正项级数的敛散性判别方法探究

正项级数的敛散性判别方法探究摘 要：正项级数是一类重要的级数，对于研究一般项级数及函数项级数的敛散性有十分重要的意义．本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便．然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性．最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性．关键词：正项级数；敛散性；判别法 1 引言级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的．一般来说，部分和n S 不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定．就正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法．它需要用已知敛散性的级数作为比较对象．若用等比级数作为比较对象，就得到了柯西判别法和达朗贝尔判别法．但当极限为1时，这两个判别法失效．若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更慢的级数作为比较级数，分别以p 级数11p n n ∞=∑和级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多．此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法．与之对应的还有导数判别法． 2 正项级数的相关概念[1]定义1 设12,,,,n x x x 是可列无穷个实数，我们称它们的“和”12n x x x ++++为数项级数(简称级数)，记为1n n x ∞=∑，其中n x 称为级数的通项或一般项．定义2 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0n x ≥，1,2,3,,n =则称此级数为正项级数．定义3 取级数1n n x ∞=∑的前n 项之和，记为121nn n k k S x x x x ==+++=∑，1,2,3,,n =则称n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和，{}n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和数列．定义4 如果部分和数列{}n S 收敛于有限数S ，则称级数1n n x ∞=∑收敛，且称它的和为S ，记为1n n S x ∞==∑；如果部分和数列{}n S 发散，则称级数1n n x ∞=∑发散．3 正项级数收敛性的常用判别法 3.1 比较判别法[1]定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界．定理2 (比较判别法) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在常数0A >，成立n n x Ay ≤，1,2,3,,n =则(1) 当1n n y ∞=∑收敛时，1n n x ∞=∑也收敛；(2) 当1n n x ∞=∑发散时，1n n y ∞=∑也发散．推论 (比较判别法的极限形式) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，如果n x 与ny 是同阶无穷小量，即limnn nx l y →∞=，则 (1) 当0l <<+∞时，1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0l =且级数1n n y ∞=∑收敛时，级数1n n x ∞=∑也收敛；(3) 当+l =∞且级数1n n y ∞=∑发散时，级数1n n x ∞=∑也发散．3.2 柯西判别法与达朗贝尔判别法根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性．柯西判别法与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的． 3.2.1柯西判别法及其推广[2]定理3 设1n n x ∞=∑r =，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．推论1 (广义柯西判别法1) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim an n r →∞=(0a >)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有an r r εε-<+ (1)对于任意常数b ，总存在2N ，当2n N >时，有0an b +> (2)取{}12max ,N N N =，当n N >时，式(1)和式(2)同时成立．(1) 当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+<，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑收敛，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+>，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑发散，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑发散．(3) 当1r =时，取1n p x n=，那么对任意0a >和常数b ，有()1lim lim1an p an b n n n+→∞→∞==．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散．推论2 (广义柯西判别法2) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim n r →∞=(其中1m >且m N +∈)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数N ，当n N >时，有r r εε-<<+当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有mn n x q <．因为()1mn nqq m <>，又正项级数1n n q ∞=∑收敛，由比较判别法知，级数1nn x∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n x q>>，那么lim0n n x →∞≠，所以级数1n n x ∞=∑发散． 当1r =时，取1n p x n =，那么，lim lim 1ppn n n →∞→∞⎛=== ⎝．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散． 