高二数学(理)寒假作业(七)随机变量及其分布
2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点(含答案)
解 (1)设乙厂生产的产品为 m 件，依题意得14＝ 5 ， 98 m
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件，
∴估计乙厂生产的优质品为 35×2＝14(件)． 5
(3)依题意，ξ可取 0,1,2，
则 P(ξ＝0)＝C33＝ 1 ，P(ξ＝1)＝C23C12＝ 6 ，
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB． nA
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1 8
B．1 4
C．2 5
D．1 2
【答案】B
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 7 ＋ 1 ＝ 8 ． 15 15 15
[变式探究 2] 若本例中的 X 表示取到的粽子的种类，求 X 的分布列．
解 由题意知 X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C33＋C35＝1＋10＝ 11 ，
C310
＝2×3×
1－1 3
＋2×
1－3 4
×1＋
1－2 5
×3×1＝23．
54
5
3
4 3 60
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A －B
－C ∪ －A B －C ∪ －A
－B C) ＝ 2 ×
1－3 4
×
1－1 3
＋
1－2 5
×3×
1－1 3
＋
5
4
1－2 5
×
第七章 随机变量及其分布 单元综合测试卷(原卷版)
第七章 随机变量及其分布 单元综合测试卷一、单选题1．（2022·湖南·高二课时练习）某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ）A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元2．（2022·全国·高二单元测试）计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345X a a a a a =++++，当程序运行一次时，3X =的概率为（ ）．A ．6581B ．2527C ．827D ．793．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.754．（2022·北京八中高二期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =（ ）A ．112B ．29 C ．13 D ．235．（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X 通常被认为服从正态分布．若某物理量做n 次测量，最后结果的误差，Xn ~N (0，2n)，则为使|Xn |≥14的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ） 6．（2022·山东·日照青山学校高二期末）已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（ ）A ．0.01245B ．0.05786C ．0.02865D ．0.037457．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，()211,XN μσ，()222,Y N μσ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B ．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C ．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D ．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值8．（2022·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID -19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（） A ．61 B 6C 3D ．31 二、多选题9．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则1()2D X = B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ== D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=10．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）A ．1A 、2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=11．（2022·全国·高三专题练习）已知X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则下列说法正确的是（ ）A ．E (Y )＝2B ．E (Y )＝6C ．D (Y )＝2.4 D ．D (Y )＝5.612．（2021·全国·高二单元测试）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()20.9372,0.0139X N ~，则下列说法正确的是（ ）（附：若()2,X N u σ~，则()2295.4%P X μσμσ-≤≤+≈，()3399.7%P X μσμσ-≤≤+≈，500.9770.3124≈）A ．()0.90.5P X ≤<B ．()()0.4 1.5P X P X <>>C ．()0.97890.0015P X >≈D ．假设生产状态正常，记Y 表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于2μσ+的数量，则()10.3124P Y ≥≈三、填空题13．（2022·山东德州·高二期末）某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X 服从正态分布()2120,N σ，若()1001200.495P X ≤≤=，则成绩在140分以上的大约为______人．14．（2022·全国·高三专题练习）现有A ，B 两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中每人答对的概率分别为23，23，12，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =___________.15．（2021·全国·高二学业考试）将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的均值为______．16．（2021·全国·高二课时练习）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X 的标准差为______．四、解答题17．（2022·辽宁大东·模拟预测）制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.十八世纪中叶开启工业文明以来，世界强国的兴衰史和中华民族的奋斗史一再证明，没有强大的制造业，就没有国家和民族的强盛.打造具有国际竞争力的制造业，是我国提升综合国力、保障国家安全、建设世界强国的必由之路.某企业制造的一批零件，分为三个等级：一等、二等、三等，现从该批次零件中随机抽取500个，按照等级分类标准得到的数据如下： 等级 一等 二等 三等个数 150250 100(1)若将样本频率视为概率，从这批零件中随机抽取6个，求恰好有3个零件是二等级别的概率；(2)若采用分层抽样的方法从这500个零件中抽取10个，再从抽取的10个零件中随机抽取3个，X 表示抽取的一等级别零件的数量，求X 的分布列及数学期望()E X .18．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 周末体育锻炼时间()min t [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 频率0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[)40,60内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[)50,60内的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19．（2022·河南·模拟预测（理））某大型超市为调查2022年元旦购物者的消费情况，从当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取100名进行调查，得到如下统计表： 消费金额（单位：元）[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,250 [)250,+∞ 顾客人数（单位：人） 10 15 35 25 15(1)从这100名购物者中随机抽取1人，估计该人消费金额低于200元的概率；(2)以频率估计概率，从元旦当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取3人，记消费金额不低于200元的购物者人数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（2021·重庆一中高三阶段练习）为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进人实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为12、23、34、25，且假定每人能否完成实验相互独立. (1)求实验能被完成的概率；(2)根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.21．（2022·全国·高二课时练习）2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg ，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg )的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg .称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg )的平方和为117.附：（1）数据1t ，2t ，…n t 的方差()22221111n n i i i i s t t t nt n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑，（2）若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9973P X μσμσ-≤≤+=.(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z 和方差2s ；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X 服从正态分布()2,N μσ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为2σ的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望.22．（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望； （2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s ，经计算2192.44s =.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？192.4413.9，()0.6827P X μσμσ-<+=，()220.9545P X μσμσ-<+=，()330.9974P X μσμσ-<+=.。
