(陕西专用)高考数学 专题阶段评估模拟卷1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 文

专题阶段评估(一)集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉林白山二模)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠02．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－13．(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π34．(2013·山东泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab5．(2013·重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A ．52B ．72C ．154D ．1526．(2013·辽宁大连二模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．07．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)8．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 使得f x 1f x 2＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )＝x 3，x ∈[1,2]，则函数f (x )＝x 3在[1,2]上的几何平均数为( )A ． 2B ．2C ．4D ．2 29．(2013·北京东城一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝e x(x ＋1)，给出下列命题：①当x ＞0时，f (x )＝e x(1－x )；②函数f (x )有两个零点；③f (x )＞0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)；④∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜2.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．410．(2013·山东德州)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．(2013·上海静安二模)函数g (x )＝x 2－2 013x ，若g (a )＝g (b )，a ≠b ，则g (a ＋b )＝________.12．(2013·安徽“江南十校”高三联考)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝________.13．(2013·山东龙口一模)设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b ＞0是f (x )＞0在[0,1]上恒成立的________条件．(填充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)14．已知集合A 、B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：15．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称函数f (x )为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是R 上的1高调函数；②函数f (x )＝sin 2x 为R 上的π高调函数；③如果定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，＋∞)．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x ＜－x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2≤x ≤12x ∈R5x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)(2013·湖北武汉市武昌区高三联合考试)已知函数f (x )＝ln x ＋1x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)＜0成立，求实数m 的取值范围．19.(本小题满分13分)(2013·湖南五市十校高三第一次联合检测)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a ＞2c ＞2b ，求证：(1)a ＞0，且－3＜b a ＜－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|＜574.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－ax 2－ax ，g (x )＝2x 2＋4x ＋c .(1)试问函数f (x )能否在x ＝－1时取得极值？说明理由；(2)若a ＝－1，当x ∈[－3,4]时，函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点，求c 的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝ax 2－ln x ，x ∈(0，e]，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．详解答案 一、选择题1．D “若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.2．C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 是偶函数但单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．A 由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.4．C 因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，即b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C.5．A 由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)得(x ＋2a )(x －4a )＜0(a ＞0)，即－2a ＜x ＜4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.故选A.6．A 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的区域，如图中阴影部分，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的纵截距最大，此时z ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3，故B (－6，3)，则z min ＝－6＋3＝－3，选A.7．B 由f (x )＞0得32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x ＋23x ，而3x＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号 )成立，∴k ＋1＜22，即k ＜22－1.8．D 令x 1x 2＝m ，且1≤x 1≤2,1≤x 2≤2，则x 2≤x 1x 2≤2x 2，即x 2≤m ≤2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2≥1m1≤2，可得m ＝2，故C ＝f x 1f x 2＝x 31x 32＝m 3＝2 2.9．B 根据函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝e x(x ＋1)，可知x ＞0时的解析式为f (x )＝－e －x(－x ＋1)，①不正确；函数有三个零点，②不正确；命题③④成立．选B.10．A 因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′ (x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π3＜20.2＜log 39，所以b ＞a ＞c ，选A.二、填空题11．解析： 由g (a )＝g (b )得a 2－2 013a ＝b 2－2 013b ，所以a ＋b ＝2 013，g (a ＋b )＝g (2 013)＝0.答案： 012．解析： 由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x ＜0或x ＞1}，∴(∁R A )∩B ＝(1,2]．答案： (1,2]13．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧f＞0，f ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋b ＞0.∴a ＋2b ＞0.而仅有a ＋2b ＞0，无法推出f (0)＞0和f (1)＞0同时成立． 答案： 必要但不充分14．解析： 由给出的定义知集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 011，2 012，－2 012,2 013}．答案： {－2 011,2 012，－2 012,2 013} 15．解析： 对于①，∵x ∈R ，∴x ＋1∈R .又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，即f (x ＋1)＜f (x )． ∴①错．对于②，∵x ∈R ，∴x ＋π∈R .∴f (x ＋π)＝sin 2(x ＋π)＝sin 2x ＝f (x )． ∴②正确．对于③，∵f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数， ∴f (x ＋m )≥f (x )即(x ＋m )2≥x 2，∴2mx ＋m 2≥0对于x ∈[－1，＋∞)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0m －2x max或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0m －2x min.∴m ≥2，即③正确． ∴正确命题是②，③. 答案： ②③ 三、解答题16．解析： (1)f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2ax ·1ax＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ＝1a 时，f (x )取得最小值为b ＋2.(2)由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32，① f ′(x )＝a －1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32，②由①②得：a ＝2，b ＝－1.17．解析： (1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1＞1，故m ＞2或m ＜－ 2. 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤m ≤1－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ＞1或m ＜－3m ＜－2或m ＞2，解得m ＜－3或m ＞ 2.故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．18．解析： (1)f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)． 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0,1)． (2)依题意，ma ＜f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e.∴ma ＜1e ，即ma －1e ＜0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ×1－1e ≤0，m －－1e≤0.解得－1e ≤m ≤1e.∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，1e .19．解析： (1)由已知得f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0，又3a >2c >2b ，∴a ＞0，b ＜0.又2c ＝－3a －2b ，∴3a ＞－3a －2b ＞2b ，∵a ＞0，∴－3＜b a ＜－34.(2)由已知得f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ， ①当c ＞0时，f (0)＝c ＞0，f (1)＝－a2＜0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点； ②当c ≤0时，f (1)＝－a2＜0，f (2)＝a －c ＞0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综上所述，函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点． (3)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－ba，∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－b a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋22＋2，∵－3＜b a ＜－34，∴2≤|x 1－x 2|＜574.20．解析： (1)由题意f ′(x )＝x 2－2ax －a ，假设在x ＝－1时f (x )取得极值，则有f ′(－1)＝(－1)2－2a (－1)－a ＝0，解得a ＝－1.而此时f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，所以函数f (x )在R 上为增函数，函数无极值． 这与f (x )在x ＝－1处有极值矛盾，所以f (x )在x ＝－1处无极值． (2)设f (x )＝g (x )，则有13x 3－ax 2－ax ＝2x 2＋4x ＋c ，所以c ＝13x 3－x 2－3x .设F (x )＝13x 3－x 2－3x ，则F ′(x )＝x 2－2x －3，令F ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，F ′(x )，F (x )的变化情况如表所示：当x ＝－1时，F (x )取得极大值F (－1)＝53；当x ＝3时，F (x )取得极小值F (3)＝－9，而F (－3)＝－9，F (4)＝－203. 如果函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点，则函数F (x )与y ＝c 有两个公共点，所以－203＜c ＜53或c ＝－9. 21．解析： (1)∵f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，x ∈(0，e]，令f ′(x )＞0，得22＜x ＜e ， f ′(x )＜0，得0＜x ＜22， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，e ，单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝12－ln 22＝12＋12ln 2.无极大值． (2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax 2－ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x.①当a ≤0时，x ∈(0，e]，所以f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，e]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (e)＝a e 2－1＝3，a ＝4e2(舍去)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ 12a， (ⅰ)当0＜12a ＜e ，即a ＞12e 2时， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递减， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12a ＝12－ln 12a ＝3，得a ＝e 52. (ⅱ)当12a ≥e，即0＜a ≤12e2时，x ∈(0，e]时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(0，e]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (e)＝a e 2－1＝3，a ＝4e2(舍去)，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e52，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.。