）sin13sin73cos13sin17︒︒+︒︒．20．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3sin cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知23BC =，D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．22．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM 及BMN △区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.23．已知向量,a b 满足2sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos ,cos sin )b x x x =-，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()222242cos a ac B a b c -=+-，求()f B参考答案1．A2．B3．B4．C5．B6．C7．C8．D 9．ABD10．ABC11．ABD12．ACD 13．12-14252km15．35 16．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（1）()2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．（1）()2sin()6f x x π=+（2）cos 2α=19．（1（2）；（3）12.20．（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32.21．(1)6B π=(2)AC =22．(1)不符合要求(2)按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-（平方米）23．（1）单调增区间为7,,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈；单调减区间为5,,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z∈；（2）。

【高考第一轮复习数学】三角函数专题

专题一：三角函数一、三角函数1、同角三角函数的基本关系：22sin cos 1αα+= sin tan cos ααα=2、诱导公式（一） tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k诱导公式（二） tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（三）sin(180)=-sin ;cos(180)cos ;tan(180)tan αααααα++=+=。

tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒诱导公式（四）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=-sin )2cos(cos )2sin(ααπααπ-=+=+3、两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i nαβαβαβ+=-两角和与差的正弦公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()s i n s i n c o s c o s s i nαβαβαβ-=-两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈4、辅助角公式：sin cos ))a x b x x x x ϕ+=+=+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b5、二倍角正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=2222c o s 2c o s s i n 12s i n2c o s 1ααααα=-=-=- 22t a n t a n 21t a n ααα=-注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈升幂公式：221cos 21cos 2cos ;sin 22αααα+-==降幂公式：221cos22cos;1cos22sinαααα+=-=7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，m ax1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，m in1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，m ax1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，m in1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函数性质()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴8、常用特殊角的三角函数值表：二、解三角形1、正弦定理：在C ∆A B 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆A B 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===AB ．2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a RA =，sin 2b RB =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c CC++===A +B +AB．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆A B 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c abc+-A =，222cos 2a c bac+-B =，222cos 2a b cC ab+-=．6、设a 、b 、c 是C ∆A B 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．。

高考一轮复习专题三角函数(全)

高考一轮复习专题——三角函数第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

2023高考数学一轮复习辅导：三角函数

2023高考数学一轮复习辅导：三角函数1500字三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等多个领域都有广泛的应用。

下面我将为大家总结一下2023高考数学一轮复习的三角函数知识点。

一、基本概念1. 常用三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。

2. 基本关系：在单位圆上，设点P(x,y)是角θ的终边与单位圆的交点，则x=cos(θ)，y=sin(θ)。

二、三角函数的性质1. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)，tan(-x)=-tan(x)。

2. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)，tan(x+π)=tan(x)。

3. 互余关系：- sin(x)与cos(x)互为余角。

- tan(x)与cot(x)互为余角。

三、三角函数的基本关系1. 和差公式：- sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。

- cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。

- tan(x±y)= (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))。

2. 积化和差公式：- sin2x=(1-cos2x)/2。

- cos2x=(1+cos2x)/2。

- tan2x=(1-cos2x)/(1+cos2x)。

3. 半角公式：- sin(x/2)=±√((1-cosx)/2)。

- cos(x/2)=±√((1+cosx)/2)。

- tan(x/2)=±√((1-cosx)/(1+cosx))。

四、三角函数的图像与性质1. 正弦函数sin(x)：- 定义域：(-∞,∞)。

- 值域：[-1,1]。

- 奇函数，周期为2π。

- 在[0,2π]上的图像是一个完整的波形，过原点和(π/2, 1)。

高考一轮复习专题三角函数(全)