例1 讨论下列级数的敛散性(1)211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (2)2131n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑．解 (1)若采用柯西判别法，需要计算211lim 31n nn n n -→∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，较为繁琐． 而由广义柯西判别法1知，21lim lim0131n n n →∞→∞==<-，该级数收敛． (2)因为1lim lim lim1313n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．3.2.2 达朗贝尔判别法及其推广定理4 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，且1limn n nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散；(3) 当1r =时，无法判断级数1n n x ∞=∑的敛散性．推论 (广义的达朗贝尔判别法)设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，limn kn nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散．证 (1) 当1r <时，对102rε-=>，存在N ，当n N >时，有 12n k n x rr x ε+--<=即11122n k n x r rr x +-+<+=< 设112r q +=<，则n k nxq x +≤，即n k n x qx +≤，从而 1(1)1(1)11m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤ 2(1)2(1)22m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤(1)(1)m mk k m k k k m k k k x x qx q x +-++-+=≤≤其中m 是任意正整数，可见，对1,2,,i k =，都有lim 0mk i m x +→∞=．考虑级数的部分和序列(1)1111111()()()1(1)()()11()1m k k k k k mk mk k m mk k k S x x x x x x q q q x x x x qx x q++++++=+++++++++-≤+++++=++-≤++-即{}(1)m k S +有上界，从而(1)lim m k m S +→∞存在，设(1)lim m k m S S +→∞=．注意到11212(1)12(1),,,mk mk mk mk mk mk mk mk k mk mk mk mk k S S x S S x x S S x x x ++++++-+++-=+=++=++++故12(1)lim lim lim lim mk mk mk k mk k m m m m S S S S S +++-+→∞→∞→∞→∞=====，即lim n n S S →∞=，所以1n n x ∞=∑收敛．(2) 如果1r >，则从某项开始，00n k n x x +≥，此时lim 0n n x →∞≠，故原级数发散．例2 讨论下列级数的敛散性． (1)(1)13nn n ∞---=∑； (2)2sin cos 221n n n n eππ⎧⎫∞+-⎨⎬⎩⎭=∑．解 (1) 取3k =，由于3(3)(1)3(1)31lim lim 193n n n n n n n nx x +-+--+---→∞→∞==<， 所以原级数收敛．(2) 取 4k =，由于(4)(4)2sincos (4)22442sin cos 221limlim1n n n n n n n n n nx ex eeππππ++⎧⎫+-+⎨⎬⎩⎭+⎧⎫→∞→∞+-⎨⎬⎩⎭==<， 所以原级数收敛．引理[3]设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在自然数N ，当n N >时，不等式22n n n n x y x y ≤与212111n n n n x yx y ++++≤成立，则 (1) 若级数1n n y ∞=∑收敛，则级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 若级数1n n x ∞=∑发散，则级数1n n y ∞=∑发散．证 由已知条件，存在自然数N ，当n N >时，不等式22n i n in i n ix x y y ++++≤()0,1i = 成立．不妨取自然数2p N N =>，并令max i N i p i x M y ≤<⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．当N n p ≤<时，max ni N i p n i x x M y y ≤<⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； 当n p ≥时，则唯一存在一个自然数1n ，使1122n n i p N =+≥=()10,1i =，故11n i N +>．若11n i p +<，则1111111122n i n i n n n i n i x x x M y y y ++++=≤≤；若11n i p +≥，则唯一存在一个自然数2n ，使1222n n i =+()20,1i =，其中22n i N +>，于是有11222211222222n i n i n i n i n i n i x x x y y y ++++++=≤，且2211n i n i +<+．由于n p ≥，经过有限步，假设第r 步，必有r r n i p +<，于是22r r r rr r r rn i n i n n n i n i x x x M y y y ++++≤≤≤． 由定理2即可证明．定理5 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，如果2211limlim n n n n n n x xx x ρ+→∞→∞+==，那么当12ρ<时，级数1n n x ∞=∑收敛；当12ρ>时，级数1n n x ∞=∑发散[4]．证 (1) 当12ρ<时，可以选取0ε>，使得12r ρε+=<，根据极限定义，应有正整数1N ，使当1n N ≥时，有212n n x r x ρε<+=<与21112n n x r x ρε++<+=<．又因为102r <<，可选实数1s >，使1122s r <<． 令1n s y n =，则级数1n n y ∞=∑收敛，且21111lim lim 212sn s n n n y n y n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 由极限的性质，存在2N ，使得当2n N ≥时，有211n n y r y ++>成立． 