高中数学第七章随机变量及其分布：超几何分布课后提能训练新人教A版选择性必修第三册(含答案)
高中数学新人教A 版选择性必修第三册：第7章 7.4.2A 级——基础过关练1．(多选)袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，则( ) A ．都不是白球的概率为110B ．恰有1个白球的概率为310C ．至少有1个白球概率为910D ．至多有1个白球概率为710【答案】ACD 【解析】P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910，P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A ．C 116C 24C 320B ．C 216C 24C 320C ．C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对【答案】D 【解析】至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320或C 320－C 34C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层随机抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A ．15 B ．35 C ．310D ．110【答案】B 【解析】由于是分层随机抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2(人)．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.4．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里各取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【答案】C 【解析】当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球两种情况，所以P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112.5．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是( ) A ．C 12C 948C 1050B ．C 12C 950C 1050C ．C 12C 1050D ．C 948C 1050【答案】A 【解析】50件产品中，次品有50×4%＝2(件)，设抽到的次品数为X ，则X 服从N ＝50，M ＝2，n ＝10的超几何分布，其中抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.6．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．【答案】0.7 【解析】5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有(C 12C 13＋C 22)种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 7．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出2张，恰好有1张A 的概率是________． 【答案】32221 【解析】因为一副扑克牌中有4张A ，所以所求概率为C 14C 148C 252＝32221.8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________．【答案】37 【解析】设选出4人中，会说日语的人数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝6，n＝4的超几何分布．∴有两人会说日语的概率为P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37.9．盒中有3个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求ξ的分布列．解：ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.∴ξ的分布列为10.在装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：由题意知，随机变量X 的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X＝2)＝C 23C 02C 25＝310(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝310.故随机变量X 的概率分布列为E (X )＝0×110＋1×35＋2×10＝5.B 级——能力提升练11．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8【答案】B 【解析】设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 12．一个盒子里装有除颜色外其他完全相同的黑球10个、红球12个、白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0＜X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【答案】B 【解析】由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B ．13．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)等于( )A ．715 B ．815 C ．1415D ．1【答案】C 【解析】由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，故P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，于是P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.14．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率【答案】B 【解析】A 中“恰有1个是坏的概率”为p 1＝C 13C 37C 410＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为p 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为p 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为p 4＝p 1＋p 2＋p 3＝2930，故选B ．15．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．【答案】37 【解析】依题意，所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 135C 250＝37.16．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．【答案】47245 【解析】设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 045C 250＝949＋2245＝47245⎝ ⎛⎭⎪⎫或p ＝1－C 245C 250＝47245. 17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列．解：(1)X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y ＝5,10,15.P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为18．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A －表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P (A )＝1－P (A －)＝1－C 13C 12C 15C 15＝1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3， 且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310.则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×40＋3×120＝10.。
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．【答案】－1,0,1,2,3【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的所有可能取值为－1,0,1,2,3.2.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件；X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．【答案】(1) 0.2 (2) X的分布列为【解析】解：(1)设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝.P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X0123.已知～，且，则等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵～，∴，∴，故选A【考点】本题考查了二项分布点评：熟练掌握二项分布列的期望、方差公式是解决此类问题的关键，属基础题4.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【答案】（1）的分布列为：01 2 345（2）的分布列为：012345（3）【解析】（1）由于～，则，所以的分布列为：（2）也就是说{前个是绿灯，第个是红灯},也就是说（5个均为绿灯)，则，；所以的分布列为：012345（3）所求概率【考点】本题考查了随机变量的分布列点评：分布列的求解分三步：确定随机变量的取值有那些，求出每种取值下的随机事件的的概率，列表对应即为分布列5.设随机变量~，又，则和的值分别是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】因为随机变量~，所以，，所以=，=。
第七章 随机变量及其分布【章末复习】-2022-2023学年高二数学【单元通关复习】(人教A版201
2 重点题型
反思感悟 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算 较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件， 求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
跟踪训练1 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ 解 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表 示“两颗骰子向上的点数之和为7”， 则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”， 则 P(B)＝366＝16，P(AB)＝326＝118，
解 甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8， 所以推荐小王去乙公司应聘.