高考一轮复习专题——三角函数第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质

第4节三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T ，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T ，其中T 为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T ，其中T 为周期.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 2.函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 3.下列函数中，是奇函数的是( ) A.y ＝|cos x ＋1| B.y ＝1－sin x C.y ＝－3sin(2x ＋π) D.y ＝1－tan x答案 C解析选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 4.(易错题)函数y ＝cos 2x ＋sin x 的值域为( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54D.[0，1]答案 C解析 y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝12时，y max ＝54. 当sin x ＝－1时，y min ＝－1.5.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________. 答案 π6.(易错题)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象的对称中心是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z解析由x ＋π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π2－π4，k ∈Z ，∴对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z .考点一三角函数的定义域和值域 1.函数y ＝sin x －cos x 的定义域为______. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为________.答案2解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 ＝－2cos x ，所以当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )max ＝ 2.3.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.答案－4解析因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]，所以g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，g (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.4.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.感悟提升 1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值. 考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1 (1)(2022·成都调研)在函数①y ＝cos|x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的函数有( ) A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(3)(2022·西安调研)已知函数f (x )＝2sin(x ＋θ＋π3)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.答案 (1)D (2)C (3)π6解析 (1)①y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期为2π，错误；②y ＝|cos x |，最小正周期为π，正确；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为2π2＝π，正确；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4最小正周期为π2，错误.故选D.(2)由题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ＝π3时，x ＋π6＝π2，所以直线x ＝π3为对称轴，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不为对称中心，A 错误，C 正确；当x ＝2π3时，x ＋π6＝5π6，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0不为对称中心，B 错误；当x ＝π6时，x ＋π6＝π3，所以直线x ＝π6不为对称轴，D 错误，故选C. (3)∵函数f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z ).又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.感悟提升 1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).3.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.训练1 (1)(2022·河南名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x －π4的最大值为M ，若存在实数m ，n ，使得对任意实数x 总有f (m )≤f (x )≤f (n )成立，则M ·|m －n |的最小值为( ) A.π2 022B.π1 011C.π505D.3π1 011(2)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且∀x ∈R 有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z x ＝2k π＋π3，k ∈Z解析 (1)令α＝2 022x ＋π4，则f (x )＝sin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＋sin α＝2sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4，其最小正周期T ＝2π2 022＝π1 011.由题意可知，M ＝2，|m －n |min ＝12T ，∴M |m －n |的最小值为π1 011.故选B.(2)由f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝2k π(k ∈Z ).又∵|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，令12x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z . 令12x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称轴方程是x ＝2k π＋π3，k ∈Z . 考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间例2 (1)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析 (1)由2k π－π≤x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6，k ∈Z .∵x ∈[0，π]，∴5π6≤x ≤π，∴函数f (x )在[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故选C.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 角度2 利用单调性比较大小例3 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c答案 A解析 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2cos 13π42，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π3，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上递减，又13π42<π3<5π12，所以a >b >c .角度3 根据三角函数的单调性求参数例4 (1)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，则φ的取值范围是________.(2)(2022·山西高三测评)已知函数f (x )＝sin x 2＋3cos x2在(－a ，a )(a ＞0)上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 解析 (1)因为函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，所以函数y ＝2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递减，又因为y ＝2sin(2x ＋φ)的单调递减区间为π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π4＋k π－φ2≤x ≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π4＋k π－φ2≤π5，5π8≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π10＋2k π≤φ≤π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以令k ＝0，解得π10≤φ≤π4，所以φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4.(2)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，由－π2＋2k π≤x 2＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π(k ∈Z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤π3，－a ≥－5π3，又a >0，所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是________. (2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z (2)7π5 解析 (1)由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z . (2)法一令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，π2＋π10＜a ＋π10≤3π2，即π2＜a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 三角函数中ω的求解在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.一、结合三角函数的单调性求解例1 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析令π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω＞0，所以k ≥0.又6k ＋32≤4k ＋3，得0≤k ≤34.又k ∈Z ，所以k ＝0.即32≤ω≤3.故选D.二、结合三角函数的对称性、周期性求解例2 (2021·兰州质量预测)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2) 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，令ωx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝π3ω＋k πω(k ∈Z )，由于函数f (x )图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，因此有π6＜π3ω＋k πω＜π3(k ∈Z )成立，即3k ＋1＜ω＜6k ＋2(k ∈Z )，由f (x )的最小正周期大于π，得2πω＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，综上可得1＜ω＜2.故选C.三、结合三角函数的最值求解例3 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.答案 (－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析显然ω≠0.若ω＞0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1.下列函数中，是周期函数的为( )A.f (x )＝sin |x |B.f (x )＝tan |x |C.f (x )＝|tan x |D.f (x )＝(x －1)0 答案 C解析对于C ，f (x ＋π)＝|tan(x ＋π)|＝|tan x |＝f (x )，所以f (x )是周期函数，其余均不是周期函数.2.(2021·西安调研)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π，k ∈Z 答案 C解析要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，故选C. 3.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝π6 B.x ＝5π12C.x ＝2π3D.x ＝－2π3答案 B解析令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12，故选B.4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为奇函数，则φ＝( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3答案 D解析因为f (x )为奇函数，所以π6＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.5.若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则( ) A.f (1)＞f (2)＞f (3)B.f (3)＞f (2)＞f (1)C.f (2)＞f (1)＞f (3)D.f (1)＞f (3)＞f (2)答案 A解析由π2≤2x －π4≤3π2，可得3π8≤x ≤7π8，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，由于1＜3π8＜2，且3π8－1＜2－3π8，故f (1)＞f (2).由于3π8＜2＜7π8＜3，且7π8－2＞3－7π8，故f (2)＞f (3)，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故选A.6.(2022·南昌模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列选项中能使得g (x )＝cos(x ＋φ) 取得最大值的是( )A.x ＝－2π3B.x ＝－π6C.x ＝π3D.x ＝5π12答案 A解析因为f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，得φ＝k π－π3(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以当k ＝1时，φ＝2π3，所以g (x )＝cos(x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3取得最大值时，x ＋2π3＝2k 1π(k 1∈Z )，得x ＝2k 1π－2π3(k 1∈Z )，令k 1＝0得x ＝－2π3.故选A.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________.答案 6π5解析由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 8.(2022·合肥调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，则下列说法正确的是________(填序号).①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是(2k π－2π3，2k π＋π3)，k ∈Z .答案 ④解析函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错，当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2＜12x －π6＜k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3 ＜x ＜2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确. 9.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54. 10.已知函数f (x )＝sin(2π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值. 解 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2 x ＋ 3＝sin x cos x －3cos 2x ＋ 3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋ 3 ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.11.已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2) 求f (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b ，3a ＋b ].又－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.(2)f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π得π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，23π＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z ). 12.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( )A.(0，5)B.(0，5]C.[1，5)D.(1，5]答案 C解析令ωx ＋π4＝k π＋π2，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k ∈Z . ∵ω>0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1ω×π4≤π4，1ω×5π4>π4，解得1≤ω<5.故选C. 13.(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，给出下列四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于原点对称； ③函数f (x )的图象过点(π，0)；④函数f (x )为R 上的单调函数.其中所有真命题的序号是________. 答案 ①②③解析因为f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，所以2π是函数f (x )的一个周期，所以①正确；因为f (－x )＝sin(－x )＋12sin(－2x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x ＝－f (x )(x ∈R )，所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，所以②正确；因为f (π)＝sin π＋12sin 2π＝0，所以③正确；因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝0，所以f (x )不可能是单调函数，所以④错误.14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2, 求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。

