自动控制理论 翁思义第二章 自动控制系统的数学模型

上式中Y(s)输出量的拉氏变换；R(s)输入量的 拉氏变换； G(s) 为 系统或环节的传递系数。
传递函数的两种表达形式
a.传递函数的零极点表示形式为
b0 s m d m1 s m1 d1 s d 0 G( s) K n n 1 a0 s cn1 s c1 s c0
t s 0
几个重要的拉氏变换
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinωt F(s)

s
(s2 2 )
(s2 2 )

1(t)
t
1/s
cosωt
2
1s
at
e sin t
at
( s a)2 2
sa ( s a)2 2
e
1/(s+a)
st F ( s) L f t f ( t ) e dt 0 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f t L1 F (s)
2、性质：
L[f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) ⑴线性性质：
例题: 求下图所示电网络的传递函数G(S)。
C1 R1 Z1
u1
R2 C2
u2
U1
Z2
U2
解： ⑴ 将电源等效为复阻抗电路 ⑵ Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+1）/C2S； ⑶ G(S) =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2）
C 2 lim(s 3 )
s 3
s2 3 2 1 (s 1 )(s 3 ) 3 1 2
12 12 F(s) s1 s 3
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3 s2 解. ( s 2 4 s 3) ( s 2)
例 编写RC 电路微分方程
（1）确定输入、输出量为ui 、u0 （2）根据电路原理列微分方程
du 0 ui Ri u0 , i C dt
（3）消去中间变量，可得电路微分方程
du 0 RC u 0 ui dt
这是一个线性定常一阶微分方程。
[例]：写出RLC串联电路的微分方程。
[解]：据基尔霍夫电路定理：
0
Y ( s) k X ( s)
比例环节又称为无惯性环节。k为放大系数。实例：分压器， 放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
典型电路
R2 xc xr Kxr R1
X c (s) KX r (s)
X c ( s) W (s) K X r ( s)
二、积分环节：
t
时域方程：y (t ) k
⑶积分定理：（设初值为零） F (s) L[ f (t )dt ] s st sT ⑷时滞定理：L[ f (t T )] 0 e f (t T )dt e f (s)
f (t ) lim sF ( s ) ⑸初值定理：lim t 0 s
⑹终值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
ui ( s ) uo ( s ) 1 R Cs
ui
uo
uo ( s ) 1 ui ( s) RCs
三、微分环节 ①理想微分
y( t ) K d du( t ) Y( s ) Kd s dt U( s )
s 2 F ( s ) sf (0) f (0) 4 sF ( s ) 4 f (0) 5 F ( s ) 0 s5 s5 s23 F (s) 2 2 s 4 s 5 ( s 2) 1 ( s 2) 2 1 s2 3 ( s 2 ) 2 1 ( s 2) 2 1 y e 2t cost 3e 2t sin t
x(t )dt, t 0
0
Y ( s) k 1 传递函数：G ( s) X ( s) s Ts
y(t )
y kt
S平面
j
x(t ) 1(t )
0
t
Re
0
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ” 表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
积分环节实例：
C
R
F(s) s 2 4s 3 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
1
( s 1)(s 3)
1
12 12 s1 s 3
三、传递函数 1、传递函数的定义： 线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变 换与输入信号的拉氏变 换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: d n xc d n1 y dy d mr a0 dt n a1 dt n1 an1 dt an y b0 dt m bm r 其中 y 为系统输出量，r为系统输入量,m≤n 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：
（2） 无源网络的传递函数求取------复阻抗法 无源网络通常由电阻、电容和电感组成。 复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有
电阻R的复阻抗为: ZR=R
电容C的复阻抗为: ZC=1/CS 电感L的复阻抗为: ZL=LS
电阻、电容、电感的复阻抗
+ i(t) R
u(t) R
–
u(t)= i (t)· R
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
m
d 2 x(t ) dt 2
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
U( s ) R I (s )
i(t)=
u(t )
+
i(t)
C –
u(t )
+ i(t) L
1 u(t)= C i(t)dt U(s ) 1 I(s ) Cs
1 i(t)=L
i(t)=
du ( t ) C dt
u(t )
–
u ( t )dt
d i (t) L u(t)= dt
U(s ) Ls I (s )
L R
ui
i
C
uo
L
uo
ui
输入
输出
u
di 1 Ri idt ui ① dt C 1 o idt ② C

duo d 2uo 由②： ，代入①得：LC 2 iC dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
RC
duo u o ui dt
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列
第二章自动控制系统的数学模型
微分方程、拉氏变换和传递函数 典型环节及其传递函数
电气环节的负载效应及其传递函数
系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式
常规控制器的基本控制规律、动态特性和实现方法
引
言
u(t)
数学模型的定义:
y(t)
系统
描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式 类型：动态模型、静态模型
=（R1C1S+1）（R2C2S+1）/[（R1C1S+1）（R2C2S+1）+ R1C2S]
注：请用“传递函数定义法”求解该例题。
第二节、典型环节及其传递函数 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等 多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。 时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性 研究系统的零极点分布。 一、比例环节： 时域方程： y(t ) kx(t ), t 传递函数： G ( s)
e at cos t
3、微分方程的求解
方法步骤 （1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换； （2）求出输出量的拉氏变换表达式； （3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解.
例2：求解微分方程
y 4 y 5 y 0, y(0) y(0) 1
微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零）
b.传递函数的时间常数表示形式
(s z )
*
m
Z i 传递函数的零点
Pj 为传递函数的极点
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
( i s 1) bm f m s m f m1 s m1 f1 s 1 i 1 G(s) K n an en s n en1 s n1 e1 s 1 (T s 1)
写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
m d 2 x(t ) dt
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t ) dx(t ) Kx(t ) dt
F (t ) f
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
m
d 2 x(t ) dt 2
这个推导属配方法和查表法，心中要有公式
例 已知 F ( s ) 解. F(s)
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s 4s 3
s2 C C 1 2 (s 1 )(s 3 ) s 1 s 3
C1 lim(s 1 )
s 1
s2 1 2 1 (s 1 )(s 3 ) 1 3 2
例2 RLC电路 取ur为输入，uc为输出,系统微分方程为：
d 2uc du LC 2 RC c uc ur dt dt