反思感悟 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值 和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可. (2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比 较后得到结论.
当 a＝38 时，X＝38×6＝228，P＝550＝110； 当 a＝39 时，X＝39×6＝234，P＝1500＝15； 当 a＝40 时，X＝40×6＝240，P＝1500＝15； 当 a＝41 时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2500＝25； 当 a＝42 时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝110，
送餐单数 38 39 40 41 42
天数
10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
随机变量及其分布函数习题
第2章 随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。
解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。
然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。
2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。
在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。
解：X 的可能值为3，4，5，6，7。
在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。
}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。
第七章 随机变量及其分布(章末小结课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
方法总结 求离散型随机变量的均值、方差的步骤： 明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 求出随机变量取各个值的概率； 列出分布列； 用期望、方差公式求解； 标准差代入公式 求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是( ).
方法总结 正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向 ， ， 这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（ ， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.
2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布(附答案解析)
第1页（共21页）2022-2023学年高二下数学：随机变量及其分布一．选择题（共8小题）1．（2021春•河西区期中）已知随机变量的分布列如表：X012P0.2a b若E （X ）＝1，则D （X ）＝（）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.62．（2021秋•徐州期中）某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X 服从正态分布N （60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973．）A ．12B ．23C ．46D ．1593．（2021秋•孝感期中）在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛中甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，已知比赛规则是3局2胜制，则乙获得冠军的概率为（）A ．0.288B ．0.352C ．0.648D ．0.2564．（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．（2020春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村6．（2021春•邯郸期中）随机变量ξ的概率分布列为，k ＝1，2，3，4，其中c 是常数，则P （ξ≤2）的值为（）。
高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册第七章随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布列1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.24.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()A.P(0<X≤2)B.PC.PD.P6.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.X 1 2 3 4P m5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X -1 0 1P 1-2a a2则a等于________,X2的分布列为________.6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.7.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.参考答案1.如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量分析：选D.由于X是离散型随机变量,因此Y=aX+b也是离散型随机变量.2.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.—颗是1点,一颗是3点D.—颗是1点,另一颗是3点或者两颗都是2点分析：选D.X=4表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为4的所有结果,可能是一颗1点,另一颗3点,也可能是两颗均为2点.3.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4,…,10.又设随机变量Y=2X-1,P(Y<6)的值为()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2分析：选A.Y<6,即2X-1<6,所以X<3.5.X=1,2,3,P=.4.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于()A. B. C. D.分析：选D.因为随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),所以a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1,所以P=P+P=2×0.1+3×0.1=.5.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率等于表示的是()A.P(0<X≤2)B.PC.PD.P分析：选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.6.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.分析：因为随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c所以a+b+c=1,且a,b,c∈[0,1].①因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,②联立①②,得b=,a+c=,所以P(|x|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.答案:7.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如表:ξ 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[ξ,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是________.分析：易知函数f(x)=x2-13x+1在区间[6.5,+∞)上单调递增,所以ξ≥6.5,即所求事件A的概率是P(A)=P(ξ≥6.5)=P(ξ=7)+P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=0.88.答案:0.888.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设X=m2,求X的分布列.分析：(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以X=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=4)==,P(X=9)=.故X的分布列为X 0 1 4 9P9.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.分析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种:{2个白球},{1个白球,1个黄球},{1个白球,1个黑球},{2个黄球},{1个黑球,1个黄球},{2个黑球}.当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4;所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=4)==.所以X的概率分布列如表:X -2 -1 0 1 2 4P(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=.扩展练习1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,则P(3≤X≤4)=()A. B. C. D.分析：选A.