取{}12max ,N N N =，则当n N ≥时，212111n n n n y x r y x ++++>>，2212n n s n ny x r y x =>> 根据引理，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当12ρ>时，选取0ε>，使得12ρε->，根据极限定义，应有正整数N ，使当n N ≥时，有212n n x x ρε>->与21112n n x x ρε++>->． 令11n y n =-，则级数1n n y ∞=∑发散，且2211221n n n n x y n x y n ->>=-，212112n n n n x y x y ++>= 根据引理，级数1n n x ∞=∑发散．例3 讨论下列级数的敛散性．(1)2n ∞=；(2)1n ∞=．解 (1) 因为2222n n n x x n ==()222121212111n n n x n x n n ++++⎛⎫== ⎪+⎝⎭+则22111limlim 02n n n n n n x x x x +→∞→∞+==<由定理5可知，级数2n ∞=收敛．(2) 因为()2ln 2ln 2ln ln n n n n x x nn ==()()()211ln 21ln 21ln 1ln 1n n n n x x n n ++++==++则22111limlim 02n n n n n n x x x x +→∞→∞+==<由定理5可知，级数n ∞=收敛．3.2.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法的关系性质 若1limn n nx r x +→∞=()0n x >，则n r =．证 令11y x =，1nn n x y x -=()2,3,n =，则0n y >()1,2,n =，且1lim limnn n n n x y r x →∞→∞-==，可以推出12lim nn n n n n y y y r x →∞=⋅⋅==．定理6 设1n n n a b ∞=∑为正项级数，0n a ≥，0n b ≥，若n a =，1limnn n b b b →∞-=，则当1ab <时，级数1n n n a b∞=∑收敛；当1ab >时，级数1n n n a b ∞=∑发散．证由上述性质可知，1limnn n b b b →∞-=，可得n b =．于是.n n n ab ==由柯西判别法，便可得证．例4 判定下列级数的敛散性．(1)()21!121n n n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭+∑； (2)221101!25nn n n n n a n n n n ∞=⎛⎫++⋅ ⎪-+⎝⎭∑()0a >．解 (1) 设21n n n a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()!21n n n b n =+，则1lim nn n n e n →∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1211lim lim 21212nn n n n b n n b n n e →∞→∞--⎛⎫== ⎪-+⎝⎭．由于11122e e ⋅=<，根据定理6知，原级数收敛． (2) 设2210125nn n n a n n ⎛⎫++= ⎪-+⎝⎭，!n n n a n b n =，则22101lim 125n n n n n n →∞++==-+()()11111!1lim lim lim 1!n n n n n n n n n n n b a n n aa b n a n n e---→∞→∞→∞---⎛⎫=⋅=⋅=⎪-⎝⎭． 根据定理6，当a e <时，原级数收敛；a e >时，原级数发散． 3.3 积分判别法和导数判别法定理7 (积分判别法) 对于正项级数1n n x ∞=∑，设{}n x 单调递减，作单调递减的连续减函数()f x ()()0f x ≥，使()n x f n =，则级数1n n x ∞=∑与广义积分()1f x dx +∞⎰同时收敛，同时发散．定理8 (导数判别法) 设()f x 在0x =的某邻域内有定义且()0f x ≥，1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x ''在0x =处存在，则级数1n n x ∞=∑收敛的充分必要条件是：()()000f f '==．证 不妨设对一切n ，都有1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x ''在0x =处存在，易知()f x 在0x =处连续，且在0x =的某邻域内可导．充分性：由()()000f f '==，令01λ<<，则有()()()()()()1110000001lim lim lim lim 0111x x x x f x f x f x f f x x x x x λλλλλλλ++++--+→→→→'''''-====+++ ()1lim01nn x n λ+→∞⇒=，又级数111n nλ∞+=∑收敛，由比较判别法可知级数1n n x ∞=∑收敛．必要性：设级数1n n x ∞=∑收敛，则()10lim lim 0n n n f f x n →∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭．如果()00f a '=≠，则()()()()000limlim 00x x f x f x f f a x x →→-'===-，于是有 1lim lim 011n n n f x na n n→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭==≠．由级数11n n ∞=∑发散，知级数1n n x ∞=∑发散，与已知条件矛盾，故假设不成立，即()00f '=．例5 讨论级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑的敛散性，其中0p >为常数． 解 取1(),0ln (lnln )pf x p x x x =>．它在[3,)+∞上非负，单调减少且连续． 当1p =时，()31lim lim[ln ln ln ln ln ln3]ln ln ln xx x dt x t t t →∞→∞=-=+∞⎰；当1p ≠时，()()()()113301,11lim ln ln (ln ln3)11.ln ln ln 1xp ppx p dt x pp t t t p +∞--→∞⎧+∞<<⎪==⎨->⎪-⎩⎰，,故级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑，当1p >收敛，当01p <≤时发散． 例6 判别级数11sin p n n n π∞=∑()1p ≥的敛散性． 解 令()sin p f x x x π=，则()00f =． 