2023年高考数学(文科)一轮复习——同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.求值：cos 2 023π6＝________. 答案－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫337π＋π6＝－cos π6＝－32.3.若cos α＝33，则tan α＝________. 答案 ±2解析因为cos α＝33，所以sin α＝±1－cos 2 α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝±63 .故tan α＝sin αcos α＝±2.4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.答案－23解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.5.(2022·昆明诊断)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 答案 15解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15. 6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝________. 答案－113解析由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α.所以tan α＝32，从而sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝ sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113.考点一诱导公式的应用1.化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________.答案－1sin α解析原式＝cos α（－cos α）tan2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________.答案1 3解析由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sin α＝1 3，∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝1 3.3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.答案－3 3解析sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33.感悟提升 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1切弦互化例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于()A.1517B.－1517C.817 D.－817(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝( )A.－65B.－25C.25D.65答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817. (2)因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2 θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝tan 2 θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. 角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化例2 若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )A.－23B.23C.－43D.43 答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A.感悟提升 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α等于( ) A.34B.－34C.43D.－43(2)(2022·成都联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A.－32B.－52C.52D.±32(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________. 答案 (1)D (2)B (3)43或34解析 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.(2)∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18， ∴A 为钝角，∴cos A －sin A ＜0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－52.(3)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin αcos α＝1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34. 考点三同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53 B.23 C.13 D.59(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________.答案 (1)A (2)0解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.故选A. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.答案 (1)－43 (2)－33解析 (1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2 θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2 θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.1.sin 1 050°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A.3 B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( ) A.－513 B.513C.－125D.125答案 C解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2 α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125. 4.已知sin α－cos α＝54，则sin 2α＝( ) A.－916 B.－716 C.716 D.916答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝－916.5.已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.6.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为 ( )A.103B.53C.23D.－2 答案 A解析由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，则1cos 2 α＋2sin αcos α＝sin 2 α＋cos 2 αcos 2 α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103. 7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.8.(2022·太原调研)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α等于( ) A.－53 B.－35 C.35 D.53 答案 A解析由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53. 9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.答案 13解析由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－2＋1－2－1＝13.10.已知k ∈Z ，则sin （k π－α）cos [（k －1）π－α]sin [（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）的值为________. 答案－1解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos [（2n －1）π－α]sin [（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）cos （－π－α）sin （π＋α）cos α＝－sin α（－cos α）－sin α cos α＝－1. 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin [（2n ＋1）π－α]cos [（2n ＋1－1）π－α]sin [（2n ＋1＋1）π＋α]cos [（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）cos αsin αcos （π＋α）＝sin αcos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1.11.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案－74 34解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.13.已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A.－32 B.32 C.－12 D.12答案 D解析终边在直线y ＝x 上的角为k π＋π4(k ∈Z )，因为角α和β的终边关于直线y＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ).又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝12. 14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角).15.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 023)的值为________.答案－3解析因为f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，所以f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 023)＝a sin(2 023π＋α)＋b cos(2 023π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a cos α－b cos β＝－3.16.已知2θ是第一象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z .所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z .所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