因为随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…10,所以=+++…+=a=a=1,解得a=,所以P(3≤X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.2. (多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为()A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局分析：选BC.甲赢一局输两局得3分,甲与乙平三局得3分.3.设随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(0.5<δ<2.5)=________.分析：因为随机变量δ的分布列为P(δ=k)=,k=1,2,3,所以++=1,所以c=.所以P(0.5<δ<2.5)=P(δ=1)+P(δ=2)=+=c=.答案:4.设随机变量X的概率分布列如表,则P(|x-2|=1)=________.X 1 2 3 4P m分析：由|x-2|=1,解得x=1,3,所以P(|x-2|=1)=P(X=1或3)=+=.答案:5.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表:X -1 0 1P 1-2a a2则a等于________,X2的分布列为________.分析：由离散型随机变量的分布列的性质得:解得a=1-.由题意X2=0,1,P=P=-1,P=1-=2-.所以X2的分布列为X20 1P -1 2-答案:1-X20 1P -1 2-6.唐代饼茶的制作一直延续至今,它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成:根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5;能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4;由于他们平时学习刻苦,都能通过“罗”这道工序;且这三道工序之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率;(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶,求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列.分析：(1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”,则所求概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4,同理P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.5×0.4=0.2.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.3)×(1-0.2)=0.336,P(X=1)=0.4×(1-0.3)×(1-0.2)+(1-0.4)×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×(1-0.2)=0.452,P(X=2)=0.4×0.3×(1-0.2)+0.4×(1-0.3)×0.2+(1-0.4)×0.3×0.2=0.188,P(X=3)=0.4×0.3×0.2=0.024.故X的分布列为X 0 1 2 3P 0.336 0.452 0.188 0.0247.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列.分析：(1)由题意甲获胜的概率:P=+××+××××=.(2)由题意知,投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=+×=,P(X=2)=××+×××=,P(X=3)=××××+×××××+×××××=,所以X的分布列为:X 1 2 3P。
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高二数学（理）寒假作业（七）随机变量及其分布一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．42．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( )A ．2B ．8C ．18D ．203．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34.4．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.58．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为()A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73C.113D ．310．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A. A 1 23 4二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．)11．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. 12．一离散型随机变量X 的概率分布列为且E (X )＝1.5，则a －b 13．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)14.在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫345－k 取最大值时k 的值为________15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 三、解答题16．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．17．9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； (3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．18．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．19．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．20.坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．21．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.参考答案一、选择题：1、D2、C3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D 10、C 二、填空题：11、503 12、0 13、4714、1 15、②④三、解答题：16. [解析] 取球次数X 是一个随机变量，X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差，可先求X 的分布列．P (X ＝1)＝15＝0.2，P (X ＝2)＝45×14＝0.2，P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2，P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.于是，我们得到随机变量X 的分布列E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2 ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D (X )＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.17. [解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 C 13×78×⎝⎛⎭⎫182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为⎝⎛⎭⎫783，所以有坑需要补种的概率为1－⎝⎛⎭⎫783≈0.330.18. [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P (E )＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以X ～B (3,0.3)，故E (X )＝np ＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ，则 P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.3， 所以P (X ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343， P (X ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝3)＝0.33＝0.027.于是，E (X )＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.19. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：20. [解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A 25＝20. 又μ(A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝μ(A )μ(Ω)＝1220＝35. (2)因为μ(AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝μ(AB )μ(Ω)＝620＝310. (3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.解法二：因为μ(AB )＝6，μ(A )＝12，所以P (B |A ) ＝μ(AB )μ(A )＝612＝12.21.[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－14×12＋14×12×23＋34×12×23＝1324.(2)ξ可能取2,3,4，则P (ξ＝2)＝14×12＝18；P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38；P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12，所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。