又()1sin cos p p f x px x x x πππ-'=+，()00f '=，故()102,1sin cos 00lim 0,1p p x p px x x x f p x ππππ-→=⎧+-''==⎨>⎩即()f x 在0x =处二阶可导，由导数判别法知级数11sin pn nn π∞=∑收敛． 3.4 拉贝判别法与高斯判别法[5]柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一等比级数相比较的想法得到的．也就是说，如果给定级数通项收敛于零的速度比某收敛的等比级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，则无法判断．拉贝以p 级数11pn n∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯以级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了高斯判别法[2]．定理9 (拉贝判别法) 设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n x n r x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．定理10 (高斯判别法) 如果正项级数1n n x ∞=∑满足条件1111ln ln n n x x n n n n n βο+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()n →+∞ 则当1β>时级数收敛；1β<时级数发散．证 (1) 当1β>，取α适合1βα>>，我们证明，当n N ≥时，有不等式()ln n M x n n α≤为此目的，我们注意111ln 1n n n ο⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1ln 1ln 11111ln ln ln ln n n n n n n n n ο⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=++ ⎪⎝⎭，()ln 111ln ln ln n n n n n n ααο+⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 11111ln ln ln n n n n n n n n n ααο+⎛⎫+⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据已知条件，就有()1ln 111ln ln ln n n n x n x n n n n n n αβαο++⎛⎫+-⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()n →+∞ (*)因为0βα->，故当n N ≥时，上式取正值，即()()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x αα+>++．这说明当n 充分大时，数列(){}ln n n n x α是单调减的，因而有界：()ln n n n x M α<，即()ln n M x n n α<从而级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1β<时，在式(*)中取1α=就有()1ln 1111ln ln ln n n n x n x n n n n n n βο+++-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭故当n 充分大时有()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x +<++，即数列(){}ln n n n x 是单调增的．于是当n N ≥时有()()ln ln n N n n x N N x K ≥=即ln n Kx n n≥， 所以级数1n n x ∞=∑发散．推论 设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim ln 11n n n x n n r x →∞+⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．例7 设20a +>，试讨论级数11212223231na a aa an a+++++++++++的敛散性．解 当0a =时，原级数可化为11n +∑，此时级数发散． 当0a ≠时， (1) 采用拉贝判别法11lim 1lim 12n n n n x a n n a x n a +→∞→∞⎛⎫+-==+ ⎪++⎝⎭ 则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．(2) 采用高斯判别法()()1,01lim ln 11lim ln lim ln ,01n n n n n a x an n n n a n a x n →∞→∞→∞+⎡⎤+∞>⎧⎛⎫-⎪--===⎨⎢⎥ ⎪-∞<+⎪⎝⎭⎩⎣⎦则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．注 虽然高斯判别法要比拉贝判别法更加精密，但是其运算过程也相对复杂．从理论上讲，按照这个思路进行下去，还可以找到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂． 4 结束语判断正项级数敛散性的方法是多种多样的，文中仅列出了一些常用的判别方法．在使用的过程中，需要根据不同题目的特点，选取适宜的判别方法进行判断．同时，本文选取了一些典型例题，用以检验相关理论的有效性．正项级数敛散性判别法也可用于判定负项级数及一般项级数的绝对收敛性，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中． 参考文献[1] 陈纪修等．数学分析(下册)[M]．北京，高等教育出版社．2004：15-25． [2] 刘三阳，李广民．数学分析十讲[M]．北京，科学出版社．2011：131-145． [3] 李铁烽．正项级数判敛的一种新的比值判别法[J]．数学通报，1990(1)：46-47． [4] 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This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between them, to determine their strength. Finally, combining some typical examples to verify the effectiveness of discriminance in this article.Keywords：series of positive terms; convergence and divergence; discriminance。