高考第一轮复习--三角函数

三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1sinα/cosα=tanαtanαcotα=1 正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ，ω，φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．三角函数的概念一、知识回顾1、角的概念：角的形成，角的始边,终边，顶点．2、正角；负角；零角.3、终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝k ·360＋α，k ∈Z }．4、象限角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角.5、（请写出各象限角的集合及各轴线角的集合）6、区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角．由若干个区间构成的集合称为区间角的集合．7、角度制： 8、弧度制：9、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）10、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形11、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 ry =αsin ； rx =αcos ； xy =αtan ；yx =αcot ； xr =αsec ；. yr =αcsc .12、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）13、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 二、基本训练1、集合},42|{Z k k x x M ∈+==ππ，},24|{Z k k x x N ∈+==ππ，则( )A 、N M =B 、N M ⊃C 、N M ⊂D 、Φ=N M2、若α是第二象限角，则2α是第_____象限角，2α的范围是________________，απ-2是第_____象限角。

高考数学一轮复习资料第6讲三角函数篇之三角函数知识点概述

第一部分：基本知识点回顾第一节：三角函数概念1. 角的概念2. 象限角第I 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222ππαπα 第II 角限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,222ππαππα 第III 象限角的集合： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα 第IV 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,)1(2232παππα3. 轴线角4. 终边相同的角①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ;③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π6.弧度制下的公式扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211||22S R R α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

7. 任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，则sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=，注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基础知识（一）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 22=+αα ②商式关系；αααtan cos sin = 任意角三角函数定义单位圆定义：坐标点定义：象限角的三角函数值的符号轴线角的三角函数值三角函数线同角三角函数的基本关系式诱导公式三角函数的图像与性质定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性（最值）、对称性三角函数的图像三角函数的性质函数)sin(ϕω+=x A y 的图像五点作图法三角函数的图像变换相关概念的物理意义先相位后周期：先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）. 解三角形正弦定理余弦定理及推论解三角形的四种类型三角形的面积公式角的有关概念任意角定义分类终边相同角的概念按旋转方向分：按终边位置分：弧度制定义及规定弧度与角度的换算特殊角的度数与弧度数的对应表扇形公式③倒数关系。

高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形

数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1 1 21. 弧长公式：l I |r. 扇形面积公式：s扇形尹| r22. 三角函数的定义域：4. 同角三角函数的基本关系式：si^ tan sin2cos21cosk5. 诱导公式：把亍的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。

重要公式：cos（） cos cos sin sin6•三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）三点二线作图法（正切曲线）【注意！！！】本专题主要思想方法1. 等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2. 数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。

【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。

〖例1〗（10全国卷I文）cos300A.31-C1n .3B.— D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】cos300cos36601cos602〖例2〗（10全国卷n文）已知sin2，则cos(x 2 )3A. JB.1C.1D V5D.3993【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式，•••SINA=2/3 , cos( 2 )cos2(12sin 2) -9〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5的结果等于（）A.-B.豆C.D.迈2232【答案】B2故选B.【解原式=cos 45 - 51例4〗（10浙江文）函数f（x） sin2（2x -）的最小正周期是 ___________4最小正周期为2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。

题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。

是（）D解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x】cos 4x —1，可知其2 2 21例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在［壬，？］上为减函数的是A. y sin(2x -)B. y cos(2x )C. y sin(x 【答案】AD.cos(x —)1例2〗（09浙江文）已知 a 是实数，则函数 f （x ） 1 a sin ax 的图象不可能1例3〗为得到y sin2x 的图象A.向左平移丸个长度单位12C.向左平移4个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.B .向右平移个长度单位12D.向右平移士个长度单位6n解析：函数 y cos 2x sin 2x — —33 2sin 2xsin2 x512故要将函数y sin2x的图象向左平移丸个长度单位，选择答案A.121例4〗(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )各自作出三个函数y sin2x,63的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质•【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 Co2最小正周期为 -.3(I)求的最小正周期.〖例6〗(11浙江文)已知函数 f(x) As in (§x ) , x R , A 0 ,0 -. y f (x)的部分图像，如图所示， P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1, A).(I)求f (x)的最小正周期及 (n)若点R 的坐标为(1,0),1例5〗(09重庆文)设函数f(x )2 2(sin x cos x) 2cos x( 0)的(n)若函数y g(x)的图像是由y f(x)的图像向右平移三个单位长度得到，求y g(x)的单调增区间.解：(I)2 2依题意得————，故2 3的最小正周期为由2k 2 解得三k3依题意得：5w 3x w 2k24 2 w x w k 4 3-(kZ) 寻(kZ)\故y g(x)的单调增区间为:拿的值；PRQ —，求A 的值.题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题。

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